NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes algébriques

 

Débutants

Logarithme

Mise en œuvre

d'outils de calcul

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Énigmes

 

Introduction

Balle et rebond

Collèges

et

Première

selon chapitre

 

Sommaire de cette page

>>> Dans cette page

>>> Balle à rebond au deux tiers

>>> Calcul de l'altitude de rebond

>>> Altitude pour quel rebond?

>>> Quel taux de rebond?

>>> Bilan

>>> Anglais

>>> Trajet complet

>>> Et le temps de trajet

>>> Encore un exemple

 

animated basketball player dribbling

 

 

 

Balle en REBONDS

 

Lâchée d'une certaine hauteur la balle rebondit selon un certain taux de rebond. Comment calculer la hauteur (altitude) atteinte au énième rebond? Quand atteint-elle une altitude spécifiée? Etc.

Tour de la question en commençant par des calculs abordables dès le collège et en introduisant des outils accélérant les calculs. Une manière d'enrichir nos connaissances.

Anglais: bouncing ball

 

Dans cette page

 

Je voudrais  commencer tout en douceur sans regarder ce tableau >>>

 

Ce que nous allons calculer (flèche rouge) en connaissant les paramètres en jaune.

 

 

Rebond

Parcours

Liens

Hauteur

Taux

Quantité

Altitude

Distance

Temps

 

H

T

n

an

D

T

 

H

T

n

 

 

>>>

H

T

an

 

 

>>>

H

n

an

 

 

>>>

H

T

n

 

>>>

 

 

Avec quels outils mathématiques?

Simples opérations   >>>

Puissances   >>>

Fractions au même dénominateur  >>>

Logarithmes et exponentielles  >>>

Progression géométrique     >>>

 

 

Avec quels outils informatiques ?

 

Calculette >>>

Tableur >>>

Programmation >>>

 

 

 

 

Balle à rebond au deux tiers

Énigme

La balle en caoutchouc est lâchée d'une hauteur de 50 mètres.

Elle rebondit à chaque fois au deux tiers de sa hauteur.

Calculez l'altitude pour les quatre premiers rebonds.

 

Calcul

Un petit dessin et un calcul avec calculette est suffisant.

 

En effet, pour passer d'un rebond au suivant, on prend les 2/3 de la valeur de l'altitude précédente. Simples opérations courantes

 

 

 

La colonne centrale montre le calcul fait au fur et à mesure.

La colonne de droite montre comment la formule de calcul se transforme à chaque rebond suivant.

 

 

Calcul de l'altitude de rebond

Nous déduisons la formule générale  avec 2/3 à la puissance n.

Facile de calculer l'altitude "a5"  du cinquième rebond

 

Détail du calcul

Avec la calculette de votre ordinateur

 

1) Commencez par entrer la division de 2 par 3 avec le clavier numérique ou en désignant les touches de la calculette avec la souris.

 

2) Pour élever à la puissance 5, appuyez sur la touche xy (ici, illuminée en jaune).

 

 

3) Puis sur la puissance désirée, ici 5.

 

4) "Entrez" donne le résultat: 0,131 …

 

 

5) Multipliez par 20.

 

6) "Entrez" donne le résultat final.

 

Essayez pour le dixième rebond:

Le centième …. proche de zéro.

 

 

Altitude pour quel rebond?

Pour quel rebond l'altitude sera inférieure à 1 mètre pour la première fois.

 

Connaissant a, calculer n

Évidemment on peut toujours faire le tableau et constater le dépassement.

En l'occurrence, le septième rebond est toujours au-dessus du mètre, mais le huitième est en dessous.

 

Nous allons utiliser la calculette pour obtenir ce résultat avec un seul calcul. Pour cela, nous allons transformer la formule en prenant le logarithme de chaque côté.

 

Le logarithme est magique, il transforme

*    les produits en sommes,

*    les quotients en différence, et

*    les puissances en produits.

 

Alors, la formule devient =>

Formule pour le calcul de n.

Application numérique à notre cas.

 

Il faut dépasser le septième rebond pour atteindre une altitude de 1 mètre. Au huitième rebond la balle est en-dessous du mètre.

 

 

Détail du calcul

1) Pour calculer ln(1), entrez 1 puis appuyez sur la touche ln. Résultat 0. En effet ln(1) = 0.

2) Soustraire ln(20) = 2,995…
                    Résultat -2,995…

3) Appuyez sur la touche diviser, entrez la parenthèse, tapez 2 puis ln, appuyez sur -, puis entrez 3 et ln, fermez la parenthèse.

4) Faites entrez. Résultat 7,388…

 

 

Calcul avec tableur

 

Les paramètres H (hauteur du lâcher initial) et TR (taux de rebond) sont spécifiés.

La quantité de rebonds (n) est déclinée de 1 à 10.

La puissance du taux (2/3)n est calculée sur la colonne E. La formule est indiquée dans la fenêtre en haut. Notez que le "$" indique qu'il faut toujours prendre la valeur de H en E2.

La colonne F est la simple multiplication de la colonne E par 20.

