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Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Énigmes

 

Introduction

Balle et rebond

 Coq, poules et poussins

 

Sommaire de cette page

>>> Coqs, poules et poussins – Pb1

>>> Coqs, poules et poussins – Pb2

>>> Coqs, poules et poussins – Pb3

>>> Coqs, poules et poussins – Pb général

>>> Autres énigmes semblables

 

 

 

 

Énigme: coqs, poules et poussins

Problème des cent volailles

 

Combien de chacune des volailles pour un prix donné?

Résolution avec système d'équations.

 

Très vieux problème chinois du Ve siècle de Zhang Qiujian et son texte de problèmes mathématiques: Zhang Qiujian suanjing (Le classique mathématique de Zhang Qiujian). Ce problème, le numéro 38, a été repris dans les textes indiens et arabes du Moyen Âge. Un des premiers exemples de problème indéterminé dans l'histoire des mathématiques. Le texte ne donne pas la méthode de résolution.

Anglais: Chicken problems / the hundred fowls problem

 

 

Coqs, poules et poussins – Pb1

 

Énigme

J'ai acheté 100 animaux pour 100 euros dont des coqs à 5 euros pièce, des poules à 3 euros et des poussins à 1/3 d'euro.

 

Mise en équation

Anglais

If a rooster is worth five coins, a hen three coins, and three chickens together are worth one coin, how many roosters, hens, and chickens totaling 100 can be bought for 100 coins?

Rédaction avec monnaie chinoise

Now one cock is worth 5 qian, one hen 3 qian and 3 chicks 1 qian. It is required to buy 100 fowls with 100 qian. In each case, find the number of cocks, hens and chicks bought.

Résolution

(2) x 3 =>

(1) dans (3) =>

 

D'où, on conclut que x est un multiple de 4 et x < 16

QUATRE solutions en nombres entiers

x = 0      y = 25   z = 75

x = 4      y = 18   z = 78

x = 8      y = 11   z = 81

x = 12    y =   4   z = 84

 

 

Sans l'algèbre, par essais et corrections

 

Coqs, poules et poussins – Pb2

 

Énigme

J'ai acheté 100 animaux pour 1 000 euros dont des coqs à 5 euros pièce, des poules à 4 euros et des poussins à 1/4 d'euro.

 

Mise en équation

Résolution

(2) x 3 =>

(1) dans (3) =>

 

PAS de solutions en nombres entiers

x =   0      y = 250   z = -160

x = 15      y = 241   z = -156

Impossible de rendre z positif !

 

Coqs, poules et poussins – Pb3

 

Énigme

J'ai acheté 100 animaux pour 1 000 euros dont des coqs à 5 euros pièce, des poules à 4 euros et des poussins à 1/4 d'euro.

 

Mise en équation

Résolution

(2) x 3 =>

(1) dans (3) =>

 

DEUX solutions en nombres entiers

x =   0      y = 20   z = 80

x = 15      y =   1   z = 84

 

 

Coqs, poules et poussins – Pb Général

 

Énigme

J'ai acheté S animaux pour P euros dont des coqs à a euros pièce, des poules à b euros et des poussins à c euros.

 

Mise en équation

 

Ce système d'équations diophantiennes et souvent nommé le problème des cent volailles (hundred fowls problem).

 

Résolution

 

 

NOMBREUSES solutions en nombres entiers pour S = P = 100

 

En jaune, les solutions trouvées ci-dessus.

Évidemment aucune solution pour b = c (division par 0).

