NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER

 

Débutants

Général

MOYENNES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Moyenne

 

Débutants

Introduction

Comparaison

 

Sommaire de cette page

>>>  Moyenne arithmétique

>>>  Moyenne harmonique

>>>  Moyenne géométrique

>>>  Énigme au marché

 

 

 

 

MOYENNES

Débutants

La moyenne classique, comme la moyenne des notes en classe, semble évidente à calculer: Additionnez toutes les notes et divisez par la quantité de notes.

 

Pourtant, il existe plusieurs types de moyennes. Elles peuvent réserver des surprises.

 

 

Moyenne – Une sorte de lissage

 

La moyenne est une valeur unique qui vise à représenter la tendance d'une collection de valeurs.

Elle remplacerait toutes ces valeurs pour donner un même résultat global si tout s'était toujours passé de manière égale.

 

Elle représente une sorte d'équilibre, de nivellement, de lissage entre toutes les valeurs de la collection.

Dans le langage courant, la moyenne est, en fait, la moyenne arithmétique, mais il en existe d'autres selon les besoins.

 

 

 

Moyenne ARITHMÉTIQUE – Comme les notes

 

C'est la moyenne des notes, méthode  bien connue à l'école.

Tout se passe comme si cet élève avait eu un 11 dans chacune des trois matières.

La moyenne (arithmétique) donne une valeur qui résorbe les excès et les manques.

L'élève s'efforce d'avoir une bonne note pour faire remonter la moyenne!

 

Lorsqu'il n'y a pas beaucoup de valeurs, il est possible d'évaluer de tête les écarts et de donner immédiatement la valeur de la moyenne.

 

 

Méthode directe

 

Méthode des écarts

 

"On ne demande qu'à en rire"

Émission de Laurent Ruquier où les humoristes sont notés par un jury de quatre personnes, puis vient s'ajouter la note du public.

La note est sur 20, et le seuil critique pour l'élimination est 12. Plutôt que de faire le calcul sur les notes, il est plus facile de calculer les écarts par rapport à 10 ou à 12.

*    Cet humoriste recueille: 11, 12, 12, 13. Sa moyenne est 12. Par comparaison à 12, le moins 1 du 11 compense le plus 1 du 13.

*    Cet autre aura: 11, 13, 14, 16. Par comparaison à 10: 1 + 3 + 4 + 6 = 14. Moyenne: 3,5. Note 10 + 3,5 = 13,5. La somme est également immédiate: 40 + 14 = 54.

 

 

Moyenne arithmétique pondérée – Comme au lycée

 

C'est la moyenne des notes au lycée lorsque certaines matières comptent plus que d'autres.

Tout se passe comme si, on avait obtenu autant de notes que l'indique le coefficient.
(Ici: une note 8, quatre notes 10 et deux notes 15, soit 7 notes au total, d'où la division par 7)

 

Suite Moyenne arithmétique

 

 

Moyenne HARMONIQUE – Les vitesse

 

C'est la moyenne utilisés pour calculer des vitesses moyennes.

 

Rappelez-vous, les calculs de vitesses fourmillent de pièges; celui de la moyenne des vitesses, aussi! Dans l'exemple la vitesse moyenne n'est pas 30 km/h.

 

Avec les problèmes de vitesses, le truc est de toujours s'en remettre à la formule

L = V . t

 

Cette moyenne fait intervenir, non pas la somme comme pour la moyenne arithmétique, mais la somme des inverses des nombres.

 

 

Aller: 5 km à 10 km/h puis 5km à 50 km/h

Retour: à quelle vitesse constante tout en mettant le même temps? Réponse 16,6 km/h.

 

Suite  Moyenne harmonique

 

Moyenne GÉOMÉTRIQUE – Les intérêts

 

 

C'est la moyenne qui permet de calculer les intérêts que rapporte une somme placée à la banque.

 

En effet, l'intérêt s'applique chaque année au capital plus les intérêts qui ont déjà été produits.

 

Cette moyenne fait intervenir la multiplication et les racines.

 

Pour deux valeurs, la moyenne géométrique est la racine carrée du produit des deux valeurs.

 

Et dans le cas général, la moyenne est la racine nième du produit des n valeurs.

 

 

En plaçant à 2% sur 1 an et 10% l'année suivante, c'est comme si on plaçait la même somme à 5,9% par an sur les deux ans.

 

Suite  Moyenne géométrique

 

 

Énigme au marché

 

Problème

Un marchand vend:

*      des poires à 3 euros les 6 et

*      des pommes à 3 euros les 10.

 

La fin du marché approche et il  lui reste 50 pommes et 50 poires. Il décide de les vendre 3 euros les 8. La moyenne entre 6 et 10 est 8, pense-t-il.

 

Empoche-t-il un bénéfice ou fait-il une perte?

 

Ce qui se produit

Le commerçant croit faire la bonne moyenne. Or, avec des divisions (3 euros divisés par 6 …), il faut se méfier!

La moyenne à utiliser  n'est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne harmonique.

 

Calcul à effectuer sur la base d'une paire de fruits

 

 

Solution

La vente globale des 2 x 50 derniers fruits lui rapporte: 3 x 100/ 8 = 37,5 euros.

En les vendant normalement, il aurait gagné: 3 x 50 / 6 + 3 x 50 / 10 = 25 + 15 = 40 euros.

 

Discussion

Manifestement, la moyenne entre 3 euros les 6 et un 3 euros les 10 n'est pas 3 euros les 8.

 

Le bon raisonnement en termes de moyenne

Une poire coûte: 300 / 6 = 50 cts.

Une pomme coûte: 300 / 10 = 30 cts.

En proposant une pomme et une poire, il doit vendre la paire de fruits: 50 + 30 = 80 cts.

Coût moyen d'un fruit: 80 / 2 = 40 cts.

Revenus pour les 100 fruits: 40 euros.

Ce qui revient à 7,5 fruits pour 3 euros en moyenne.

 

Voir  Fractions

 

 

 

 

Suite

*    Moyennes - Introduction

*    MoyenneIndex

Voir

*    Dénombrement

*    Élève moyen

*    Moyenne et médiane

*    Opérations

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