 

Note: l'utilisation du tableur peut s'avérer très utile pour vérifier un calcul formel.

 

 

 

Quel taux de rebond?

La balle est lâchée de 20 mètres et atteint une altitude de 6 mètres au troisième rebond.

Quel le taux de rebond?

 

Connaissant H, n et an, calculez T

Passage aux logarithmes.

Pour calculer T.

Dans notre cas.

 

Inverse du logarithme (exponentielle).

 

Nous retrouvons bien le taux initial de notre problème.

 

Note: le taux est légèrement différent car nous avons pris 6 m au lieu de 5,925… mètres

 

Détail du calcul

1) Ouvrez la parenthèse, faites ln(6) – ln(20) et fermez la parenthèse pour diviser le tout par 3. Résultat -0,401…

2) Appuyer sur la touche inverse, la touche logarithme devient exponentielle (la fonction inverse du logarithme).

3) Appuyez sur la touche ex et le résultat cherché est 0,669…

 

Bilan

La formule du rebond parfait est:   

Nous sommes capables avec une calculette et sa touche logarithme de calculer n'importe quel paramètre en connaissant les autres.

évidemment dans la réalité, la balle ne rebondira pas éternellement. Le cas de la balle idéale fait penser au paradoxe de Zénon.

 

English corner

A reboncing ball rebounces each time to a height equal to one half the height of the previous bounce. If it is dropped from a height of 16 meters. Find the total distance it has travelled when it hits ground for the 10th time.

 

 

Calcul du trajet complet

 

 

Le cas en anglais (ci-dessus) demande à calculer le trajet total de la balle partant de 16 mètres et arrivant à son 10e rebond. La balle rebondit à chaque fois de sa demi-hauteur.

 

 

 

 

La figure montre que la balle tombe une fois de sa hauteur et "s'envole" neuf fois pour atteindre le dixième rebond.

 

Il s'agit donc de calculer la somme

16 + 2(8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32).

 

On peut la calculer à la main ou avec une calculette. Je propose deux méthodes plus mathématiques ci-dessous

 

Somme de fractions

avec mise au même dénominateur.

En remarquant que la somme des puissances de 2 est connue.
C'est la puissance supérieure moins un:  1 + 2 + … + 28 = 29 – 1 = 511

 

Au dixième rebond, la balle a parcouru presque trois fois la hauteur de chute: 48 mètres.

 

Alternative ce calcul

Calcul d'une progression géométrique de raison q  = ½ et point de départ 8:

 

 

NB. Le déploiement horizontal est une facilité d'explication

 

 

 

 

 

 

 

 

Et le temps pour ce trajet complet?

La balle en chute libre

Temps de chute

avec g = 9,81 m/s²

Premier rebond, aller et retour

Le tableau montre les calculs réalisés.

La balle a mis 10,14 secondes pour atteindre le dixième rebond.

 

 

La formule s'écrit génériquement de la manière suivante, en posant k  = 2 x 16 / 9,81:

 

 

Avec calcul de la limite de la série géométrique


 

Une balle lâchée à 16 mètres de hauteur et rebondissant de moitié à chaque rebond met 10 secondes et demi pour s'amortir complètement.

Lâchée de 100 mètres, elle mettrait 26,31 secondes.

 

Calcul avec Maple

 

Initialisation des paramètres: H, hauteur du lâcher; TR, taux de rebond; n, nombre de rebonds en plus du premier.

Initialisation de L, la longueur parcourue par la balle; k, le coefficient dans la formule du temps et T, le temps de trajet. Impression de cette première valeur pour le rebond n°1.

 

Lancement d'une boucle de 1 à 9 pour les rebonds de 2 à 10.

Calcul de a, l'altitude de chaque rebond et cumul en L. Calcul de t, la durée d'un demi-rebond et cumule en T.

Impression du numéro de rebond, la longueur parcourue et, en quel temps.

Fin de la boucle (od:)

En bleu, l'impression demandée.

 

 

 

Exemple vu sur le Web

Problème

Lucas lâche une balle d'une hauteur de 24 m. On estime que, lorsque la balle rebondit, la hauteur de son rebond perd 10% par rapport au précédent rebond. On considère que la balle ne rebondit plus lorsque la hauteur du rebond et inférieur à 1 cm.

1. Combien de rebonds (n) effectue la balle de Lucas ?

2. Quelle distance (L) parcourt-elle avant de ne plus rebondir ?

 

Résolution question 1.

 

 

Résolution question 2.

 

Vérification par tableur  (Voir Explications)

 

   

 

 

 

 

Suite

*         Chute libre

Voir

*         Suites et séries

*         Billard

*         Pendule

Sites

*         Les rebonds du billard – Thérèse Eveilleau

*         Physic of path actionpdf 23 pages – Description de diverses trajectoires non en ligne droite, avec illustrations.

*         Étude du rebond d'une balle – Diaporama

*         Trajectoire et rebond d’une balle au tennis de table – TIPE de Miquey Étienne en 2008/2009

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http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Algebre/Balrebon.htm