Exemples

a, b, c,        x, y, z         S, P

5, 3, 1/3, 0, 25, 75, 100, 100

5, 3, 1/3, 4, 18, 78, 100, 100

5, 3, 1/3, 8, 11, 81, 100, 100

5, 3, 1/3, 12, 4, 84, 100, 100

5, 3, 1/4, 10, 10, 80, 100, 100

5, 3, 1/5, 5, 20, 75, 100, 100

5, 3, 1/5, 12, 8, 80, 100, 100

5, 4, 1/3, 8, 8, 84, 100, 100

5, 4, 1/4, 0, 20, 80, 100, 100

5, 4, 1/4, 15, 1, 84, 100, 100

5, 4, 1/5, 4, 16, 80, 100, 100

 

Avec S = 100 et p = 1000,

 et en conservant a = 5, il faudrait des valeurs  de b et c telles que celles-ci:

5, 11, 1, 0, 90, 10, 100, 1000

5, 11, 1, 5, 88, 7, 100, 1000

5, 11, 1, 10, 86, 4, 100, 1000

5, 11, 1, 15, 84, 1, 100, 1000

5, 11, 1/3, 6, 88, 6, 100, 1000

5, 11, 1/7, 4, 89, 7, 100, 1000

5, 12, 1, 5, 80, 15, 100, 1000

5, 12, 1, 16, 76, 8, 100, 1000

5, 12, 1/8, 15, 77, 8, 100, 1000

5, 12, 1/15, 3, 82, 15, 100, 1000

5, 13, 1, 0, 75, 25, 100, 1000

5, 13, 1, 3, 74, 23, 100, 1000

5, 13, 1, 6, 73, 21, 100, 1000

5, 13, 1, 9, 72, 19, 100, 1000

5, 13, 1, 12, 71, 17, 100, 1000

5, 13, 1, 15, 70, 15, 100, 1000

 

Autres énigmes semblables

 

Inde: Baskali

 

Les deux solutions:

a, b, c,        x, y, z      S, P

3, 3/2, 1/2, 0, 10, 10, 20, 20

3, 3/2, 1/2, 2, 5, 13, 20, 20

 

Inde: Mahavira's Ganita-sara-sangraha

Les pigeons sont vendus par 5 pour 3 panas; les grues à 7 pour 5; les cygnes à 9 pour 7 et les paons à 3 pour 9. Un homme ramène 100 oiseaux pour 100 panas. Combien a-t-il payé pour chaque espèce ?

 

Les six solutions:

a, b, c, d       x, y, z, t      S, P

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 5, 25, 35, 35, 100, 100

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 9, 20, 35, 36, 100, 100

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 10, 25, 28, 37, 100, 100

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 13, 15, 35, 37, 100, 100

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 14, 20, 28, 38, 100, 100

5/3, 7/5, 9/7, 1/3, 19, 20, 21, 40, 100, 100

 

 

Europe: problème posé par Alcuin (VIe siècle)

Cent boisseaux de grains sont distribués à cent personnes: 3 pour un homme, 2 pour une femme et un demi pour les enfants. Combien y-a-t-il d'hommes, de femmes et d'enfants ?

 

Les six solutions:

3, 2, 1/2, 2, 30, 68, 100, 100

3, 2, 1/2, 5, 25, 70, 100, 100

3, 2, 1/2, 8, 20, 72, 100, 100

3, 2, 1/2, 11, 15, 74, 100, 100

3, 2, 1/2, 14, 10, 76, 100, 100

3, 2, 1/2, 17, 5, 78, 100, 100

 

 

Arabes: Abu Kamil (850-930) 

 

 

 (Quelle valeur avait-il donné à k ?)

 

Exemples de solutions k = 12

3, 3/5, 1/3, 17, 80, 3, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 18, 70, 12, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 19, 60, 21, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 20, 50, 30, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 21, 40, 39, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 22, 30, 48, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 23, 20, 57, 100, 100

3, 3/5, 1/3, 24, 10, 66, 100, 100

 

 

 

Abu Kamil pose cette devinette

Énigme: Un ouvrier gagne 6 dirhams par jour s'il travaille et doit rendre 4 dirhams par jour s'il ne travaille pas.  Ce mois d'avril, il n'a rien gagné. Combien de jours a-t-il travaillé.

Réponse: il a travaillé x jours et s'est reposé pendant (30 – x) jours. Soit la relation: 6x = 4(30 – x) ou 10x = 120 et x = 12 jours de travail et 18 jours de repos.

 

 

 

 

Suite

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Sites

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