NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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JEUX – ÉNIGMES

 

Débutants

Général

MESURES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes, puzzles, casse-tête

 

Énigmes et solutions

Diagramme triangulé

Théorie mathématique

 

Sommaire de cette page

>>> Deux récipients (5; 5, 3 – 4)

>>> Diagramme de résolution

>>> Autres à deux bidons

>>> Trois récipients (12; 12, 8, 5 – 6, 6)

>>> Historique

>>> Anglais

 

 

 

 

ÉNIGMES de TRANSVASEMENTS

Énigme des deux vases ou des trois

récipients, vases, jarres, bidons ou bouteilles

Énigme pour faire 4 litres avec 5 et 3 litres

 

Dans tous les cas nous disposons de récipients de taille différente et il s'agit de mesurer une quantité d'eau précisée, différente de la contenance de chacun des récipients.

Trois grands types de problèmes de transvasement:

*       Deux récipients et une mesure à réaliser avec de l'eau à volonté avec possibilité d'en jeter;

*       Trois récipients  et deux mesures à réaliser et, c'est l'eau du plus grand qui sert aux transvasements; ou

*       Deux, trois récipients (ou plus) et une quantité d'eau supérieure à la capacité du plus grand récipient .

 

Notation: (A; a, b, c – M) avec A, le volume d'eau disponible; a, b et c, la contenance de chacun des récipients; et M la mesure d'eau à obtenir.

 

 

 

Deux récipients (5; 5, 3 – 4)

 

 

L'eau est disponible à volonté.

 

Avec deux récipients de 5 et 3 litres mesurez 4 litres d'eau.

 

La solution est montrée à droite. Elle nécessite six opérations à partir de l'état initial.

 

Une autre solution qui commence avec la petite bonbonne, mais avec huit étapes:

 

Ce problème classique est celui posée aux deux héros du film: Une journée en enfer >>>

 

 

Diagramme de résolution

 

Ce quadrillage en parallélogramme (ou triangle équilatéral) permet la résolution de ces énigmes de transvasement.  Le chemin en rouge montre le trajet d'une boule de billard qui rebondirait sur les bords.

Les cordonnées correspondent aux remplissages des deux récipients. Départ en (0, 0); trajet horizontal jusqu'en (5, 0); rebond vers le (2,3); etc. Arrêt pour (4, 3).

 

L'outil permet la résolution de toutes les énigmes semblables en choisissant une finalité quelconque.

Par exemple le simple parcours des deux premières branches permet d'obtenir le cas de 2 litres. Pour obtenir un litre, il faudrait suivre le diagramme proposé et le prolongé de deux branches. Tous les cas sont alors couverts (0, 1, 2, 3, 4, 5).

 

Il est bon de tester également le départ vers le haut (0, 3) pour vérifier si le chemin n'est pas plus court.

Voir Pourquoi ce type de diagramme triangulé

 

 

 

Autres à deux bidons

(5, 8 – 6)

0 0

0 8

5 3

0 3

3 0

3 8

5 6

(5, 7 – 4)

0 0

5 0

0 5

5 5

3 7

3 0

0 3

5 3

1 7

1 0

0 1

5 1

0 6

5 6

4 7

(3, 11 – 7)

0   0

3   0

0   3

3   3

0   6

3   6

0   9

3   9

1 11

1   0

0   1

3   1

0   4

3   4

0   7

(7, 11 – 2)

0   0

7   0

0   7

7   7

3 11

3   0

0   3

7   3

0 10

7 10

6 11

6   0

0   6

7   6

2 11

(7, 11 – 2)

0   0

0 11

7   4

0   4

4 11

7   8

0   8

7   1

0   1

1   0

1 11

7   5

0   5

5   0

5 11

7   9

0   9

7   2

 

 

 

Trois récipients (12; 12, 8, 5 – 6, 6)

 

Problème

Nous disposons de trois cruches (brocs) de 12, 8 et 5 litres. Le but est de partager en deux parties égales l'eau de la grande cruche pleine.

 

La solution nécessite sept étapes à partir de l'état initial. En bleu clair, on montre les cas où la cruche est pleine.

 

 

Solution

Diagramme de résolution

La cruche la plus grande est utilisée comme source ou trop-plein pour les deux autres. De sorte que la solution passe par le même diagramme que pour deux récipients.

Les cordonnées correspondent aux remplissages des deux récipients les plus petits. Départ en (0, 0); trajet horizontal jusqu'en (8, 0); rebond vers le (3,5); etc. Arrêt pour (6, 0).

Dans ce cas, où on exige de finir avec deux cruches contenant 6 litres, on se souvient que la quantité d'eau total est de 12 litres. Au dernier point, nous avons bien (6, 6, 0). L'avant-dernier point, qui pourtant donne 6 litres dans la moyenne cruche, ne peut pas être retenu car il n'y a que: 12 – 6 – 5  = 1 litre dans la grande cruche.

