Définition

*        Équations avec des entiers.

*        Équations à coefficients entiers dont on cherche des nombres entiers comme  racines.

Équation de la forme P(x,y,z …) = 0

où P est un polynôme à coefficients dans Z ou Q

dont on cherche des solutions dans Z ou Q

 

Z: Ensemble des nombres entiers rationnels

Q: Ensemble des nombres rationnels

 

Équations

Exemple

Commentaires

ax + by

= 1

14x + 9y = 1

x = 2 + 9t

y = –3 – 14t

Identité de Bézout.

Si une solution existe, il en existe une infinité.

x2 + y2

= z2

3, 4, 5 (25)

Triplets de Pythagore.

Infinité de solutions pour E2.

x2 + y2

yz

= z2

= 2t²

/

Théorème de Bachet. Aucun triangle pythagorique n'a une aire carrée.

x2

n

= n.y2 + 1

non carré

3² = 2 x 2² + 1

Équation de Pell - Fermat.

Infinité de solutions.

x2 – y2

y2 – z2

= r

= r

7, 5, 1 (24)

Premier cas

(r = raison de la progression arithmétique).

x2 + z2

= 2y2

1, 7, 5 (50)

Autre formulation de la progression arithmétique. >>>

x3 + z3

= 2y3

/

Impossible pour des nombres distincts – Euler

x4 + z4

x4 + z4

= 2y2

= 2Y4

/

Impossible pour des nombres distincts – Legendre

xn + zn

= 2yn

/

Impossible. Conséquence du théorème de Fermat-Wiles, déduite par Darmon et Merel.

x2 + 1

= 2y4

x = 1 ; y = 1

x = 239 ; y = 13

Deux solutions.

x² + y²

= z² + t²

65 = 49 + 16

     = 64 +   1

Nombre plusieurs fois somme de deux carrés.

Infinité de solution. >>>

x² – z²

= t² – y²

15 = 4² – 1²

     = 8² – 7²

Même identité que la précédente.>>>

Infinité de solution. Voir méthode de création

 

x2 + 3y2

= z3

10, 9, 7 (343)

Nombreuses solutions.

x = a(a2 – 9b2), y = 3b(a2 – b2)

avec (X, Y) et (a, b) premiers entre eux.

Alors z = (a² + 3b²).

Équation utile pour la démonstration du théorème de Fermat pour n = 3.

x3 + y3

= z3

/

Aucune solution pour E3.

x3 + y3

= z3 + 1

9, 10, 12 (1729)

Triplet de Ramanujan.

x3 + y3

= z2

1, 2, 3 (9)

4, 8, 24 (576)

Catalan – Seule solution pour z = 1.

Nombreuses solutions en général.

x3 + y3 + z3

= t3

3, 4, 5, 6 (216)

Quadruplet remarquable.

 

x4 + y4

= z2

/

Aucune solution pour E42; plus fort que E4.

x4 – y4

= z2

/

Variante de E42.

x4 + y4

= z4

/

Aucune solution pour E4.

n4 + 4n

= x.y ?

5 , 32 , 145 …

Nombres de Leyland.

xnyn

= 1

32 – 23 = 1

Équation de Catalan.

Seule solution.

xn + yn

= zn

/

Fermat-Wiles valable pour n>2.

Aucune solution pour En avec n > 2.

xn + yn

= 2zn

x = y = z

Solutions triviales pour n>2.

Démontré en 1997 par Darmon et Merel.

  (35 – 1) / (3 – 1) = 112

  (74 – 1) / (7 – 1) = 202

(183 – 1) / (3 – 1) = 173

Trois seules solutions.

Conjecture.

Théorème de Bugeaud-Mignotte

 

n! + 1 = m²

4! + 1 = 5² = 25

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5 041

Équation de Brocard

Les trois seules solutions connues.

Voir Conjecture ABC

Voir Divisibilité des formes polynômiales

 

 

 

Anglais

*        Diophantine equation.

*        An algebraic equation in one or more unknowns with integer coefficients, for which integer solutions are required.

A great variety of Diophantine equations have been studied:

Some have infinitely many solutions (notez la tournure anglaise);

Some have no solutions.

En savoir plus

 

*           Brahmagupta – Identités de-

*           DIOPHANTE – Biographie

*           Carrés et cubes

*           Conjectures - nombreuses sur les équations diophantiennes

*           Conjecture ABC

*           Deux entre carré et cube

*           Entiers de Gauss et cercle

*           Équation d'Euler (conjecture fausse)

*           Équation en 100 d'Abu Kamil

*           Formules donnant des nombres premiers

*           Fractions égyptiennes: 1/x + 1/y = 1/z

*           Hilbert et son 10e problème

*           Pas d'algorithme pour l'équation diophantienne

*           Quand on connaît la somme et le produit

*           Résolution d'équations linéaires et PGCD

*           Somme multipuissante

*           Système d'équations en 100

*           Système d'équations en 100

 

Particulières

24 = 42         >>>

32 – 23 = 1   >>>

Jeux

*           Chevaux œufs …

 

 

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