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Édition du: 27/01/2020 |
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INDEX |
Compter – Moyenne |
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Carré magique avec des moyennes
Carré magique
spécial. Chaque nombre est la moyenne arithmétique des quatre nombres
voisins. De tels carrés
témoignent de la distribution d'un champ (de températures, par exemple) sous
contrainte par les bords. |
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Sommaire de cette page >>> Approche >>> Comment construire le carré des moyennes >>> Programmation Maple >>> Exemples |
Débutants Glossaire |
Anglais: magic square with mean values, heat propagation, temperature field
modeling
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Carré 2 x 2 En bleu sur la périphérie du carré, les nombres indiqués sont des
contraintes. Chaque nombre dans le carré central est la moyenne des quatre nombres
qui l'entoure.
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La valeur 100 sur les deux bords s'émousse pour
en se propageant vers le 0 des deux autres bords. |
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Carré 3 x 3 Ce
nouveau carré de moyennes avec contraintes latérales montrent d'autres
valeurs intermédiaires pour rejoindre les contraintes extrêmes. En tant que moyennes, les valeurs internes au
carré sont toujours comprises entre les contraintes maximales et le
minimales. On montre facilement qu'à contraintes données, le
carré est unique. |
Les valeurs dans le carré sont intermédiaires
entre 0 et 100. |
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Une méthode
consiste à proposer des valeurs et à procéder par itération pour converger
vers une solution. Une
première version de départ consiste à remplir le carré avec, par exemple, la
valeur minimale des contraintes. On
calcule alors les moyennes pour caque cellule avec les nombres tels qu'ils
sont. |
Carré rempli de 0 et calcul d'une cellule: |
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Calculs successifs
des quatre cellules suivantes selon les étapes d'itération. La
deuxième itération donne un résultat qui mérite de continuer … À la
cinquième itération, se dessine une solution qui va se matérialiser à la
neuvième, avec trois chiffres derrière la décimale. Pour huit
décimales, il faudrait dix-neuf itérations. |
Avec les itérations, les nombres convergent asymptotiquement
vers les limites. Arrêt selon la précision souhaitée. |
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Ne pas tenir compte des 0 dans les coins
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Programme qui calcule un carré des moyennes selon
un processus itératif qui s'arrête dès que la précision voulue est atteinte. CMD: carré moyennes de Dirichlet. Commentaires Procédure de calcul d'une
itération sur la matrice A de dimension d. Pour éliminer les coins, on balaie les lignes et
colonnes de 2 à d – 1. Calcul classique de la moyenne. La procédure retourne la matrice avec les
nouvelles moyennes. Le programme principal commence par
appeler le module d'algèbre linéaire qui sera utile pour comparer la matrice
nouvelle avec la matrice ancienne. Définition de la matrice A avec ses contraintes. On demande une précision de sortie de trois
chiffres significatifs. Initialisation de deux matrices: Ae: matrice en
cours d'évaluation et Aev, matrice calculée au tour précédent. Boucle de 20 itérations, par exemple. Calcul de la nouvelle matrice 5 x 5. Lorsqu'on rencontre une nouvelle matrice qui
égale à l'ancienne (selon la précision demandée), on imprime cette matrice et
son numéro d'itération. Résultats En bleu en haut, la matrice obtenue avec trois
chiffres significatifs (12 itérations). En bas, avec sept chiffres significatifs (25
itérations). |
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Voir Programmation – Index
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