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ÉNIGMES de TRANSVASEMENTS Énigme des deux vases ou des trois récipients, vases, jarres, bidons
ou bouteilles Énigme pour faire 4 litres avec 5
et 3 litres Dans tous
les cas nous disposons de récipients de taille différente et il s'agit de
mesurer une quantité d'eau précisée, différente de la contenance de chacun des récipients. Trois
grands types de problèmes de transvasement:
Notation: (A; a, b,
c – M) avec A, le volume d'eau disponible; a, b et c,
la contenance de chacun des récipients; et M la mesure d'eau à obtenir. |
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Question Dans quelle tasse le café coulera en premier? Who gets coffee first ? Qui aura son café le premier? Commentaire Il semble que certains internautes soient déroutés. Sans doute
par la présence des nombres placés sur les tasses qui feraient penser que des
calculs savants seraient nécessaires. |
Voir
Solution
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L'eau est
disponible à volonté. Avec deux
récipients de 5 et 3
litres mesurez 4
litres d'eau. La
solution est montrée à droite. Elle nécessite six opérations à partir de
l'état initial. Une autre
solution qui commence avec la petite bonbonne, mais avec huit étapes:
Ce
problème classique est celui posée aux deux héros du film: Une journée en enfer >>> |
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Ce
quadrillage en parallélogramme
(ou triangle équilatéral)
permet la résolution de ces énigmes de transvasement. Le chemin en rouge montre le trajet d'une boule de
billard qui rebondirait sur les bords. Les cordonnées correspondent aux
remplissages des deux récipients. Départ en (0, 0); trajet horizontal
jusqu'en (5, 0); rebond vers le (2,3); etc. Arrêt pour (4, 3).
L'outil permet
la résolution de toutes les énigmes semblables en choisissant une finalité
quelconque. Par exemple le simple parcours des deux premières branches permet
d'obtenir le cas de 2 litres. Pour obtenir un litre, il faudrait suivre le
diagramme proposé et le prolongé de deux branches. Tous les cas sont alors
couverts (0, 1, 2, 3, 4, 5). Il est
bon de tester également le départ vers le haut (0, 3) pour vérifier si le
chemin n'est pas plus court.
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Voir Pourquoi ce
type de diagramme triangulé
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(5, 8 –
6) 0 0 0 8 5 3 0 3 3 0 3 8 5 6 |
(5, 7 –
4) 0 0 5 0 0 5 5 5 3 7
3 0 0 3 5 3 1 7
1 0 0 1 5 1 0 6 5 6 4 7 |
(3, 11 –
7) 0 0 3 0 0 3 3 3 0 6 3 6 0 9 3 9 1 11
1 0 0 1 3 1 0 4 3 4 0 7 |
(7, 11 –
2) 0 0 7 0 0 7 7 7 3 11 3 0 0 3 7 3 0 10 7 10 6 11 6 0 0 6 7 6 2 11 |
(7, 11 –
2) 0 0 0 11 7 4 0 4 4 11 7 8 0 8 7 1 0 1 1 0 1 11 7 5 0 5 5 0 5 11 7 9 0 9 7 2 |
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Problème Nous
disposons de trois cruches (brocs) de 12, 8 et 5 litres. Le but est de
partager en deux parties égales l'eau de
la grande cruche pleine.
La
solution nécessite sept étapes à partir de l'état initial. En bleu clair, on
montre les cas où la cruche est pleine. |
Solution
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Diagramme de résolution La cruche
la plus grande est utilisée comme source ou trop-plein pour les deux autres.
De sorte que la solution passe par le même diagramme que pour deux
récipients. Les
cordonnées correspondent aux remplissages des deux récipients les plus
petits. Départ en (0, 0); trajet horizontal jusqu'en (8, 0); rebond vers le
(3,5); etc. Arrêt pour (6, 0).
