NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Vitesse

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Devinette – Les pêcheurs

>>> Énigme 1 – Le terrassier

>>> Énigme 2 – Le carreleur

>>> Énigme 3 – Le peintre

>>> Énigme 4 – Production de pièces

>>> Énigme 5 – Travaux dans les champs

 

 

 

 

 

Travaux à quelle vitesse?

 

Chaque ouvrier travaille à son rythme. En les regroupant à quelle vitesse s'exécute le travail? Ou l'inverse: on connait le travail en groupe, retrouver la vitesse de travail de chacun.

 

 

Devinette

Il faut 5 minutes à 5 elfes pour emballer 5 cadeaux.

Combien de temps pour 50 elfes et 50 cadeaux à emballer ?

 

Cinq pêcheurs pêchent cinq poissons en cinq heures.

Combien de pêcheurs pour prendre vingt poissons en une heure?

Solution illustrée

 

 

Énigme 1 – Le terrassier

Problème

*      Il creuse un trou de forme cubique de 4 m de côté en huit jours.

*      Il lui reste un autre trou de forme cubique de 2 m d côté à creuser.

*      Combien de temps va-t-il y passer?

 

Solution 1

En huit jours, il creuse: 4x4x4 = 64 m3
Soit 64 / 8 = 8 m3 par jour.

Or, le nouveau trou a un volume de: 2x2x2 = 8 m3

Un seul jour de plus sera nécessaire pour creuser le second trou.

 

Solution 2

Rapport des volumes:

 

 

Énigme 2 – Le carreleur

 

Problème

*      Huit ouvriers posent 8 000 carreaux en huit jours

*      Combien de carreaux seront posés par 4 ouvriers en quatre jours?
 

 

Solution 1

8 hommes en 8 jours => 8 000 carreaux

4 hommes en 8 jours => 4 000

4 hommes en 4 jours => 2 000

 

Solution 2

Rapport entre les activités:

 

 

Énigme 3 – Le peintre

Problème

*      Peintre confirmé: 3 jours pour repeindre les pièces de la maison.

*      Peintre débutant: 6 jours pour le même travail.

*      Combien de temps à tous les deux

 

Solution

*      Observons le travail réalisé à la fin de la première journée:
- le premier aura fait 1/3 du travail, et
- le second 1/6
Au total:

*    Avec un deuxième jour de travail, ils auront terminé la peinture de la maison.

 Voir Fractions au même dénominateur

 

 

Problème

 

*      Un peintre met 24 heures pour peindre les pièces de cette maison.

*      Un deuxième est connu pour mettre seulement  12 heures.

*      Mais le troisième est encore plus rapide. Il finit ce travail en 6 heures.

 

*      Combien de temps faudrait-il en mettant les trois peintres ensemble à la tâche?

 

 

Solution

 

*      L'idée est de revenir à une unité de base commune: le travail réalisé par chacun en une heure ou même moins si nécéssaire.

*      En fait, avec 24, 12 et 6, on pourra prendre 24 divisions (car c'est le PPCM de ces trois nombres).

*      Alors, en une heure:

*      Le premier en fera 1/24 de maison

*      Le deuxième   fera 1/12 soit 2/24; et

*      Le troisième pourra faire 1/6 soit 3/24.

*      En associant les trois, en une heure, ils vont couvrir:

 

 

*    En une heure, ils couvrent un quart de la maison. Pour terminer, il faut seulement 4 heures.

 

 

 

Énigme 4 – Production de pièces

 

 

 

Problème

 

*      Trois ouvriers travaillent à des rythmes différents.
Pour réaliser 24 pièces, ensemble:

*   Les deux y arrivent en deux jours;

*   Le premier et le troisième mettent trois jours; et

*   Le deuxième et le troisième ont besoin de quatre jours.

*      Combien de temps mettrait chacun pour réaliser les 24 pièces?

 

Résolution

On note a, b et c la quantité de pièces produites en un jour par chacun.

Les données permettent d'écrire un système de trois équations dont la solution est indiquée dand le tableau.

 

La colonne de droite donne le numéro de l'équation. Celle de gauche indique les opérations sur les équations selon leur numéro.

 

 

Solution

L'ouvrier A produit 7 pièces par jour, soit 3 jours pour les 24;

L'ouvrier B est à 5 pièces par jour, soit 4,8 jours; et

L'ouvrier C, avec une pièce par jours, mettra 24 jours.

