NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

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MOYENNES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

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Calcul

 

Débutants

Introduction

Comparaison

Confiance

 

Sommaire de cette page

>>> Index

>>>  Moyenne arithmétique

     >>> Énigme avec calcul de moyennes

>>>  Moyenne géométrique

>>>  Moyenne harmonique

>>>  Suites

 

    

 

 

 

INDEX – MOYENNES

Général

*      StatistiquesGlossaire

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*    Probabilités

Arithmétique

*     Moyenne et médiane

Géométrique

Harmoniques

*      Nombres harmoniques

*      Construction des fractions égyptiennes

*      Invention de la moyenne harmonique

*    Moyenne harmonique et 140

*    Triangle harmonique de Leibniz

*    Diagonales de l'heptagone

Autres

*      Triplets de Pythagore

*      Autour des triplets

Propriétés

 

  

MOYENNES

 

Introduction et méthode de calcul.

Voir Débutants

 

Vocabulaire

Moyenne (arithmétique)

Moyenne pondérée

Barycentre (physique)

Espérance mathématique (probabilité)

Médiane (ne pas confondre avec moyenne)

Moyenne généralisée

 

Average, central tendency

Mean

Arithmetic mean

Weighted arithmetic mean

Geometric mean

Harmonic mean

Quadratic mean

Generalized mean (power mean)

Arithmetic-geometric mean

 

 

Soit une collection de n données

 

{ x1 , x2 , x3 … xi  xn }

 

 

 

Moyenne ARITHMÉTIQUE

 

Deux données

 

C'est la demi-somme des deux données.

 


 

 

Plusieurs données

 

Somme des données, divisée par la quantité de données.

 

C'est la note moyenne obtenue par un élève en classe (sans coefficient).

 

 

Exemple

 

10, 12, 13 et 16

M =  (11 + 12 + 13 + 16) / 4 = 13

 

Illustration

 

La moyenne arithmétique donne une valeur telle que la somme des écarts (flèches bleues) est nulle.

La somme de n fois la moyenne donne la somme des n valeurs.

Note sur la moyenne et la progression: Les nombres { x1 , x2 , x3 … xi  xn } sont dits en progression arithmétique, dans cet ordre, si la distance qui les sépare est constante. Avec trois nombres, si  2b = a + c alors b est la moyenne arithmétique de a et c.

 

 

Notation mathématique

 

Voir  Calculs et progression arithmétique

 

 

Devinette

Parmi les nombres consécutifs de 1 à n, on retire un nombre et on calcule la moyenne: 40,75. Quel est le nombre retiré?

Solution

 

 

 

 

Moyenne GÉOMÉTRIQUE

Deux données

La moyenne géométrique de deux valeurs est la racine carrée de leur produit

 

Analogie

C'est la propriété de la hauteur du triangle rectangle.

 

 

 

 

 

Un rectangle de côtés a et b et un carré de côté c ont même aire si c² = a.b (quadrature du rectangle).

  

Note: Dans le cas de deux valeurs, on parle également de moyenne proportionnelle.

 

Plusieurs données

 

La moyenne géométrique est égale à la racine nième du produit des donnés.

 

Le produit de n fois la moyenne donne le produit des n valeurs

 

Exemple

{1000, 5000}  

Avec le double de l'une et la moitié de l'autre, la moyenne géométrique est identique, les deux facteurs (1/2 et 2) s'annihilant: 

{2000, 2500}  

 

Cette moyenne s'applique lorsque les valeurs proviennent de sources diverses, sachant que les sources sont fausses sans doute de la même manière. La moyenne géométrique donne une valeur "équitable" telle que le facteur d'erreur d'estimation des données est atténué.

 

Notation mathématique

Qui se lit: la moyenne géométrique (x barre) est la racine énième du produit (c'est la lettre Pi majuscule) de chacune des valeurs xi pour i de 1 à n

 

Voir Progression géométrique / Symboles

 

 

Moyenne HARMONIQUE

 

Deux données

 

La moyenne harmonique fait intervenir la somme des inverses des nombres.

 

 

À titre illustratif, dans un trapèze, il est possible de mettre en évidence un segment en moyenne harmonique avec les deux bases

 

 

 

 

 

Plusieurs données

 

C'est la moyenne arithmétique des inverses

 

La moyenne harmonique intervient dans le calcul

*    de la vitesse moyenne sur un trajet parcouru à diverses vitesses (Voir exemple)

*    de la résistance équivalente dans les circuits comportant des résistances en parallèle.

*    de la longueur des cordes des instruments de musique (à l'origine du nom), car la fréquence produite est inversement proportionnelle à la longueur de la corde.

 

La moyenne harmonique est toujours plus petite que les deux autres, arithmétique et géométrique.

 

Voir Série harmonique / Suite harmonique (Leibniz) / Harmonique / Spectre numérique

 

 

SUITES ou PROGRESSIONS

 

Suite arithmétique

 

Trois termes entretiennent entre eux une proportion selon un excès donné et que l'excès du premier par rapport au deuxième est celui du deuxième par rapport au troisième.

 
Exemples de suite arithmétiques de trois nombres:

1, 2, 3 ou 2, 4, 6

Voir Progression arithmétique

 

Suite géométrique

 

Le rapport des trois termes est tel que le premier est au deuxième ce que le deuxième est au troisième.


Exemples de suites géométriques de trois nombres:

1, 2, 4 ou 3, 6, 12

Voir Progression géométrique

 

 

Suite harmonique

 

Trois termes tels que le premier terme dépasse le deuxième d'une fraction de lui-même et le moyen dépasse le troisième de la même fraction du troisième.

 
Autrement dit, a, b, c forment une suite harmonique si:

a < b < c et c / a = ((c - b) / b) / ((b - a) / b).

Exemples de suites harmoniques de trois nombres:

3, 4, 6 ou 6, 8, 12


Les inverses des nombres d'une suite harmoniques forment une suite arithmétique.

Voir Progression harmonique

 

 

 

 

Devinette – Solution

Parmi les nombres consécutifs de 1 à n, on retire un nombre et on calcule la moyenne: 40,75. Quel est le nombre retiré?

 

Solution (méthode générale)

 

Autre raisonnement (méthode particulière)

La quantité de nombres doit être en 4k + 1 et proche de 80, disons 81. La somme de 1 à 81 est égale à ½ (80 x 81) = 3 321. Or la somme des nombres sans x est 40,75 x 80 = 3 260. C'est que x = 3 321 – 3 260 = 61.

Retour / Voir Somme des nombres de 1 à n / ÉnigmesIndex

 

 

 

 

 

Suite

*    Comparaison entre les moyennes

*    Voir haut de page

Voir

*    Dénombrement

*    Isopérimètre

*    Moyenne et médiane

*    Opérations

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Renvois de liens

>>>  Comparaison

>>>  Illustration géométrique

>>>  Moyenne quadratique

>>>  Moyenne arithmético – géométrique