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Édition du: 16/11/2023

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Divers défis mathématiques

 

Problèmes rencontrés sur le Net proposés comme défis aux Internautes

 

 

Sommaire de cette page

>>> Puissances: 3a = 5b = 225 => ab/(a+b) = ?
>>> Puissance à étage

>>> Équation avec x en exposant

>>> Factorielles: 17! / (19! – 18!) = ?

>>> Racines carrées: Rac(46 – 12•Rac(14)) = ?

>>> Triangle et carré
>>> Aire du rectangle ?

>>> Deux cercles dans un carré

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

Puissances: 3a = 5b = 225 => ab/(a+b) = ?

haut

 

Calcul d'une expression à partir d'une hypothèse.

Propriété des exponentielles et des logarithmes: xy  = k  => y ln x = ln k

On notera aussi que 225 = 15² = 3² x 5²

Alors, le calcul se laisse faire …

 

Voir Factorielles et carrés

 

 

Puissance à étage

haut

En reprenant ce raisonnement avec 5 au lieu de 3, on trouverait  x = racine cinquième de 5.

 

D'une manière générale:

 

 

Vérification


Voir Racine cubique de 3

 

 

 

Équation avec x en exposant

haut

Notez que le rapport a/b est égal au nombre d'or.

 

Solution générale de:


 

 

 

 

Factorielles: 17! / (19! – 18!) = ?

haut

 

Fractions impliquant les factorielles de trois nombres successifs.

La soustraction semble poser un problème.

L'idée consiste à exprimer les factorielles de 19 et 17 en fonction de la factorielle 18.

Celle-ci offre une simplification par 18!

 

 

Voir Factorielles et carrés

 

 

Racines carrées: Rac(46 – 12·Rac(14)) = ?

haut

 

Calculer la valeur de cette expression avec racines carrées.

 

Idée: mettre l'expression sous radical sous la forme d'un carré.

 

Identité remarquable:

(a – b)² = a² + b² – 2ab

Le produit:

Choix de a et b, par essais et intuition

(Intuition de partager la racine de 14 sur a et sur b).

Solution:

Voir Calculs avec radicaux  / Calcul impossible avec racines carrées emboitées

 

 

Racine carré: Rac(70×71×72×73 + 1)

haut

 

Calculer la valeur de cette expression avec racines carrées.

 

Le mieux est de ne pas se limiter à ces valeurs numériques. Nous avons à faire au produit de quatre nombres successifs.

P = n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

    = (n² + n)(n² + 5n + 6)

    = n4 + 5n3 +6n² + n3 + 5n² + 6n

    = n4 + 6n3 +11n² + 6n

Intuition pour la factorisation en un carré en ajoutant 1.

    P + 1 = (n² + an + 1)²

= n4 + 2an3 + (a²+2)n² + 2an + 1

 = n4 +  6n3 +        11n²  +   6n + 1

 

On vérifie que a = 3 convient.

 

Le produit de quatre nombres consécutifs plus 1 est un carré.

  

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1
           = (n² + 3n + 1)²

Application numérique:

Pour info s'agissant du carré d'un nombre impair.

Voir Brève 841

 

 

Triangle équilatéral et carré

haut

Problème

Un carré de côté unité.

Un triangle équilatéral disposé comme sur la figure.

Quelle est l'aire de ce triangle ?

 

Solution

Les angles du triangle équilatéral valent 60° et leur tangente racine de 3.

 

 

 

Aire du rectangle avec ce demi-cercle ?

haut

Problème

Un demi-cercle.

Une corde de 18 cm.

Un rectangle construit à partir de cette corde.

Quelle est son aire ?

 

Solution

Le point M sur le cercle à pour coordonnées x et y.

Le rayon du cercle est r.

Théorème de Pythagore:
x² + y² = r²
(r + x)² + y² = 18²
r² + 2rx + x² + y² = 18²
r² + 2rx + r² = 18²
2r² + 2rx = (2 x 9)² = 2 x 2 x 81
r² + rx = 2 x 81 = 162

Aire du rectangle
= aire du carré de cotés r 
+ aire du  rectangle de côtés r et x
= r² + rx = 162

 

 

Proposé par Science & Vie en 2022

 

Deux cercles dans un carré

haut

 

Construction

Un carré unité (c = 1) et une "semi-diagonale" joignant un sommet au milieu du côté opposé.

Cercles inscrits dans les deux régions du carré.

Rapport entre les rayons r et R de ce cercles ?

 

Triangle rectangle

Côtés: 1 et 1/2.

Hypoténuse: h² = 1² + 1/2² = 5/4

Petit angle alpha (qui vaut 26,56°)

Carré vert

Construire les carrés bleus de côté r et R.

Puis, le rectangle (vert) de sommets les centres des cercles.

Ce rectangle est un carré car chaque côté mesure:
          x = 1 – r – R.

La semi-diagonale du grand carré est aussi une semi-diagonale pour ce nouveau carré. Elle coupe le côté du petit carré en son milieu.

 

Triangles rectangles semblables (Figure du bas)

Les trois triangles rectangles colorés sont semblables:

*      même angle alpha, et

*      deux côtés parallèles ou alignés.

 

Soit les rapports

On en déduit

 

Valeurs numériques

 

Voir Théorème de Pythagore / théorème de Thalès / Brève 914

 

 

 

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