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Diagramme triangulé

Théorie mathématique

 

Sommaire de cette page

>>> Deux bidons – Notations

>>> Trois bidons – Configurations

>>> Diagramme triangulé

>>> Résolution du (8; 8, 5, 3 – 4)

>>> Résolution du (8; 6, 5, 4 – k)

>>> Coordonnées trilinéaires

 

 

 

 

ÉNIGMES de TRANSVASEMENTS

Diagramme triangulé

 

Nous avons utilisé un diagramme triangulé (ou en parallélogramme). Voyons pourquoi ce type de diagramme.

 

Ce diagramme utilise l'image d'un billard. La bille lancée d'un point de départ rebondit sur les bords jusqu'à attendre la valeur souhaitée. Illustration avec le problème de 8 litres d'eau dans seau de 8 litres: comment mesurer 4 litres avec en plus un seau de 5 litres et un seau de 3 litres (8; 8 , 5, 3 – 4)?

Illustration tirée du livre d'Alex Bellos

 

 

 

Deux bidons de 4 litres – Notations

 

Deux bidons A et B chacun pouvant contenir quatre litres d'eau.

Nous disposons de quatre litres d'eau. Le schéma montre les cinq façons de répartir ce volume en quantités entières de litres dans chacun des deux bidons.

 

À gauche, un bidon de 4 litres contenant quatre litres d'eau et un bidon vide. Notation (4, 0)

 

 

Trois bidons de 4 litres – Configurations

 

 

Avec trois bidons, la notation est du même type.

Toujours avec quatre litres d'eau, quelles sont les configurations possibles?

 

 

 

Nous partons du contenu du bidon A et partageons le reste des quatre litres dans les bidons B et C.

En bas du tableau, dans le cas où il n'y a pas d'eau dans A, nous retrouvons le cas de deux bidons avec 4 litres, vu ci-dessus.

Les quinze configurations possibles avec 4 litres d'eau partagés entre trois bidons de 4 litres (en nombre entiers de litres).

 

 

 

Diagramme triangulé

 

Une manière de représenter les différentes configurations à trois bidons: le diagramme triangulé.

 

En pointe la configuration: bidon A plein (4, 0, 0).

Chaque ligne horizontale représente une configuration différente pour le bidon A (4 litres, puis 3 litres, …; en rouge).

Observez les lignes obliques descendantes: ce sont pour chacune un remplissage différent du bidon B.

Même chose pour les lignes obliques montantes et le bidon C.

 

Un déplacement sur une ligne ne change pas le contenu de l'un des bidons.

 

 

Pratique!

 

Le bidon A est plein et je le verse dans le bidon B. Sur le diagramme, nous passons du sommet haut au sommet gauche (flèche verte).

 

Autre situation: bidon A avec 2 litres, B avec 1 litre et c avec 1 litre. Nous versons A dans C. Sur le diagramme, nous passons de (2, 1, 1) à (0, 1, 3) trajet représenté par la flèche bleue.

 

Un bidon vidé dans un autre conduit à une configuration en bordure du grand triangle.

 

Diagramme

Avec de diagramme, un bidon plein et les autres vides est représenté par un sommet du triangle équilatéral.

 

Bidon versé dans un autre

Les configurations en bordure du triangle correspondent à l'un des bidons vide, au moins.

 

 

Résolution du (8; 8, 5, 3 – 4)

 

Nous avons 8 litres d'eau à repartir dans trois récipients:

*       A = 8 l,

*       B = 5 l, et

*       C = 3 l.

Reprenons notre diagramme en forme de triangle équilatéral avec un côté égal à 8.

 

Cependant, deux des récipients ne peuvent pas contenir plus de 5 ou 3 litres.

 

En versant les 8 litres de A dans C, ça déborde! Le chemin qui va de A à C est impossible.

 

On élimine les points correspondants. D'où la découpe en parallélogramme.

 

Le parallélogramme des possibilités est obtenu en éliminant les configurations correspondant aux récipients trop petits.

 

Notre objectif est d'obtenir 4 litre d'eau dans un récipient en partant de 8 litres dans A.

 

En remplissant C en premier, le trait bleu montre comment atteindre le premier 4 litres.

 

En effectuant un versement complémentaire, nous avons deux fois 4 litres. 

 

 

En bleu, le chemin permettant d'atteindre le premier 4 litres.

En pointillé, le chemin pour deux fois 4 litres.

 

attention.png  Méfiez-vous! Ces énimes peuvent être posées avec des multiples.

  Comme (4;  4, 2 ½  , 1 ½  – 2 ½ , 2 ½ )

 

 

Résolution du (8; 6, 5, 4 – k)

Ici nous disposons de 8 litres d'eau pour trois récipients plus petits: 6, 5 et 4 litres.

 

Le diagramme est épointé en ses trois sommets

 

Selon le point de départ, tous les chemins ne sont pas faisables et même certains sont cycliques (comme le vert représenté).

 

 

 

Coordonnées trilinéaires ou barycentriques

 

Nous venons d'utiliser un système de coordonnées trilinéaires sans le savoir.

La somme des trois coordonnées est constante (correspond au volume total de liquide).

Reste juste à normaliser la constante à 1.

 

Avec l'exemple ci-dessus, la somme des coordonnées est toujours égale à 8.
(a + b + c ) = 8.
Pour normaliser, il suffit de diviser chaque coordonnée par 8; (a/8 + b/8 +c/8 = 1

 

En coordonnées trilinéaires:

*       sommets:
(1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1)

*       milieu des côtés:
(½  , ½, 0), (½ , 0, ½) et (0, ½, ½)

*       Centre de gravité
(1/3, 1/3, 1/3)

 

Si le triangle est quelconque, les coordonnées sont dites barycentriques.

 

Chaque coordonnées représente la distance du point à chaque côté (éventuellement prolongé).

La coordonnée est négative si le point est extérieur par rapport au côté.

 

Avec un point P dans le triangle ABC équilatéral.
Les distances son notées x, y et z.

Aire du triangle:

½ ax + ½ ay + ½ az = ½ ah

x + y + z = h

Anglais: Trilinear coordinates  / Barycentric coordinates

 

 

 

 

 

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*         Coordonnées trilinéaires – Wikipédia

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