NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TABLES

 

Débutants

Général

TRIANGLE de PASCAL

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Triangle de Pascal

 

Sommaire de cette page

>>> Programmation

>>> Table

>>> Nombres de Pascal

>>> Nombres concaténés premiers

 

 

 

TABLE des coefficients du binôme

ou TRIANGLE de PASCAL

 

Voir Introduction et développements sur le triangle de Pascal

Anglais: binomial coefficient

 

 

Liste des coefficients du binôme jusqu'à 1100

(Liste triée, hors doublons et valeurs triviales)

6, 10, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 45, 55, 56, 66, 70, 78, 84, 91, 105, 120, 126, 136, 153, 165, 171, 190, 210, 220, 231, 252, 253, 276, 286, 300, 325, 330, 351, 364, 378, 406, 435, 455, 462, 465, 495, 496, 528, 560, 561, 595, 630, 666, 680, 703, 715, 741, 780, 792, 816, 820, 861, 903, 924, 946, 969, 990, 1001, 1035, 1081 …

 

Le nombre 1 y est présent une infinité de fois.

Tous les nombres y sont au moins deux fois (dont tous ceux  présents au centre d'une ligne et sur les deux bords, hors le 1)

Beaucoup sont présents quatre fois: ceux qui sont symétriques sur une ligne aux bords (hors le 1) et ailleurs, comme le 15 en ligne 15 et en ligne 6.

Le plus petit nombre présent six fois est 120.

Le plus petit nombre présent huit fois est 3 003.

On trouve toutes ces valeurs dans le triangle de Pascal, bords exclus.

 

 

Programmation Maple

 

 

Commentaires

Après initialisation, formation du premier rang du triangle de Pascal et impression.

Boucle en i de 2 au rang désirée (ici, 8).

Quantité de termes dans la liste en cours en q

LL est une liste qui va contenir la liste des nombres de Pascal (p) de rang i, sans les 1 des extrémités.

Calcul de ces nombres  p par somme deux à deux (boucle en j). Formation de la liste LL en adjoignant p à la liste déjà constituée.

La liste finale de rang i est constituée de la liste LL flanquée des deux 1 d'extrémités.

Impression de cette liste accompagnée de son rang.

En bleu, le résultat du traitement: le triangle de Pascal du rang 1 au rang 8.

 

Traduction de l'anglais

restart: redémarrer.

lprint: impression (avec l pour linéaire).

for … from … to … do: pour … de … à … faire.

nops: nombre d'opérateurs (de termes).

op pour opérateur d'extraction.

od pour do à l'envers soit fin de do (fin de faire).

 

 

On peut aussi calculer directement les coefficients binomiaux disponibles dans le package combinatoire de Maple.

Voir  ProgrammationIndex

 

 

 Exemples de lecture de la table ci-dessous

 

*      Développement de la puissance d'un binôme >>>

 

Ligne 3 => (a + b)3 = a3 + 3 a²b + 3 ab² + b3

Ligne 4 => (a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a²b² + 4 ab3 + b4

 

*      Quantité de combinaisons >>>

 

C73 = 35 => il y a 35 combinaisons possibles de 7 objets pris 3 par 3.

C74 = 35 => il y a 35 combinaisons possibles de 7 objets pris 4 par 4.

 

C2010 = 184 756   => il y a 184 756 combinaisons possibles de 20 objets pris 10 par 10.

 

C496 = 13 983 816   => combinaisons possibles au loto.

C495 =   1 906 884   => combinaisons possibles pour 5 bons numéros.

 

 

Table des coefficients du binôme ou triangle de Pascal

(En nombres en rouge et cases colorées, le ou les deux nombres centraux)

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

3

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

6

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

5

10

10

5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

6

15

20

15

6

1

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

7

21

35

35

21

7

1

 

 

 

 

 

 

 

8

1

8

28

56

70

56

28

8

1

 

 

 

 

 

 

9

1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

 

 

 

 

 

10

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

 

 

 

 

11

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

 

 

 

12

1

12

66

220

495

792

924

792

495

220

66

12

1

 

 

13

1

13

78

286

715

1 287

1 716

1 716

1 287

715

286

78

13

1

 

