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Édition du: 17/09/2023 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Algèbre Énigmes Défis arithmétiques	Problèmes – Défis
	INDEX	50^99 et 99!	Somme de la diagonale
	Singe et noix de coco	Équations en x, y, z	Partage des chevaux
	Divers défis	Équation en x^4	Fourmi sur un pavé

Comparer: 50^99 et 99! Comment manipuler de telle quantités et trouver laquelle des deux est la plus grande. Démonstrations.
	Sommaire de cette page >>> Comparaison entre 50^99 et 99! >>> Inégalité – Démonstration par induction >>> Calcul de la puissance du binôme >>> Termes de degré inférieurs – Pour info.	Débutants Nombres Glossaire Nombres

Valeurs numériques pour info.

99! = 37,6231004…⁹⁹

Voir Brève 806 / Brève 879

Comparaison entre 50^99 et 99!						haut
Développement de ces valeurs Il s'agit de montrer que cette fraction est supérieure à 1. Aa numérateur comme au dénominateur, il y a 99 facteurs et 50 est au centre.
Regroupement Au dénominateur, les nombres après 50 sont appariés de façon telle que la somme fasse 100.
Remarquons que:
Nouvelle écriture
Chaque facteur est supérieur à 1
Vérification Avec 50, le rapport dépasse 10^12 Avec 38, le rapport est égal à 2,68… Rapport
Preuve directe connaissant cette inégalité

Inégalité – Démonstration par induction		haut
Démonstration de cette inégalité par induction
Cas de référence: vrai pour n = 2
Hypothèse: on suppose que l'inégalité est vraie pour k
Démonstration: Elle est alors vraie pour k + 1
Développement Voir explications
La quantité A est plus grande que 0 On minimise l'expression en la retirant
Traduction en inégalité et Mise en évidence de l'inégalité pour k
Remplacement par l'hypothèse tenue pour vraie
Conclusion	Cas référence vrai et si vraie pour k alors vraie pour k+1 implique que l'inégalité est toujours vraie.

Calcul de la puissance du binôme

	Exemples
	Valeurs intermédiaires selon le triangle de Pascal

Voir Développement d'un binôme à la puissance k / Binôme de Newton

Termes de degrés inférieurs – Pour info.		haut
Par curiosité, évaluation des termes de degrés inférieurs avec exemples. Dans le cas du binôme (a + 1) à une puissance, la somme des deux premiers termes dépasse largement la somme de tous les autres termes. Le tableau montre des exemples numériques avec les plus petites valeurs de a. Dit-autrement: malgré la présence de coefficient binomiaux de plus en plus grands, ils ne compensent pas la croissance des deux termes de degrés supérieurs.

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Voir	Équations Calculs avec radicaux
DicoNombre	Nombre 99
Sites	Voir les quelques vidéos en anglais en tapant: 99! and 50^99
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aExercic/Probleme/Compar99.htm