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Atlas / Géométrie / Transformation

 

Débutant

DicoMot

DicoNombre

VECTEUR

Sur cette page

>>> Vecteur – Approche et définition

>>> Vecteur – Propriétés

>>> Anglais

>>> Relation de Chasles

>>> Produit scalaire

>>> Produit vectoriel et produit mixte

>>> En savoir plus

 

 

Approche

*        Comment représenter:

-         la direction du Nord,

-         le poids de mon cartable qui pèse sur mes épaules,

-         la force que j'exerce quand je tire sur mon bagage à roulettes,

-         la vitesse de la voiture en ligne droite ou lorsque je vire,

-         la direction du Nord, ou plus exactement, l'intensité de l'attraction du pôle nord magnétique,

-         etc.

 

 

 

*        Une flèche plus ou moins longue fera l'affaire :

-         elle donne la direction, le sens ;

-         sa longueur témoigne du degré de force, de puissance …

 

 

 

 

 

Définition

 

Vecteur: segment de droite orienté qui représente une grandeur, comme une force, une vitesse, un champ
Le vecteur est représenté par un segment fléché (
).

 

Vecteur lié: dont l'origine est un point bien précis; synonyme de bipoint.

Vecteur libre: dont l'origine n'est pas fixée; représente toute la classe des vecteurs qui lui seraient équipollents.

 

Le nom vecteur vient du latin vector, celui qui transporte; passager d'un navire, cavalier; le verbe étant veho transporter.

Vocabulaire

 

Norme: sa longueur, notée

Vecteur unitaire: sa norme est égale à 1.

Direction: celle de la droite portant le vecteur.

Sens: orientation de la droite.

 

Quadrivecteur ou tétravecteur: vecteur à quatre composantes utilisé en théorie de la relativité.

 

Précision de vocabulaire

Un "vecteur" pris individuellement est appelé: bipoint.

Un vecteur est une classe d'équivalence de bipoints équipollents.

Ce qui veut dire:

*    équipollent: tous les mêmes par translation (voir ci-dessous).

*    classe d'équivalence: une famille

Traduction: un vecteur est en fait toute la famille des bipoints translatés.
On représente un vecteur par l'un quelconque de ses bipoints.

 

 

 

Propriétés

 

*        ÉGALITÉ
  
 

-         si les deux vecteurs ont même direction et même sens et si les longueurs AB et CD sont égales, ou

-         si ABDC est un parallélogramme, ou

-         si les segment [AB] et[CD] ont même milieu, ou

-         si CD est un vecteur obtenu à partir du vecteur AB par translation

 

*        On dit que les deux vecteurs sont égaux ou équipollents

 

 

Définition: deux vecteurs sont équipollents si et seulement si les segments AD et CB ont même milieu. Les points ABDC forment un parallélogramme. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et IJ = LK.

 

Opérations

 

*        ADDITION de vecteurs

 

-         Vecteurs bouts à bouts
Relation de Chasles

Voir Explication et exemple

 

-         Vecteurs avec même origine Règle du parallélogramme

 

Voir Addition de complexes /

Angles orientés

 

Addition dans le plan

=> parallélogramme

Addition dans l'espace

=> parallélépipède

 

*        MULTIPLICATION par un réel

 

-         Vecteur   et un nombre réel  non nul, le vecteur  est tel que      =>

-         Si  alors les points A, B et C sont alignés.

 

 

 

Norme =

Direction de

Sens de  si

Sens contraire de  si

 

 

Milieu

 

-         Segment [AB] et
I le point milieu de AB,
alors =>

 

 

Coordonnées

 

 

Polaires

Cartésiennes

Exp./Trigo.

Définition cartésienne

Coordonnées M

 

Affixe de

 

 

 

(x,y)

 

z = x + iy

 

 

/

Définition polaire

Coordonnées M

 

 

 

Affixe de

 

 

 

 

Z = X = iY

 

 

 

 

 

 

 

Exponentiel / Trigonométrie

Voir exemple application de la relation de Chasles / Cartésien / Polaire

 

Invention du vecteur

J'appelle somme géométrique d'un nombre quelconque de lignes a, b, c … données en grandeur, direction et sens, une ligne égale  et parallèle au dernier côté d'un polygone dont les autres côtés sont a, b, c .. placés bout à bout, chacun dans son sens propre.

