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Édition du: 27/01/2020

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Moyenne

Compter

 

Carrés magiques

Compter – Moyenne

Débutants

Introduction

Comparaison

Confiance

Somme entiers

Carré magique

 

 

Carré magique avec des moyennes

Carré des moyennes de Dirichlet

 

Carré magique spécial. Chaque nombre est la moyenne arithmétique des quatre nombres voisins.

De tels carrés témoignent de la distribution d'un champ (de température, par exemple) sous contrainte par les bords.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Comment construire le carré des moyennes

>>> Programmation Maple

>>> Exemples

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Anglais: magic square with mean values, heat propagation, temperature field modeling

 

Approche

haut

 

Carré 2 x 2

En bleu sur la périphérie du carré, les nombres indiqués sont des contraintes.

Chaque nombre dans le carré central est la moyenne des quatre nombres qui l'entoure.

 

 

 

La valeur 100 sur les deux bords s'émousse pour en se propageant vers le 0 des deux autres bords.

 

Carré 3 x 3

Ce nouveau carré de moyennes avec contraintes latérales montrent d'autres valeurs intermédiaires pour rejoindre les contraintes extrêmes.

 

En tant que moyennes, les valeurs internes au carré sont toujours comprises entre les contraintes maximales et le minimales.

On montre facilement qu'à contraintes données, le carré est unique.

 

 

Les valeurs dans le carré sont intermédiaires entre 0 et 100.

 

Comment construire le carré des moyennes

haut

 

Une méthode consiste à proposer des valeurs et à procéder par itération pour converger vers une solution.

Une première version de départ consiste à remplir le carré avec, par exemple, la valeur minimale des contraintes.

On calcule alors les moyennes pour caque cellule avec les nombres tels qu'ils sont.

 

Carré rempli de 0 et calcul d'une cellule:
(100 + 100 + 0 + 0) / 4 = 50

 

 

Calculs successifs des quatre cellules suivantes selon les étapes d'itération.

La deuxième itération donne un résultat qui mérite de continuer …

 

À la cinquième itération, se dessine une solution qui va se matérialiser à la neuvième, avec trois chiffres derrière la décimale.

Pour huit décimales, il faudrait dix-neuf itérations.

 

 

Avec les itérations, les nombres convergent asymptotiquement vers les limites. Arrêt selon la précision souhaitée.

 

Programmation Maple

haut

Ne pas tenir compte des 0 dans les coins

 

Programme qui calcule un carré des moyennes selon un processus itératif qui s'arrête dès que la précision voulue est atteinte.

CMD: carré moyennes de Dirichlet.

 

Commentaires

Procédure de calcul d'une itération sur la matrice A de dimension d.

Pour éliminer les coins, on balaie les lignes et colonnes de 2 à d – 1.

Calcul classique de la moyenne.

La procédure retourne la matrice avec les nouvelles moyennes.

 

Le programme principal commence par appeler le module d'algèbre linéaire qui sera utile pour comparer la matrice nouvelle avec la matrice ancienne.

Définition de la matrice A avec ses contraintes.

On demande une précision de sortie de trois chiffres significatifs.

Initialisation de deux matrices: Ae: matrice en cours d'évaluation et Aev, matrice calculée au tour précédent.

Boucle de 20 itérations, par exemple.

Calcul de la nouvelle matrice 5 x 5.

 

Lorsqu'on rencontre une nouvelle matrice qui égale à l'ancienne (selon la précision demandée), on imprime cette matrice et son numéro d'itération.

 

Résultats

En bleu en haut, la matrice obtenue avec trois chiffres significatifs (12 itérations).

 

En bas, avec sept chiffres significatifs (25 itérations).

 

Voir ProgrammationIndex

 

Exemples

haut

 

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*      Lejeune-Dirichlet – Biographie

Vidéo

*      Les carres magiques de Dirichlet (Olivier Druet)

Sites

*      Les carrés magiques de Dirichlet et les températures... – Thérèse Éveilleau

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Moyenne/CarreMoy.htm