NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Racines

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Racines

Racines de l'unité (1)

Racines de l'unité (2)

 

Sommaire de cette page

>>> Racine carrée avec un exemple

>>> Racines avec De Moivre

>>> Exemples de calculs en polaire

>>> Calcul développé avec le même exemple

>>> Tables des racines carrées de complexes

 

 

 

 

Nombres complexes

RACINES

 

La forme polaire se prête aisément au calcul de la racine nième d'un nombre complexe.

 

 

Racine de  ???

 

 

Racine carrée de i – Calcul

*    Prenons

(a + ib

= i

*    En développant

a² – b² + iab

 = i

*    En égalant réels et imaginaires

a² – b²

2iab

= 0

= i

*    Conclusions

a

2a²

= b

= 1

*    Valeur de a et b

a = b

*    Valeur de racine e i

 

 

Racine carrée

*    Calculez:

= ?

*    Forme générique:

= a + ib

*    Au carré:

3 + 4i

= a² – b² + 2iab

*    En égalisant partie réelle et partie imaginaire:

3

4

= a² – b²

= 2ab

*    Valeur de b:

b

= 2/a

*    Expression en a:

3

= a² – 4/a²

*    Équation:

3a²

= a4 – 4

*    Avec A = a²

0

= A² + 3A – 4

*    Racine évidente:

A1

= 1

*    Factorisation:

0

= (A – 1) (A + 4)

*    Seconde racine:

A2

= 4

*    Soit les quatre valeurs possibles pour a:

a

= {1, –1, 2, –2}

*    Valeurs correspondantes pour b:

b

= {2, –2, 1, –1}

*    Les solutions possibles:

=   1 + 2 i

= –1 – 2i

=   2 + i

= –2 – i

*    Validation par le carré.

(1 + 2i

(–1 – 2i

(2 + i

(–2 – i

= 1 – 4 + 4i = –3 +4i

= 1 – 4 + 4i = –3 +4i

= 4 – 1 + 4i = 3 + 4i

= 4 – 1 + 4i = 3 + 4i

*    Élimination des artefacts du fait de l'élévation au carré.

= 2 + i

ou

= –2 – i

 

 

Bilan

Nous avons de la chance avec cet exemple car l'équation du second degré est facile à résoudre. Le calcul en polaire évite ce souci, mais implique une bonne connaissance de la trigonométrie. Voici la théorie, puis nous reprendrons la résolution du même exemple.

 

 

 

Racines avec De Moivre

 

*    Un nombre complexe sous sa forme cartésienne et sous sa forme polaire.

 

z = a + i .b

*    Formule de De Moivre

 

 

 

 

Autre écriture:
 

 

 

 

 

 

 

*    Racine nième d'un nombre complexe; c'est, en fait, la puissance 1/n.

 

 

 

 

Soit, autant de racines que de valeurs de k, un nombre entier.

 

En résumé

 le module de la racine nième

est la racine du module initial.

 

 l'argument de la racine nième

est l'argument initial divisé par n.

 

Illustration (valeurs numériques de l'exemple)

Le point M' est l'image de la racine du nombre complexe représenté par M. Le module (r) et l'argument (A) sont calculés ci-dessous)

 

Notez bien La tangente de A est 4/3 et cette de A/2 est ½, pas du tout dans le rapport des angles ( ½).

 

 

 

 

Exemples de calculs en polaire

 

 

 

 

 

Calcul de racine développé en polaire

*    Racine en polaire

*    Calculez:

= ?

*    Forme polaire: module

r

 

=   = 2,236…

Argument (angle)

A

= arctan(4/3) = 0,927… rad

                           = 53,13…°

 

A/2

= 0,463… rad = 26,56…°

Note: la tangente de cet angle en radians est 1/2.

*    Racine en polaire:

Forme numérique:

 

*    Passage à forme classique (cartésienne) en a + ib.

Module

t

  a² + b² = 5

Argument

B

= b / a = 1/2

  a = 2b

Expression en b

 

4b²+ b² = 5

  b = 1 ou –1

et en a

 

a = 2 ou –2

*    Soit la forme classique de la racine:

=   2 + i

ou

= –2 – i

 

 

Table des racines carrées pour a et b de 0 à 5


 

Exemples de lecture: racine carrée de i = 1 + i; racine carrée de (3 + i) = 1,76 + 0,285 I; etc.

 

Notez les valeurs entières en jaune, dont notre exemple qui repose sur la propriété du triplet de Pythagore: 3² + 4² = 5².

 

Voir TablesIndex

 

 

 

 

Suite

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