Ce tracé en rouge comporte 7 étapes; le tracé en vert (en commençant par remplir la petite cruche) conduirait à 18 étapes.

 

Comparaison des  énigmes à deux ou trois récipients

Le problème (12; 12, 8, 5 – 6, 6) que nous venons de résoudre est équivalent au problème plus simple (8; 8, 5 - 6) à ceci près que nous avons introduit deux mesures (6 et 6). Par contre, la méthode de résolution reste la même (diagramme).

Les problèmes de transvasements les plus classiques (A; a, b, c – M) sont ceux pour lesquels: A = a = 2k = b + c comme le (8; 8, 5, 3 – 4)

 

 

 

Historique

Euclide

Vers 300av. J.-C.

Avec son algorithme, il nous offre la possibilité de résoudre ce puzzle

Alcuin

735-804

Pose le problème (12, 8, 5 – 6, 6) et le résout

Albert Abbot

1240

Publie Annales Stadenses dans lequel apparait le problème des trois flacons. Albert est un abbé de Stade une ville proche de Hambourg en Allemagne.

Nicolas Chuquet

1484

Triparty en la science des nombres. Jeu du tavernier  (5; 5, 3 – 4)

1400-1500?

On dit que c'est le problème qui se posait aux livreurs de lait qui devaient faire la distribution avec des récipients de différentes tailles.

Nombreux … parmi les plus connus:

Pacioli (vers 1500),

Cardan (1539),

Tartaglia (1556),

Sam Lloyd (1896),

Dudeney (1902)

Claude Gaspard Bachet

1612

Problèmes plaisants et délectables. Énigmes (8; 8, 5, 3)

Ozanam

1640-1717

Reprend le problème (12, 8, 5 – 6, 6) en 1694.

Simeon Poisson

(1781-1840)

Passionné par ces énigmes plutôt que par ses études de médecine. Il trouve les solutions et, même, se décide à poursuivre dans le domaine des mathématiques.

Nombreux livres…

Récréations mathématiques, amusements mathématiques, récréations rationnelles …

Les cadeaux difficiles – Vinot (1860)

Elizabeth Crowley

1926

Technique de résolution en passant par des équations diophantiennes.

M. Tweedie

1939

Une méthode graphique permettant de résoudre les problèmes de mesures de Tartaglia. (A graphical method of solving Tartaglian measuring puzzles). En effet, introduction des coordonnées triangulaires (Illustration).

Cas de (8; 8, 5, 3 - 4, 4).

H. Grossman

1940

Une méthode générale pour résoudre les énigmes de mesure d'eau (a generalization of the water-fetching puzzle).

D'autres …

W. Buker, Eric Goldstein, W. Scott, W. Sawyer, David Stein

H. Coxeter et S. Greitzer

1967

Ouvrage de référence: Geometry Revisited.

P. Lawrence

1972

Approche algébriques des problèmes de transvasement (An algebraic approach to some pouring problems).

Une journée en enfer

Die Hard – With a vengeance

1995

Dans le film Die Hard III, Mc Clane (Bruce Willis) et Zeus (Samuel L. Jackson) doivent résoudre un problème de transvasement pour éviter une explosion >>>

Alexander Bogomolny

2000

Pages internet complètes sur le problème des trois cruches et sa résolution (The three Jugs Problem).

 

 

English corner

Jugs of water puzzle

Liquid water pouring problems

Mathematic decanting problems

Measure Four Gallons with Two Jugs

Measuring problems

The three jugs problem

The three jugs riddle

The two jugs puzzle 

Water jug challenge

Water jug problems

Water pouring puzzles

 

 

Die Hard – With a vengeance

Mc Clane and Zeux find a puzzle with a bomb, beside a fountain in a city park. They are given a five gallon jug and a three gallon jug, and have to measure out exactly four gallons of water on a scale to keep a bomb from exploding. They only have two minutes to figure out how to do this.

 

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

 

Suite

*         Transvasements – Maths et démonstrations

*         Énigme du sablier

Voir

*         Jeux – Index

*           Réussite

*           Robinets

*         Travaux de remplissage – Énigmes

Livres

*           Rediscovering Mathematics: You Do the Math – Shai Simonson – ebook – Chapter 7: Algorithms – The Unexpected Role of Pure Mathematics

*           Can you solve my problems? A casebook of ingenious, perplexing and totally satisfying puzzles – Alex Bellos – 2016 – Problème N° 54

Sites

*           Transvasement – Récréomath -  Charles-É. Jean

*           Problèmes de transvasement – Laurent Signac – Théorie et programmation Python

*           The three Jugs Problem – Cut-the-Knot – Alexander Bogomolny

*           Liquid water pouring puzzles – Wikipedia

*           Three Jug problem – Wolfram MathWorld

*           Sources in recreational mathematics – An annotated bibliography – David SingmasterChapitre: Measuring problems / Jugs and bottles.

*           Geometry revisited – The three jug problem – Coxeter and Greitzer  - Pdf page 89

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Mesure/Transvas.htm