NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 14/04/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Approche – Les nombres entiers >>> Fonction génératrice

FONCTIONS GÉNÉRATRICES

ou développement en puissances

Extraordinaire! Une simple division qui vous "crache" tous les nombres entiers dans l'ordre et jusqu'à l'infini. Une autre, les carrés, une autre les cubes, voire même la suite de la somme des diviseurs …

Anglais: Generating function, powerseries

Approche – Les nombres entiers

Essayez de diviser l'unité par le polynôme (1 – z)².
Vous trouverez cette sympathique série.

1	= 1 + 2z + 3z^2 + 4z^3 + 5z^4 + 6z^5+ 7z^6+ …
(1 – z)²

La division engendre la suite de tous les nombres entiers

dans l'ordre et jusqu'à l'infini.

Cette expression n'est pas très mystérieuse à y regarder de plus près.

Développons le produit infini suivant: (1 + z) (1+ z²)

(1 + z) x 1 = 1 + z = z⁰ + z¹ les exposants 0 et 1

(1 + z) x z² = z¹⁺²+ z¹⁺² les mêmes exposants auxquels sont ajoutés 2.

Voici la suite:

Observez les exposants obtenus par sommes. Un nouveau facteur (1 + z^k) introduit l'existant avec le 1 et tous ceux-ci-augmenter de k avec le z^k.

Certains termes apparaissent plusieurs fois, comme z³. Car le 3 est obtenu avec 3 et avec 1 + 2. Deux cas de partition du nombre 3.

Encore plus curieux!

De là à penser que l'on peut faire beaucoup plus …

Engendrer toute suite de nombres par une division

1 + x	= 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + 9x^4 + 11x^5+ 13x^6+ …
(1 – x)²

La suite des nombres impairs

Fonction génératrice
Soit une suite de nombre a0 a1 a2 … La fonction G(x) donnée ci-contre est la fonction génératrice de cette suite.	G(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + … G(x) est appelée fonction génératrice Notation:
Généralisation par l'introduction d'une fonction f(n). Pour information seulement (hors du cadre de cette page).

C'est Euler qui a introduit ce concept de fonctions génératrices en 1748.

Il a été amené à conduire des travaux dans ce domaine pour caractériser les partitions des nombres.

Le problème des partitions consiste à répondre à la question:

Quelle est la quantité de façons de sommer des nombres pour arriver à un nombre donné ? >>>

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Voir	Suites Fractales
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