 

 

 

 

Énigme 5 – Travaux dans les champs

Cette énigme est semblable à la précédente.

Elle est rapportée avec ces nombres par Ozanam.

 

Problème

 

*      Trois ouvriers agricoles.

*   Les deux premiers, travaillant ensemble, terminent le champ en huit jours;

*   le premier et le troisième finissent un même champ en neuf jours; et

*   si ce sont les deux derniers qui s'attaquent au même champ, c'es dix jours qu'il leur faut.

*    Quel est le temps nécessaire à chacun pour travailler seul le même champ?

 

 

Mise en équation

 

*    Le champ mesure T mètres carrés ou hectares (peu importe, pourvu que la même unité soit utilisée tout le long)

 

*    Chacun a une capacité (vitesse) de travail égale à:  a, b et c  m² par jour

*    En huit jours, le premier ouvrier exécute 8a m²  et le deuxième 8b m². Or, ils finissent le champ:
8a + 8b = T.

*    En poursuivant le raisonnement nous formons un système de trois équations:

 

 

 

 

Résolution

La colonne de droite donne le numéro de l'équation

Celle de gauche indique les opérations sur les équations selon leur numéro.

 

Solution

a, b et c sont les vitesses d'exécution journalière du travail

Durée de travail  pour tout le champ par chacun des ouvriers:

 

 

Remarque: matrices

 

Notons les coefficients des trois équations du départ dans un tableau et également les résultats:

 

Ces tableaux s'appellent des matrices et celui de droite est le résultat de la diagonalisation de la première.

 

 

À gauche, les paramètres sont liés (8a + 8b pour faire T) alors qu'une fois diagonalisée, les paramètres sont purs (720/49 a pour faire T). 

 

 

 

 

Devinette – Solution

 

Énigme

Il faut 5 minutes à 5 elfes pour emballer 5 cadeaux.

Combien de temps pour 50 elfes et 50 cadeaux à emballer ?

 

Réponse express

5 minutes

 x   5  elfes

=>   5 cadeaux

5 minutes

 x   1  elfe

=>   1 cadeau

5 minutes

 x 50  elfes

=> 50 cadeaux

 

 

Énigme

Cinq pêcheurs pêchent cinq poissons en cinq heures.

Combien de pêcheurs pour prendre vingt poissons en une heure?

 

Attention

Même si ce n'est pas dit dans l'énoncé, il s'agit de moyennes. En effet, avec beaucoup de chance, il se pourrait qu'un seul pêcheur ramène les vingt poissons en seulement quelques minutes. L'énigme serait sans intérêt.

 

Réponse express

5 heures

 x    5  pêcheurs

=>   5 poissons

1 heure

 x    5  pêcheurs

=>   1 poisson

1 heure

 x 100  pêcheurs

=> 20 poissons

 

 

Solution avec illustration montrant comment s'y prendre

Quel que soit le moment de la pêche de chacun, on peut imaginer sans changer le résultat final que le premier pêcheur (P1) à pêché un poisson la première heure (H1), le deuxième, la deuxième heure, etc.

On aurait pu dire que le premier pêcheur a pêché les cinq poissons dans la première minute, puis rien pendant 4 h 59 min et aucun poisson pour les autres. Le résultat serait le même.

L'illustration représente notre hypothèse et montre qu'en moyenne, il faut 5 heures à un pêcheur pour prendre un poisson.

Pour avoir vingt poissons en une heure, il faut reproduire vingt fois la première ligne, soit 20 x 5 = 100 pêcheurs. Il se trouve alors que vingt d'entre eux ont la chance de prendre un poisson durant cette heure, alors que les quatre-vingts autres restent bredouilles. Mais, ils sont nécessaires dans le calcul de la moyenne. Dit-autrement: on ne sait pas a priori lesquels vont être chanceux.

Note: si j'avais placé les cinq poissons sur la ligne du bas (soit la première heure), je n'aurais

pas respecté les données de l'énoncé.

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Suite

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*    Six ouvriers

*    Temps de travail – Énigmes

*    Transvasements

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*    Contenance – Bouteilles

*    Mélange eau - pastis

*    Paquebot de Lucas

*    Progression géométrique

*    Tonneau percé

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