NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 03/03/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Jeux et énigmes

 

Débutants

Général

DÉPLACEMENTS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Casse-têtes

 

Chaîne

Tranchée

Chèvre, chou et loup

Étoile

Pair

Croix

Chameau et bananes

Fortin

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Solution et graphe

>>> Dépôt à k kilomètres

>>> Comment arriver logiquement à la solution

>>> Solution mathématique (générale)

>>> Variantes

>>> Anglais

 

 

 

 

Récréations mathématiques

Énigme du chameau et des bananes

Aussi avec dromadaire, éléphant; pommes.

Le chameau dans le désert, la traversée du désert,

Le problème de la Jeep, problème d'exploration,

Énigme Einstein 2.

 

Énigme, sous divers noms, archi-classique et qui donne bien du fil à retordre si on ne connait pas la solution.

Deux types de questions: quelle est la distance maximale parcourue par le chameau, ou quelle est la quantité de bananes disponibles à une distance donnée?

 

Voir Énigme d'Einstein

 

 

Amuse-bouche

Quelle distance maximum peut parcourir un chameau qui peut porter 3 bananes, en consomme une par kilomètre, avec un stock de 6 bananes au départ?

 

Le chamelier crée un dépôt au premier kilomètre. Il y dépose 1 banane tout en ayant consommé 2 bananes pour effectuer l'aller-retour.

De retour à son point de départ, il prend les 3 bananes restantes, en consomme 1 pour rejoindre le dépôt; prend celle du dépôt et avec ces 3 bananes parcourt 3 km.

Total 4 km d'autonomie pour ce chameau.

 

Vocabulaire

Entre le départ et la destination, le chamelier crée des dépôts de bananes. Le parcours complet est ainsi constitué de tronçons. Sur chaque tronçon, le chameau exécute des allers-retours (A/R) en un certain nombre de trajets. 

La distance maximale parcourue par le chameau avec son stock initial de bananes est son autonomie.

 

 

Chameau et bananes – Approche

 

Le défi

Avec un stock de 3 000 bananes, comment en transporter un maximum sur 1 000 km avec un chameau qui ne peut en porter que 1 000 à la fois et qui en consomme une à chaque kilomètre ?

 

Données

Distance: 1 000 km

Stock au départ: 3 000 km

Consommation: 1 banane / km

 

Notes

Le parcours est en ligne droite.

Le chameau a besoin de manger sa banane tout au long du kilomètre parcouru.

 

Exploration de quelques possibilités

 

1) Si le chameau pouvait transporter les 3 000 bananes, il en mangerait 1 000 sur le parcours; soit 2 000 à destination.

 

2) Avec un chargement complet de 1 000 bananes, le chameau parcourt les 1 000 km, mais tout le chargement est englouti. Rien à destination et impossible de retourner (Illustration – Scénario 1).

 

3) Avec 1 000 bananes sur les dos, il peut aussi faire 500 km puis revenir. Voyage inutile, car il a tout mangé pour se retrouver au point de départ (Illustration – Scénario 2).  

 

Illustration

Déductions

 

4) Le dromadaire doit constituer un dépôt de bananes à moins de 500 km de son départ.

 

5) Pour rentabiliser le trajet, mieux vaut que le dromadaire soit systématiquement chargé de ses 1 000 bananes.

 

 

 

Solution  et graphe

 

La solution comporte la constitution de deux dépôts (trois tronçons), l'un à 200 km du point de départ et l'autre à 333,333 km du premier dépôt (Voir illustration ci-dessous).

*       Au premier dépôt, le chameau aura consommé  1 000 bananes et en aura dépose 2 000;

*       Au second dépôt, il en consomme encore 1 000 et en dépose 1000; et

*       Finalement, sur le dernier trajet, il en consomme  466,666 et en dépose 533,333.

 



 

 

 

Dépôt à k kilomètres (expérimentations)

 

k = 100

On forme des dépôts de bananes tous les 100 km et voyons combien de bananes sont livrées à destination.

Tant que le dépôt contient plus de 2 000 bananes, cinq trajets sont nécessaires.

Dès que le dépôt en contient moins de 2 000, trois trajets suffisent.

Et avec moins de 1 000, un seul trajet suffit à porter toute la cargaison.

 

Colonne 1: distance parcourue.

Colonne 2: consommation de bananes (C).

Colonne 3: bananes au dépôt.

 

k = 1

En augmentant la quantité de dépôts, la quantité de bananes sauvées à l'arrivée est plus importante.

 

Deux remarques importantes

1) Le dernier dépôt avec moins de 1000 banane autorise un seul trajet.

2) Dans les deux cas étudiés, le premier dépôt est toujours à 200 km. Il est atteignable en 2 A/R et 1 A avec une charge de 1000  au départ. Inutile de multiplier les A/R.

 

 

Comment arriver logiquement à la solution

 

Premier tronçon

Pour profiter à plein des capacités du chameau, il doit transporter les 3000 bananes en trois voyages (5 trajets).

 

Note: On se souvient que le chameau ne peut pas faire plus de 500 km A/R; alors, il aurait consommé toutes les bananes transportées.