14

1

14

91

364

1 001

2 002

3 003

3 432

3 003

2 002

1 001

364

91

14

1

15

1

15

105

455

1 365

3 003

5 005

6 435

6 435

5 005

3 003

1 365

455

105

15

16

1

16

120

560

1 820

4 368

8 008

11 440

12 870

11 440

8 008

4 368

1 820

560

120

17

1

17

136

680

2 380

6 188

12 376

19 448

24 310

24 310

19 448

12 376

6 188

2 380

680

18

1

18

153

816

3 060

8 568

18 564

31 824

43 758

48 620

43 758

31 824

18 564

8 568

3 060

19

1

19

171

969

3 876

11 628

27 132

50 388

75 582

92 378

92 378

75 582

50 388

27 132

11 628

20

1

20

190

1 140

4 845

15 504

38 760

77 520

125 970

167 960

184 756

167 960

125 970

77 520

38 760

21

1

21

210

1 330

5 985

20 349

54 264

116 280

203 490

293 930

352 716

352 716

293 930

203 490

116 280

22

1

22

231

1 540

7 315

26 334

74 613

170 544

319 770

497 420

646 646

705 432

646 646

497 420

319 770

23

1

23

253

1 771

8 855

33 649

100 947

245 157

490 314

817 190

1 144 066

1 352 078

1 352 078

1 144 066

817 190

24

1

24

276

2 024

10 626

42 504

134 596

346 104

735 471

1 307 504

1 961 256

2 496 144

2 704 156

2 496 144

1 961 256

25

1

25

300

2 300

12 650

53 130

177 100

480 700

1 081 575

2 042 975

3 268 760

4 457 400

5 200 300

5 200 300

4 457 400

26

1

26

325

2 600

14 950

65 780

230 230

657 800

1 562 275

3 124 550

5 311 735

7 726 160

9 657 700

10 400 600

9 657 700

27

1

27

351

2 925

17 550

80 730

296 010

888 030

2 220 075

4 686 825

8 436 285

13 037 895

17 383 860

20 058 300

20 058 300

28

1

28

378

3 276

20 475

98 280

376 740

1 184 040

3 108 105

6 906 900

13 123 110

21 474 180

30 421 755

37 442 160

40 116 600

29

1

29

406

3 654

23 751

118 755

475 020

1 560 780

4 292 145

10 015 005

20 030 010

34 597 290

51 895 935

67 863 915

77 558 760

30

1

30

435

4 060

27 405

142 506

593 775

2 035 800

5 852 925

14 307 150

30 045 015

54 627 300

86 493 225

119 759 850

145 422 675

31

1

31

465

4 495

31 465

169 911

736 281

<<< Non développé >>>

32

1

32

496

4 960

35 960

201 376

906 192

33

1

33

528

5 456

40 920

237 336

1 107 568

34

1

34

561

5 984

46 376

278 256

1 344 904

35

1

35

595

6 545

52 360

324 632

1 623 160

36

1

36

630

7 140

58 905

376 992

1 947 792

37

1

37

666

7 770

66 045

435 897

2 324 784

38

1

38

703

8 436

73 815

501 942

2 760 681

39

1

39

741

9 139

82 251

575 757

3 262 623

40

1

40

780

9 880

91 390

658 008

3 838 380

41

1

41

820

10 660

101 270

749 398

4 496 388

42

1

42

861

11 480

111 930

850 668

5 245 786

43

1

43

903

12 341

123 410

962 598

6 096 454

44

1

44

946

13 244

135 751

1 086 008

7 059 052

45

1

45

990

14 190

148 995

1 221 759

8 145 060

46

1

46

1 035

15 180

163 185

1 370 754

9 366 819

47

1

47

1 081

16 215

178 365

1 533 939

10 737 573

48

1

48

1 128

17 296

194 580

1 712 304

12 271 512

49

1

49

1 176

18 424

211 876

1 906 884

13 983 816

50

1

50

1 225

19 600

230 300

2 118 760

15 890 700

 

 

 

 

 

Notes

*      Un nombre est la somme de tous ceux qui sont au-dessus, sur la colonne précédente (à gauche)

*      Chaque colonne représente la suite de nombres géométriques de dimensions successives (2D, 3D, 4D …)

Colonne 2

2D

 

Nombres triangulaires

Colonne 3

3D

 

Nombres tétraédriques

Colonne 4

4D

 

Nombres pentatopes

 

 

 

 

Nombres de Pascal jusqu'à 5 000

 

Rang, colonne, nombre de Pascal

Exception des nombres triviaux comme le 1 et les nombres entiers successifs de la colonne 1.

