NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Algèbre

Fonctions GÉNÉRATRICES

 

Glossaire

Partition

 

 

INDEX

 

Partition

 

Introduction

Nombres entiers

Diviseurs

Principales FG

Partitions

 

Sommaire de cette page

>>>  Approche

>>>  Fonction génératrice

 

 

 

 

 

 

 

FONCTIONS GÉNÉRATRICES

ou développement en puissances

 

Extraordinaire! Une simple division qui vous "crache" tous les nombres entiers dans l'ordre et jusqu'à l'infini. Une autre, les carrés, une autre les cubes, voire même la suite de la somme des diviseurs …

Anglais: Generating function, powerseries

 

 

Approche – Les carrés

 

*    Essayez de diviser l'unité par le polynôme (1 – z.
Vous trouverez cette sympathique série.

 

 

1

= 1 + 2z + 3z2 + 4z3 + 5z4 + 6z5+ 7z6 + …

(1 – z

 

La division engendre la suite de tous les nombres entiers

dans l'ordre et jusqu'à l'infini.

Cette expression n'est pas très mystérieuse à y regarder de plus près.

 

 

*      Développons le produit infini suivant: (1 + z) (1+ z2)

*      (1 + z) x 1 = 1 + z = z0 + z1        les exposants  0 et 1

*    (1 + z) x z2 = z1+2+ z1+2               les mêmes exposants auxquels sont ajoutés 2.

*    Voici la suite:

 

 

*      Observez les exposants obtenus par sommes. Un nouveau facteur (1 + zk) introduit l'existant avec le 1 et tous ceux-ci-augmenter de k avec le zk.

*      Certains termes  apparaissent plusieurs fois, comme z3.  Car le 3 est obtenu avec 3 et avec 1 + 2. Deux cas de partition du nombre 3.

 

 

Approche – Les carrés

 

*    Voyons ce qui se passe sans le carré au dénominateur

 

 

1

= 1 + 1x + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5+ 1x6 + …

1 – z

 

Une suite tri

 

 

 

1

= 1 + 1x + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5+ 1x6 + …

1 – x

 

*    Essayons avec d'autres polynômes

 

 

Une suite de 1

 

*    Encore plus curieux!

*    De là à penser que l'on peut faire beaucoup plus …

*    Engendrer toute suite de nombres par une division

 

1 + x

= 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + 9x4 + 11x5+ 13x6 + …

(1 – x)²

 

La suite des nombres impairs

 

 

 

-Ý-   FONCTION GÉNÉRATRICE

 

*    Soit une suite de nombre a0 a1 a2

*    La fonction G(x) donnée ci-contre est la fonction génératrice de cette suite

G(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …

 

G(x) est appelée fonction génératrice

 

Notation:

G(x) = ån = 0¥ xn

*    Généralisation par l'introduction
d'une fonction f(n)

Pour information seulement (hors du cadre de cette page)

G(x) = ån = 0¥ f(n) . xn

 

 

*    C'est Euler qui a introduit ce concept de fonctions génératrices en 1748

*    Il a été amené à conduire des travaux dans ce domaine pour caractériser les partitions des nombres

*    Le problème des partitions consiste à répondre à la question:

Quelle est la quantité de façons de sommer des nombres pour arriver à un nombre donné ?

 

 

 

 

Suite

*         Fonctions génératrices - Nombres entiers

*         Tables des FG classiques

Voir

*         Suites

*         Fractales

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FoncGene.htm