NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Casse-tête

 

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Âne rouge

Cavalier

Tour de Hanoi

Baguenaudier

Verres

Grenouilles sauteuses

 

 

Sommaire de cette page

>>> Jeu des deux caravanes

>>>  Une seule grenouille

>>>  Deux grenouilles

>>>  Trois grenouilles

>>>  Quatre grenouilles et plus

>>> Bilan

 

 

 

 

GRENOUILLES SAUTEUSES

Énigme de déplacement

 

Source image: Solution Grenouille – Vidéo YouTube

 

Voyez ces grenouilles qui regardent vers le centre. Elles rêvent de regarder vers le large. Pour cela il faut inverser les positions. Une grenouille, ça saute en avant (pas en arrière): un saut sur la place libre suivante ou alors par-dessus une autre grenouille (une seule).

Ce jeu de patience (ou solitaire) est aussi apparu sous le nom de "jeu des deux caravanes" faisant intervenir des chameaux.

 

Une approche au hasard ne sera que rarement bénéfique. Un peu comme une réussite aux cartes. En revanche, en adoptant une attitude modeste, en simplifiant le jeu avec moins de grenouilles, il est possible de découvrir la logique sous-jacente menant à la réussite

 

Anglais Leap Frog Puzzle / Frog jumping puzzle / Four peg puzzle

 

Jeu des deux caravanes (Editions Form)

Quatre chameaux (pions argent) font face à quatre chameaux (pions or) de part et d'autre d'un pont (trou central), n'autorisant le passage que d'un chameau à la fois. Le jeu consiste à amener les chameaux or à la place des chameaux argent et vice versa en tenant compte du caractère des possibilités des chameaux:

-      Les chameaux acceptent d’avancer mais refusent obstinément de faire le moindre pas en arrière ;

-       Ils peuvent sauter un chameau de la caravane adverse mais ne parviennent pas à sauter deux chameaux à la fois et refusent de sauter un chameau de leur propre caravane.

 

 

Une seule grenouille

Commençons simplement pour se familiariser avec ce jeu et pour introduire les notations.

Évidemment avec ces deux grenouilles, la solution est très simple. Il suffit de trois mouvements

*      Rouge saute (s) sur la case vide

*      Bleu enjambe (j) rouge

*      Rouge saute (s) sur la case vide

*      ou idem en inversant les couleurs.

 

Finalement, rouge s'est déplacé de case en case, alors que bleu n'a fait qu'un mouvement en sautant par-dessus rouge.

 

On note la séquence:
2x1 en 3 mouvements =>  S J S

 

Le plateau à 2 x 1 pions

Comment inverser les deux couleurs ?

 

Notations et solution

 

 

Deux grenouilles

Avec deux grenouilles de chaque côté, ça se complique un peu.

Le tableau montre la solution en huit mouvements.

Dans la colonne de gauche, on montre la nature des mouvements saut ou enjambement.

 

On note la séquence:
2x2 en 8 mouvements =>  SJS JJ SJS

 

Remarquez la symétrie, avec en tête et en queue la séquence à une grenouille.

 

Symétrie des mouvements: en témoignent les carrés jaunes de part et d'autre de la ligne du milieu en rouge.
Allure générale en zigzag: départ au centre et migration vers la gauche; pour revenir par la droite et migration au centre.

 

Remarquez aussi l'alternance des couleurs pour les sauts d'une part et pour les enjambements d'autre part. Ce sera toujours vrai pour les enjambements et presque pour les sauts (sauf inversion au milieu) 

 

Le plateau à 2 x 2 pions

Comment inverser les couleurs ?

 

Solution

 

 

 

Trois grenouilles

Avec trois grenouilles, on retrouve la tendance générale du zigzag vue précédemment.

 

On commence au centre comme s'il s'agissait du cas d'une seule grenouille (sjs); on enchaine comme s'il s'agissait de deux grenouilles (sjs jj s).

Idem en partant du bas

Sauf, cas spécial à la jonction, au milieu.

 

On note la séquence:
2x3 en 15 mouvements => 
SJS JJ S   JJJ   S JJ SJS

 

On note aussi, en comptant les J
S 1 S 2 S 3 S 2 S 1 S

 

Remarquez  la tendance du mouvement (cases jaunes) en zigzag symétrique.

Notez aussi, la forme prise par la nouvelle notation avec des nombres. Est-ce une tendance générale ? Oui !

 

Retour sur ces trois cas déjà vus

1 grenouille:

S 1 S

2 grenouilles:

S 1 S 2 S 1 S

3 grenouilles:

S 1 S 2 S 3 S 2 S 1 S

 

Le plateau à 2 x 3 pions

 

Solution

 

 

Quatre grenouilles et plus

 

Squellette des mouvements

Avec quatre grenouilles, on reproduit l'algorithme en zigzag ascendant puis descendant.

 

 

BILAN

Séquence des mouvements

 

1

S 1 S

2

S 1 S 2 S 1 S

3

S 1 S 2 S 3 S 2 S 1 S

4

S 1 S 2 S 3 S 4 S 3 S 2 S 1 S

5

S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 4 S 3 S 2 S 1 S

 

Etc.

 

 

Quantité de mouvements

La résolution de ce défi à quatre grenouilles nécessite 24 mouvements au minimum.

 

1

3

= 2² – 1

2

8

= 3² – 1

3

15

= 4² – 1

4

24

= 5² – 1

5

35

= 6² – 1

 

n

(n + 1)² – 1

 

Le plateau à 2 x 4 pions

 

Solution

 

 

 

Bilan

Ce jeu de déplacement est proche de certains autres comme: le baguenaudier ou encore la tour de Hanoï. On peut aussi le rapprocher du classique défi de la traversée du loup, de la chèvre et du chou.

 

 

Merci à Marine Duversin pour l'idée de cette page

 

Suite

*      Saut de la grenouille

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Aussi

*      Partage et dédommagement

*      Partage lors d'un repas en commun

*      Partage de Pascal

Sites

*        Solution Grenouille – Vidéo YouTube

*        Jeu des grenouilles – Jeux et Mathématiques

*        Jumping into the Leap Frog Puzzle – Jeremy Knight

*        All four peg puzzles on NLVM – Vidéo

*        Six Jumping Frogs and  the Aesthetics of Problem Solving Lee Humphries

*      Frog Jumping Puzzle Solution – Vidéo YouTube

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Grenouil.htm