Nombres Imaginaires, introduction

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 11/11/2009

-Ý- RUBRIQUE: Nombres IMAGINAIRES					*Glossaire*
§ Introduction	§ Complexes	§ Quaternions		§ Octavions
§ Historique	§ Factorisation	§ Trois Algèbres		§ Cyclotomique
§ Somme carrés	§	§		§
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NOMBRES IMAGINAIRES (5i)

& NOMBRES COMPLEXES (4 + 5i)

Un monde fascinant

Un imaginaire bien utile

§ La lettre "i "est l’initiale du mot imaginaire

Ø Elle est utilisée pour caractériser un nombre singulier, bien utile, mais sans existence réelle

§ Par définition

Ø i x i = -1

Ø ou autrement dit i est la racine carrée de -1: i = Ö-1

§ Avec ce simple nouveau nombre, il s’agit là, bel et bien, de la construction d’un nouveau monde de nombres aux vertus extraordinaires

Ø Ceux des nombres imaginaires lorsqu'il sont seuls (5i)

Ø Et des nombres complexes, lorsqu'ils sont associés aux réels (4 + 5i)

De façon imagée

§ Les nombres réels (qu'ils soient entiers 1 2 3 … ou décimaux 1,23 3,14 ...) se représentent facilement sur une droite comme sur une règle graduée

§ Avec les nombres imaginaires (complexes), on étend le territoire de la ligne à la surface

§ Ces nombres constituent un outil pratique pour résoudre des problèmes en électricité, en fait, partout où il y a du mouvement, des ondes

Imaginary Numbers: numbers that when squared give a negative result.

If you square a real number you always get a positive, or zero, result. For example 3 × 3= 9, and (-3) × (-3) = 9. What is ?

The unit imaginary numbers is ,the square root of minus one, and its symbol is or sometimes .

Then and, for example: .

-Ý- INTRODUCTION

Entier	Compter (le nombre de bêtes dans le troupeau)
Fraction	Les Grecs pensaient que toute mesure pouvait se faire avec des fractions: les nombres rationnels
Irrationnels	L'école de Pythagore découvre que la racine de 2 ne peut être une fraction! C'est une valeur incommensurable, un nombre irrationnel
Réels	Les nombres réels sont tous les nombres rationnels, comme irrationnels, y compris les racines des nombres entiers positifs: Ö 2, Ö 3, Ö 7…
Complexes	Comment résoudre le cas des racines des entiers négatifs? Ö -1 = ? On a trouvé pratique de poser Ö -1 = i Et, on a généralisé en formant les nombres complexes a + ib Ils sont devenus la solution de nombreux problèmes Ils sont représentés par un point sur le plan
Quaternions	Pourquoi ne pas passer du plan au volume, de la dimension 2 à 3? C'est l'invention des quaternions et de son algèbre particulière
Autres Algèbres	Peut-on généraliser et trouver d'autres types de nombres, d'autres types d'algèbres? Non, répond Frobenius: il n'y a que les réels, les complexes et les quaternions si on veut conserver certaines propriétés de ces nombres (multiplication, en particulier)
Octavions	On peut, néanmoins, former d'autres nombres, mais en laissant tomber certaines propriétés
Sédénions	Après les nombres complexes (algèbre à 2 dimensions), les quaternions (4), les octavions (8), voici les sédénions (16)
Cyclotomiques	On a été amené à considérer la racine carrée de - 1. Et pourquoi pas la racine nième de -1. C'est le monde des nombres cyclotomiques