Saint-Venant, comptes rendus de l'Académie des sciences en 1845

 

 

 

 

 

Anglais

 

Vector: The term vector is used to describe a quantity
that has a magnitude and a direction.

A point of application is not of concern in mathematics, while it does matter in physics.

A vector is an ordered pair consisting of a positive real number, the magnitude or length, and a direction in space.

The vectors a and b are said to be equal if they have the same magnitude and the same direction.

 

 

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

Relation de Chasles

*    Relation de Chasles


 

 

J'ajoute autant de points intermédiaires que je veux.

 

*    Exemple

 

Flèches des vecteurs omises.

 

 

Simplifier.

2AB + BC + BD

= AB + BC + AB + BD

=      AC     +      AD

 

 

 

 

*    Exemple

 

 

 

Rappel de construction de la somme de vecteurs.

 

Exprimer AM à partir de cette figure

 

AM + 2BA – 3CA = 0

AM = –2BA + 3CA

AM = 2AB – 3AC

 

 

Avec AB et AC dans le résultat, nous serions tentés de chercher une simplification en CB par relation de Chasles.

Pas possible et cette construction montre que nous ne pouvons pas aller plus loin dans l'expression de AM.

 

Il est tout de même possible de tenter quelque chose.

AM = 2AB – 2AC – AC

AM = 2 (AB – AC) – AC

AM = 2 (CA + AB) – AC

AM = 2 CB – AC

Nous venons de permettre la construction de AF par un autre chemin. pas plus, pas moins.

 

Voir Relation de Chasles avec les angles orientés

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

Produit scalaire et déterminant

Nom

Produit scalaire

Déterminant

Valeur

simple

 

formel

Représente

Projection

 

k est la projection de v sur u

 

Aire du parallélogramme

 

Idée

k = 0 si v est

 perpendiculaire à u

h = 0 si v est couché sur u;

v et u sont colinéaires

Calcul cartésien

 xx' + yy'

=  

 xy' – x'y 

=  

Cas particulier

 

… Sinon

 

 

ORTHOGONALITÉ

 

 

COLINÉARITÉ

 

Voir Colinéarité

Anglais

Scalar product

Vector projection k

Determinant

Vector product

 

Produit scalaire – Résumé

Repère orthonormé direct

Deux vecteurs

Définition du produit scalaire

 

Propriétés

 

 

 

 

 

Produit vectoriel

Le produit vectoriel  de deux vecteurs est le vecteur:

*    orthogonal au deux premiers;

*    la base est directe (les trois vecteurs u, v et w s'enchaînent comme en vissant); et

*    le module est donné par la formule en sinus.

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul par définition.

 

 

 

 

Produit vectoriel – Résumé

Repère orthonormé direct

Deux vecteurs

Définition du produit vectoriel – DIRECTION

Perpendiculaire au plan formé par les vecteurs

Définition du produit vectoriel – SENS

Règle des trois doigts

(main droite)

 

Valeur

Norme du produit vectoriel

= Air du parallélogramme (vert sur la figure)

Propriétés

 

 

Scalaire et vectoriel

M volume du parallélépipède

Mnémotechnique du produit mixte

Faire ce tableau

 

En positif les trois diagonales de type jaune en a1, b1 et c1:

a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3;

 

En négatif, les trois diagonales de type rose a1, b1 et c1:

a1b3c2+b1c3a2+c1a3b2.

 

Voir Volume du parallélépipède

 

 

 

 

 

En savoir plus

Voir suite en cliquant sur les mots de l'en-tête

 

*           Aire du parallélogramme

*           Angles orientés

*           Application - Médiatrice

*           Application aux forces

*           Base et repère

*           Centre de gravité du triangle (exemple de calcul vectoriel)

*           Déluge

*           Déterminant

*           DicoMot

*           Éléments de géométrie

*           GéométrieIndex

*           Relations de Chasles

*           Trigonométrie

 

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