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Voir Nombres
carrés / Constante Pi / Nombre 4
NOMBRES COMPLEXES Les tentatives pour résoudre
les équations du troisième degré,
faisant appel aux racines carrées de
nombres négatifs, ont conduit à l'invention des
nombres complexes. Cette invention, sous ses
multiples formes, se révélera très utile pour exécuter des calculs dans de nombreux domaines scientifiques, notamment l'électronique. En fait, le
nombre complexe est roi dans tous les domaines où ça tourne ou ça alterne. Le
complexe s'est également révélé fécond dans le monde des fractales Sur cette
illustration, le point M a pour coordonnées x = 3 et y = 2. Il représente le
nombre complexe 3 + 2i |
Nombres pas si complexes! Du moins au début …
La
dénomination "nombre complexe" n'est pas très heureuse, car un débutant peut en éprouver un
sentiment de blocage. Or, il s'agit tout simplement d'un couple de nombres
classiques liés par un symbole qui indique qu'un des nombres matérialise une
direction, alors que l'autre matérialise une direction perpendiculaire.
Les nombres classiques sont des nombres-ligne;
Les nombres complexes sont des nombres-plan. Il
est vrai que l'utilisation avancée des nombres complexes fait appel à la trigonométrie et aux exponentielles et devient vite une affaire
de connaisseurs. |
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Un
imaginaire bien utile
La lettre "i "est
l’initiale du mot imaginaire. Elle est utilisée pour caractériser un nombre
singulier, bien utile, mais sans existence réelle.
Par définition: ou autrement dit i est (symboliquement) la racine carrée
de –1: Quel est le nombre le plus moche? −1 car il est
hideux.
Avec ce simple nouveau nombre, il s’agit là, bel et bien,
de la construction d’un nouveau monde de nombres aux vertus extraordinaires:
Le monde des nombres imaginaires
(purs) lorsqu'ils sont seuls (5i)
Le monde des nombres complexes,
lorsqu'ils sont deux (4 + 5i). Le nombre 4 est la partie réelle et le nombre 5 est la partie imaginaire du nombre complexe. Note: pour ne pas
confondre i intensité et i la racine de – 1, les
électroniciens utilisent j pour symbole de racine de – 1. Par contre, en
maths, j est l'une des racines cubiques de
1. Les logiciels de calcul
utilisent le i majuscule. Voir Notations De
f
Les nombres classique (1,2, 3, …5, 666… Pi …) se
visualisent facilement en ligne, en les reportant sur une règle graduée.
Avec les nombres complexes, on étend le territoire de la ligne à la surface.
Ces nombres constituent un outil pratique pour résoudre des problèmes
en électricité, en fait, partout où il y a du mouvement, des ondes. Amusement |
Voir Identité
remarquable / Racine de 2 / Est-ce que i est irrationnel ?
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Les nombres entiers sont les nombres usuels, utilisés
pour compter la quantité de bêtes dans le troupeau ou toute autre chose. |
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Les Grecs pensaient que toute mesure pouvait se faire
avec des fractions: les
nombres rationnels. |
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L'école de Pythagore découvre que la racine de 2 ne
peut être une fraction!
C'est une valeur incommensurable,
un nombre irrationnel. |
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Les nombres réels sont tous les nombres possibles: ceux
vus ci-dessus, en y ajoutant d'étranges nombres dits transcendants. |
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Comment résoudre le cas des racines des entiers
négatifs? On a trouvé pratique de poser: .
Les nombres complexes sont formés de deux nombres réels
ajoutés dont l'un est multiplié par i.
Ils sont représentés par un point sur le plan.
Ces nouveaux nombres se sont avéré solution pratique de
nombreux problèmes. |
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Pourquoi ne pas passer du plan au volume, de la dimension 2 à 3? C'est l'invention
des quaternions, formés de quatre nombres ajoutés, et de son algèbre
particulière. |
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Peut-on généraliser et trouver d'autres types de
nombres, d'autres types d'algèbres?
Non, répond Frobenius: il n'y a que les réels,
les complexes et les quaternions si on veut conserver certaines propriétés de
ces nombres (multiplication, en particulier). |
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On peut, néanmoins, former d'autres nombres, mais en
laissant tomber certaines propriétés. Les octavions sont formés avec huit
nombres ajoutés. |
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Sédénions |
Après les nombres complexes (algèbre à 2 dimensions),
les quaternions (4), les octavions (8), voici les sédénions (16). |
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On a été amené à considérer la racine carrée de – 1. Et
pourquoi pas la racine nième de – 1.
C'est le monde des nombres cyclotomiques. |
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Voir Développements
sur les types de nombres
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Tout est parti de la racine carrée de – 1 puis à des tentatives de généralisations des algèbres. Pour culminer, au XXe siècle, à la recherche
de démonstrations sur l'existence et la quantité possibles d'algèbres. Ces
démonstrations faisant une incursion profonde dans un nouveau domaine ardu,
la topologie. Algèbre
classique: les
opérations classiques y sont réalisées comme en arithmétique habituelle: addition,
soustraction, multiplication, division. En
particulier, cette règle importante: Le module du produit est égal au produit des modules. |
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Imaginary Numbers: numbers that when squared give a negative
result. If you square a real number you always get a
positive, or zero, result. For example 3 × 3 = 9, and (-3) × (-3) = 9. What is ? The unit imaginary numbers is , the
square root of minus one, and its symbol is or
sometimes . Then and,
for example: . A complex number
is a number which can be put in the form a + bi, where a and b are real numbers. |
Suite |
Nombres complexes
– Développement
Complexe
– Index |
Voir |
Inventaire des types de nombres
Nombres
– Glossaire et index |
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