 

        1           2             6  

        2           2           10  

        3           2           15  

        4           3           20  

        5           2           21  

        6           2           28  

        7           3           35  

        8           2           36  

        9           2           45  

      10           2           55  

      11           3           56  

      12           2           66  

      13           4           70  

      14           2           78  

      15           3           84  

      16           2           91  

      17           2          105  

      18           2          120  

      19           3          120  

      20           4          126  

      21           2          136  

      22           2          153  

      23           3          165  

      24           2          171  

      25           2          190  

      26           2          210  

      27           4          210  

      28           3          220  

      29           2          231  

      30           5          252  

      31           2          253  

      32           2          276  

      33           3          286  

      34           2          300  

      35           2          325  

      36           4          330  

      37           2          351  

      38           3          364  

      39           2          378  

      40           2          406  

      41           2          435  

      42           3          455  

      43           5          462  

      44           2          465  

      45           4          495  

      46           2          496  

      47           2          528  

      48           3          560  

      49           2          561  

      50           2          595  

      51           2          630  

      52           2          666  

      53           3          680  

      54           2          703  

      55           4          715  

      56           2          741  

      57           2          780  

      58           5          792  

      59           3          816  

      60           2          820  

      61           2          861  

      62           2          903  

      63           6          924  

      64           2          946  

      65           3          969  

      66           2          990  

      67           4       1 001  

      68           2       1 035  

      69           2       1 081  

      70           2       1 128  

      71           3       1 140  

      72           2       1 176  

      73           2       1 225  

      74           2       1 275  

     

 

 

      75           5       1 287  

      76           2       1 326  

      77           3       1 330  

      78           4       1 365  

      79           2       1 378  

      80           2       1 431  

      81           2       1 485  

      82           2       1 540  

      83           3       1 540  

      84           2       1 596  

      85           2       1 653  

      86           2       1 711  

      87           6       1 716  

      88           2       1 770  

      89           3       1 771  

      90           4       1 820  

      91           2       1 830  

      92           2       1 891  

      93           2       1 953  

      94           5       2 002  

      95           2       2 016  

      96           3       2 024  

      97           2       2 080  

      98           2       2 145  

      99           2       2 211  

    100           2       2 278  

    101           3       2 300  

    102           2       2 346  

    103           4       2 380  

    104           2       2 415  

    105           2       2 485  

    106           2       2 556  

    107           3       2 600  

    108           2       2 628  

    109           2       2 701  

    110           2       2 775  

    111           2       2 850  

    112           3       2 925  

    113           2       2 926  

    114           2       3 003  

    115           5       3 003  

    116           6       3 003  

    117           4       3 060  

    118           2       3 081  

    119           2       3 160  

    120           2       3 240  

    121           3       3 276  

    122           2       3 321  

    123           2       3 403  

    124           7       3 432  

    125           2       3 486  

    126           2       3 570  

    127           3       3 654  

    128           2       3 655  

    129           2       3 741  

    130           2       3 828  

    131           4       3 876  

    132           2       3 916  

    133           2       4 005  

    134           3       4 060  

    135           2       4 095  

    136           2       4 186  

    137           2       4 278  

    138           5       4 368  

    139           2       4 371  

    140           2       4 465  

    141           3       4 495  

    142           2       4 560  

    143           2       4 656  

    144           2       4 753  

    145           4       4 845  

    146           2       4 851  

    147           2       4 950  

 148            3       4 960  

 

 

 

Les nombres de Pascal concaténés sont-ils premiers?

Les nombres d'une même ligne sont collés ensemble (concaténés)

 

 1     11     PREMIER

 2     121     composé

 3     1331     composé

 4     14641     composé

 5     15101051     composé

 6     1615201561     composé

 7     172135352171     composé

 8     18285670562881     PREMIER

 9     193684126126843691     composé

10     1104512021025221012045101     composé

11     1115516533046246233016555111     composé

12     1126622049579292479249522066121     composé

13     11378286715128717161716128771528678131     composé

14     11491364100120023003343230032002100136491141     composé

15     11510545513653003500564356435500530031365455105151     composé

16     116120560182043688008114401287011440800843681820560120161     composé

17     1171366802380618812376194482431024310194481237661882380680136171     composé

18     118153816306085681856431824437584862043758318241856485683060816153181     composé

19     1191719693876116282713250388755829237892378755825038827132116283876969171191     composé

20     1201901140484515504387607752012597016796018475616796012597077520387601550448451140190201     composé

 

 

 

 

 

 

Voir

*            Triangle de Pascal

*            Divisibilité des coefficients du triangle

*            Identités

*            Binôme de Newton

*            Nombres géométriques

*            Nombres géométriques – Tables

Site

*            A007318 – Pascal's triangle read by rows:

*            A006987 – Binomial coefficients: C(n,k), 2 <= k <= n-2, sorted, duplicates removed.

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