NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Lycée

 

Sommaire de cette page

>>> Calculs de base

>>> Identité avec les racines cubiques

>>> Produit de racines cubiques conjuguées

>>> Somme de racines cubiques conjuguées

>>> Suppression radical au dénominateur

 

 

 

 

 

Calculs algébriques avec radicaux

Puissances fractionnaires

 

Quelques exemples typiques.

 

 

Calculs

Écriture fractionnaire

Exemple avec produit

Exemple avec fraction

 

 

Identité avec les racines cubiques

Différence de cubes

Posons

L'égalité devient

Simplification à gauche

Écriture fractionnaire

Voir Identités remarquables / Application

 

 

PRODUIT: 

 

Écriture

Vous trouverez aussi cette formulation (écriture traitement de texte).

 

(52^(1/2)-5)^1/3x(52^(1/2)+5)^1/3

Calcul numérique

Avec une calculette on vérifie cette égalité.

 

Leur produit = 3

 

Calcul algébrique

La racine cubique s'applique en fait à l'ensemble du produit

Identité remarquable

(a – b)(a + b) = a² - b²

Alternatives

Ce tableau montre quelques autres possibilités pour ce type d'égalité.

 

La plus petite étant:

 

  

 

 

SOMME:   

 

Écriture

Vous trouverez aussi cette formulation (écriture traitement de texte).

 

(20-14x2^(1/2))^1/3+(20+14x2^(1/2))^1/3

Calcul numérique

Avec une calculette on vérifie cette égalité

 

Leur somme = 4

 

 

Calcul algébrique

Avant de penser à une identité remarquable, voyons si les termes sous racine ne sont pas des cubes.

 

 

 

Le développement sera en a3 + …

Avec a3 < 20       a = 1 ou 2 et b du même ordre

 

Recherche d'un cube

Essayons a = b = 1

 

 

Essayons a = 2 et b = 1

Bon choix!

 

 

Est-ce bon aussi pour son conjugué?

Tous calculs faits, c'est bon!

Notre expression devient alors:

Commentaires

Il semble évident que l'auteur de cette question l'a composé à l'envers

Alternatives

Ce tableau montre quelques autres possibilités pour ce type d'égalité.

 

 

FRACTION: 

 

Écriture

Vous trouverez aussi cette formulation (écriture traitement de texte).

 

(20-14x2^(1/2))^1/3+(20+14x2^(1/2))^1/3

Calcul numérique

Avec une calculette:

 

 

Problème

On cherche à éliminer le radical au dénominateur. La méthode classique du conjugué, utilisée avec les racines carrées, ne marche pas.

Notez que la méthode s'applique si le signe est négatif au dénominateur; prendre l'identité remarquable avec les signe moins.

Calcul algébrique

Différence de cubes, en prenant a = 1 et b = racine cubique de 4

Mise en évidence de notre dénominateur.

 

 

En multipliant notre fraction

 

En reprenant l'égalité trouvée au dénominateur

Voir Radicaux et Maple

 

 

 

 

 

Suite

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*      CalculIndex

*      Radicaux avec Maple

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