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PHYSIQUE

 

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Barycentre

 

 

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Barycentre

 

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Sommaire de cette page

>>> Centre de gravité

>>> Barycentre

>>> Principe d'équivalence

>>> Pourquoi tout cela?

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Centre de Gravité  / Barycentre

 

Cette page est une page d'introduction:

*      sur le centre de gravité,

*      sur le barycentre, une généralisation de la notion de centre de gravité, et

*      sur la méthode de calcul de la position du centre de gravité d'une forme complexe via le barycentre.

 

 

Centre de gravité

 

*    Le mot gravité est bien connu. C'est le phénomène de gravité qui fait que les objets sont pesants car soumis à la l'attraction de la Terre.

*    Le centre de gravité est associé à une notion d'équilibre. Selon sa position un corps peut tomber ou se mettre en rotation.

 

 

 

Du fait des symétries, le centre de gravité ici est également le centre géométrique, c'est-à-dire l'intersection des diagonales.

Si la verticale passant par le centre de gravité passe à travers le pied  (la base) de l'objet, celui-ci tient en équilibre; sinon (cas à droite), il tombe.

 


     Stable       Semi-stable            Instable

 

 

Voir Calcul du centre de gravité de cet escalier

 

 

*    Un objet pendu se positionne en équilibre lorsqu'il y a autant de matière à droite qu'à gauche, autant devant que derrière ….

*    Par exemple, le disque pendu se met en équilibre lorsqu'il y a autant de matière (un demi-disque) de chaque côté de la verticale passant par le point de fixation.

 

On suppose que le disque est uniforme. S'il est plastique ou en métal, le matériau est homogène et l'épaisseur est bien régulière.

 

     Repos       Va se mettre en mouvement  

 

*    La verticale (ligne pointillée bleue) est une "ligne de gravité" pour le disque.

 

*    En choisissant de suspendre le disque par un autre point (de sa circonférence ou non), il va prendre une position d'équilibre et la verticale passant par le point de suspension marquera une autre "ligne de gravité" sur le disque.

 

*    Le point d'intersection des deux lignes (bleues) est le centre de gravité. 

 

On néglige l'effet du trou de fixation.

 

Le point d'intersection de deux lignes de gravité est le centre de gravité. C'est aussi une manière de trouver le centre d'un disque.

 

 

 

L'idée …

Pour étudier le centre de gravité d'un objet ou d'un système formé de plusieurs objets, l'idée consiste à d'abord s'intéresser au centre de gravité entre points dotés de masses (en fait d'une pondération). Ce type de centre de gravité s'appelle barycentre.

Si les "masses" sont toutes identiques, c'est l'isobarycentre.

Voir Vocabulaire autour du centre de gravité

 

 

 

Barycentre (du grec barus = lourd)

 

Barycentre de deux points de même "masse"

 

*    Deux masses de 4 unités sur le fléau de la balance. Une longueur égale de chaque côté (ici, 6 unités) réalise l'équilibre.

*    Le centre de poids, ou barycentre est au milieu du fléau.

 

Visualisation des influences

*    On peut visualiser l'équilibre sous l'influence des masses et des longueurs de bras en dessinant des rectangles équivalents.

 

Position des deux points M1 et M2

*    Ayant même "masse", le centre de gravité est au milieu de M1M2.

*    C'est aussi le barycentre qui se calcule en ajoutant 4 fois le vecteur GM1 et en retranchant 4 fois le vecteur GM2.

 

 


 

 

Barycentre de deux points de "masse" différentes

 

*      Deux masses de 4 et 8 unités. Cette fois la longueur des bras est adaptée pour réaliser l'équilibre.

*    Le centre de poids, ou barycentre est au 2/3 du bras

 

Visualisation des influences

*    Les rectangles montrent quelles doivent être leurs aires pour obtenir l'équilibre.

 

Position des deux points M1 et M2

*    Le deux points M1 et M2 étant donnés, il faut trouver le point G tel que la somme des vecteurs GM1 et GM2, chacun en autant de quantité que le nombre de "masse" associé, soit nulle.

 

 

 

Barycentre de trois points de "masse" différentes

 

*    1) Trois masses de 2, 7 et 3 unités. Trouvez le barycentre G.

*    2) Les trois vecteurs sont additionnés autant de fois que l'indique leur "masse".

 

*    3) La sommation de ces trois groupes de vecteurs alignés doit conduire à un vecteur nul. Autrement-dit, former une boucle fermée.

 

Évidemment, ces figures successives ont été tracées en connaissant le résultat final.

 

 

Interprétation

*    Maintenons rigidement les trois masses par des tiges immatérielles.
Alors, l'ensemble suspendu au point G sera en équilibre.
Ou, posé sur une aiguille au point G, le système gardera l'équilibre.

 

 

 

 

 

 

 

Principe d'équivalence

 

*    Reprenons le système des trois masses. En faisant se rapprocher les trois points vers le point G de façon proportionnelle (homothétique), le système conservera son équilibre. Même jusqu'à concentrer la totalité de la masse au point G.

 

*    Archimède vers 250 av. J.-C.  étudie le centre de gravité des surfaces planes. Il affirme:

 

Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré.

   

*    Puis Huygens (1629-1695) énonce le principe d'équivalence du barycentre:

 

Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieures du système agissant toutes sur ce barycentre.

 

*    D'Archimède à Huygens, on passe du mode statique (équilibre) au mode dynamique (mouvement) avec le barycentre vu comme le point fondamental pour étudier le mouvement d'un système (notion de centre de masse ou centre d'inertie).

 


Même effet si on concentre le système en son centre de gravité (ou son barycentre pour des systèmes complexes), aussi bien en termes d'équilibre que d'effet de rotation.

 

 

 

 

Pourquoi tout cela ?

 

*    Vous voulez connaître le centre de gravité de cette forme particulière. Comment s'y prendre?

*    Cette forme est composée de deux formes simples: des rectangles. Nous connaissons le centre de gravité du rectangle, c'est son centre géométrique, situé à l'intersection des diagonales.

*    Avec le principe d'équivalence, nous concentrons la masse de chaque rectangle en leur centre soit:

*    4 x 8 = 32 pour G1

*    6 x 10 = 60 pour G2

*    Nous voilà en présence de deux points ayant chacun une "masse" particulière. Si nous en calculons le barycentre, nous aurons le centre de gravité de cette forme particulière.

*    Nous apprendrons dans les pages qui suivent comment trouver les coordonnées de G.

 

 

Le centre de gravité G est le barycentre de G1 et de G2, chacun de ces points étant le centre de gravité des rectangles élémentaires et chacun étant pondéré de l'aire de ces rectangles.

 

Bilan

Nous savons ce qu'est un centre de gravité, une sorte de centre de l'équilibre. Lorsque l'objet est simple (disque, carré), le centre de gravité est le centre géométrique de l'objet.

Lorsque l'objet est complexe, la position du centre de gravité se déduit du calcul du barycentre des centres de gravité des objets élémentaires composant l'objet complet.

 

 

 

 

Suite

*  Centre de gravité – Calcul des coordonnées

*  Centre de gravité et barycentreGlossaire / Vocabulaire

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Équations – Analogie de la balance

*  Euréka

*  Forces

*  Histoire

*  Levier

*  Multiplication

*  SciencesIndex

*  Treuil

Aussi

*  Gravité dans DicoMot

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