Dans ce
cas, où on exige de finir avec deux cruches contenant 6 litres, on se
souvient que la quantité d'eau total est de 12 litres. Au dernier point, nous
avons bien (6, 6, 0). L'avant-dernier point, qui pourtant donne 6 litres dans
la moyenne cruche, ne peut pas être retenu car il n'y a que: 12 – 6 – 5 = 1 litre dans la grande cruche. Ce tracé
en rouge comporte 7 étapes; le tracé en vert (en commençant par remplir la
petite cruche) conduirait à 18 étapes. |
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Comparaison des énigmes à deux ou trois récipients
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Le problème (12; 12, 8, 5 – 6, 6)
que nous venons de résoudre est équivalent au problème plus simple (8; 8, 5 -
6) à ceci près que nous avons introduit deux mesures (6 et 6). Par contre, la
méthode de résolution reste la même (diagramme). Les problèmes de transvasements
les plus classiques (A; a, b, c – M) sont ceux pour lesquels: A = a = 2k = b
+ c comme le (8; 8, 5, 3 – 4) |
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Vers 300av. J.-C. |
Avec son algorithme, il nous offre la possibilité de résoudre ce
puzzle |
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735-804 |
Pose le problème (12, 8, 5 – 6, 6) et le résout |
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Albert
Abbot 1240 |
Publie Annales Stadenses dans lequel apparait le problème des trois
flacons. Albert est un abbé de Stade une ville proche de Hambourg en
Allemagne. |
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Nicolas Chuquet 1484 |
Triparty en la science des nombres. Jeu du tavernier (5; 5, 3 – 4) |
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1400-1500? |
On dit que c'est le problème qui se posait aux livreurs de lait qui
devaient faire la distribution avec des récipients de différentes tailles. |
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Nombreux
… parmi les plus connus: |
Pacioli (vers 1500), Cardan
(1539), Tartaglia
(1556), Sam
Lloyd (1896), Dudeney
(1902) |
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Claude
Gaspard Bachet 1612 |
Problèmes plaisants et délectables. Énigmes (8; 8, 5, 3) |
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1640-1717 |
Reprend le problème (12, 8, 5 – 6, 6) en 1694. |
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Simeon Poisson (1781-1840) |
Passionné par ces énigmes plutôt que par ses études de médecine. Il
trouve les solutions et, même, se décide à poursuivre dans le domaine des
mathématiques. |
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Nombreux
livres… |
Récréations mathématiques, amusements mathématiques, récréations
rationnelles … Les cadeaux difficiles – Vinot (1860) |
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Elizabeth
Crowley 1926 |
Technique de résolution en passant par des équations diophantiennes. |
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M.
Tweedie 1939 |
Cas de (8; 8, 5, 3 - 4, 4). |
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H.
Grossman 1940 |
Une méthode générale pour résoudre les énigmes de mesure d'eau (a
generalization of the water-fetching puzzle). |
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D'autres
… |
W. Buker, Eric Goldstein,
W. Scott, W. Sawyer, David Stein |
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H. Coxeter et S. Greitzer 1967 |
Ouvrage de référence: Geometry Revisited. |
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P.
Lawrence 1972 |
Approche algébriques des problèmes de transvasement (An algebraic
approach to some pouring problems). |
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Une
journée en enfer Die Hard – With a vengeance 1995 |
Dans le film Die Hard III, Mc Clane (Bruce Willis) et Zeus (Samuel L.
Jackson) doivent résoudre un problème de transvasement
pour éviter une explosion >>> |
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Alexander
Bogomolny 2000 |
Pages internet complètes sur le problème des trois cruches et sa
résolution (The three Jugs Problem). |
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Jugs of water puzzle Liquid water pouring problems Mathematic decanting problems Measure Four Gallons with Two Jugs Measuring problems The three jugs problem The three jugs riddle The two jugs puzzle Water jug challenge Water jug problems Water pouring puzzles |
Mc Clane and Zeux find a
puzzle with a bomb, beside a fountain in a city park. They are given a five
gallon jug and a three gallon jug, and have to measure out exactly four
gallons of water on a scale to keep a bomb from exploding. They only have two
minutes to figure out how to do this.
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Voir Anglais – Le bagage minimum
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Réponse Les sorties vers 4 et 9 sont bouchées. Le café remplira la
partie gauche puis le vase central jusqu'à créer l'écoulement vers le tuyau
vers la droite. Après remplissage du vase du bas à droite, le niveau
atteindra la sortie vers la tasse 7 qui est bouchée, puis le tube de la tasse
5 par où le café pourra s'écouler. |
Voir Autres
problèmes qui affolent le Net
Merci à Julie D. et à Frédéric S. pour leurs
contributions
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Voir |
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Sites |
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