 

Si le point D1 est à la distance x du départ, la consommation est égale à 5x et la quantité de bananes livrée en D1 est 3000 – 5x.

 

Le mieux est de profiter encore de ce maximum à partir du prochain dépôt; donc, de laisser 2000 bananes en D1:

3000 – 5x = 2000 => x = 200 km

 

Deuxième tronçon

Toujours pour l'optimum, à partir du premier dépôt, le chameau doit faire 2 voyages (3 trajets).

 

Note: Compte tenu des consommations (5, 3, 1), il est clair que les distances doivent être dans l'ordre inverse: courte, moyenne et grande.

 

Si le point D2 est à la distance y du dépôt précédent, la consommation est égale à 3y et la quantité de bananes livrées est 2000 – 3x.


Le mieux est de profiter au maximum de l'emport du chameau et laisser 1000 bananes en D2:

2000 – 3x = 1000 => y = 333,333 km

 

 

Troisième tronçon

Le trajet s'effectue en un seul trajet

 

Note: Certains n'acceptent pas les tiers de bananes et donnent la solution: 533 avec (200, 333, 667 km).

 

 

Distance entre D2 et destination: 666,666 km

Des 1000 bananes en D2, il ne restera que 533,333 bananes à destination.

 

 

 

Solution mathématique (générale)

 

Notations (valeur numérique de notre exemple)

Stock de bananes : B = 3 000.

Capacité d'emport: C = 1000.

Distance à parcourir: D = 1000 km

Consommation: 1 banane / km

Quantité de tronçons:
q = valeur plancher de B/C = 3

 

Consommation

Pour profiter au maximum des capacités d'emport, le chameau consomme, en fonction de ses A/R:

*       de  0        à   C km: 1 banane / km

*       de  C + 1 à 2C km: 2 bananes / km

*       de 2C+ 1 à 3C km: 5 bananes / km

*       Etc.

 

 

Si q est une valeur entière

Distance maximale que le chameau peut parcourir.

On tire parti du maximum pour chaque dépôt.

En reprenant notre exemple, le chameau pourrait parcourir 1533,333 km en consommant toutes les bananes.

Si on l'arrête à 1000 km, il lui restera 533,333 bananes.

 

Formule

 

Notre exemple


 

 

Si q n'est pas une valeur entière

Distance maximale que le chameau peut parcourir.

 

 

 

Variantes

Une variante consiste à ne nourrir le chameau que lorsqu'il est chargé.

 

Alors, certains parlent plutôt  de singes qui transportent des sacs de sable; ces sacs ayant une petite fuite.

 

Cette variante évite d'avoir des solutions avec des fractions de bananes.

 

 

Alors, la consommation n'est que de 3 bananes au km sur le premier tronçon, puis 2 et 1.

 

3000 – 3x = 2000 => x (D1) = 333,333 km avec 2000 bananes.

2000 – 2x = 1000 => y (D2) = 500km avec 1000 bananes

 

Reste 166,666 km à faire.
Soit 1000 – 166,666 = 833,333 bananes à destination lorsque le chameau retourne sans manger.

 

Parfois le trajet est personnalisé:

Départ: Le Caire en Égypte;

Arrivée: Damas en Syrie

Distance: 1 072 km

Cas de la jeep qui parcourt 100 km avec un bidon et qui dispose de 2 bidons au départ. On ne peut compter que sur la capacité du réservoir égale au contenu d'un bidon.

La distance maximale parcourue par la jeep est alors 133,33 km.

Avec 3 bidons, on trouverait: 155,33 km; puis 167,62 km pour 4 bidons, etc.

 

La jeep va jusqu'à un relais situé à 33,3 km et siphonne 1/3 de son réservoir dans un bidon disponible sur place.

De retour à son point de départ, le réservoir est vide. On le remplit avec l'essence du second bidon.

La jeep se rend au relais et  reprend l'essence du bidon en réserve. Le réservoir plein, la jeep parcourt 100 km.

Distance totale: 133,33 km

 

Note: l'idée de partager les 100 litres en trois tiers sur le premier kilomètre est assez intuitive. On retrouve cette idée pour cinq trajets avec une division par 5. 

Voir GéographieIndex

 

 

 

English corner

Camel and bananas

Monkey and sand

Boy carrying watermelons

Jeep problem

Exploration problem

 

A camel must travel 1000 kilometers across a desert to the nearest city. She has 3000 bananas but can only carry 1000 at a time. For every kilometer she walks, she needs to eat a banana. What is the maximum number of bananas she can transport to the city?

 

 

 

 

 

 

Suite

*      Jeux et énigmesIndex

*     Chèvre, chou et loup

*      Sentinelle dans sa guérite en un seul trait

Voir

*      Partage – Énigmes classiques

*      Partage de Pascal

*      Partage en dix

*      Partage et dédommagement

*      Partage lors d'un repas en commun

*      Polygone, Octogone

DicoNombre

*      Nombre 533,333

Sites

*      Camel & Bananas – The Ultimate Puzzle Site

*      Camel and Banana, Math Puzzles -  EasyClaculation.com

*         Camel and Bananas – Dr Maths

*         A camel transporting bananas – Puzzling Stack Exchange

*         Jeep problem – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Chameau.htm