NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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VECTEURS et MATRICES

 

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VECTEURS

 

 

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Vecteurs débutants

Matrices débutants

Introduction

Addition

Multiplication

Puissance

Formes

Déterminant

Inversion

Historique

Seconde

 

Sommaire de cette page

>>> Un vecteur, c'est quoi ?

>>> Pourquoi un sens au vecteur?

>>> Somme de vecteurs alignés

>>> Comparaison entre vecteurs

>>> Somme de vecteurs quelconques

>>> Bilan: à bien retenir

>>> Exemple 1 – Somme

>>> Exemple 2 – Carré

>>> Exemple 3 – Somme nulle

>>> Translation

 

 

 

 

 

VECTEURS

Introduction pour débutants

 

Un vecteur est un outil mathématique. "Vecteur" est un mot pour désigner une flèche indiquant une direction dans l'espace. On connait les nombres qui mesurent les segments de droites qui sillonnent l'espace. Les vecteurs associent les deux en spécifiant une direction et une longueur.

En physique, la première application consiste à représenter par un vecteur une force appliquée dans une direction  et selon une certaine intensité.

 

Cette page est dédiée à ceux qui découvrent les vecteurs pour la première fois et ne comprennent pas tout de suite ce qu'ils sont et à quoi ils servent. Ce n'est pas un cours, mais une explication destinée à créer un déclic de compréhension.

 

Anglais: Vector / Euclidean vector

 

Image qui démontre la "force du vecteur"

Voir Pensées & humour

 

 

 

Un vecteur, c'est quoi ?

 

Exemple 1

Cette flèche qui montre le déplacement de la voiture de sport est un VECTEUR.

C'est aussi simple!

 

 

Le vecteur est le nom mathématique pour une flèche.

 

Exemple 2

Un boulet qui pèse 1 kg est suspendu au plafond, tenu par une corde. Le boulet ne tombe pas, il est accroché au plafond. Mais, il "tire" sur la corde.

On peut imaginer qu'une flèche représente la  force du boulet qui tire vers le bas. On appelle cette flèche symbolique: un vecteur.

 

(Du latin vector, dérivé de veho, transporter, comme dans l'expression: le moustique est vecteur de maladies)

 

Première expérience avec les vecteurs

Avec un second poids, on imagine bien que la force sera doublée (2 kg de force).

Voir Unités de force

 

 

On vient tout simplement d'ajouter deux vecteurs!
S'ils sont alignés, alors 1 + 1 = 2 kg.
En vecteurs (alignés), cela donne: AB + BC = AC

 

Recette: cela revient à effacer le B répété deux fois au centre de la somme.

 

 

Vecteur – Pourquoi un sens ?

Le vecteur est un objet mathématique qui possède trois caractéristiques: grandeur, direction et sens.

La grandeur du vecteur s'appelle la norme.

 

Définition: soit A et B deux points distincts, le vecteur  est caractérisé par

*      sa direction: celle de la droite (AB);

*      son sens: de A vers B; et

*      sa longueur, ou norme, notée AB ou  qui mesure la distance AB.

 

Pourquoi sens et direction ? On dit bien je me dirige dans la direction de l'est. Donc "direction" devrait suffire. Oui, mais on dit aussi une droite de direction verticale sans préciser si elle va vers le bas ou vers le haut.

Bah! Je dis bien: je suis sur l'autoroute en direction de Nice et alors tout est dit!  Certes. Mais, pour le garagiste qui viendra te chercher mieux vaut lui préciser la voie sur laquelle tu te trouves; je  suis sur l'autoroute A8 (Aix-Nice), dans le sens de Nice vers Aix.

Bref, en maths, on aime la précision, alors on donne la direction générale  (il y en a une infinité) et le sens (il y en a deux) sur cette direction.

Voir  DicoMot Maths Vecteur

 

 

Somme de vecteurs alignés

 

Maintenant prenons la corde avec la main et maintenons l'équilibre. Il faudra tirer avec une force de 1 kg. On symbolise cela avec la flèche bleue dans l'autre sens.

 

On vient de soustraire deux forces. L'une a un effet contraire à l'autre. Les vecteurs sont alignés, alors en terme de forces:
1 – 1 = 0.

 

En vecteurs, cela donne AB + AC = 0, le vecteur nul.
On a: AC = – AB  = BA (il faut bien sûr faire attention au sens de la flèche pour comparer),
On écrit cette somme de vecteurs: 
AB + AC = AB – AB = AB + BA = AA = 0.

 

Recette: on retrouve encore le B central qui s'efface. Ici, le vecteur résultat est AA, c’est-à-dire un point. D'où cette notion de vecteur nul.  

 

 

 

Comparaison entre vecteurs

Variété de situations

 

 

Noms de couples de vecteurs

 

 

Égalité

Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si

ils ont même direction, même sens et même longueur.

Voir Translation (traduisez: glissement sans rotation)

 

 

 

Somme de vecteurs quelconques

Après les vecteurs alignés, passons aux vecteurs de direction quelconque.

 

Si on tire la petite voiture avec une ficelle, elle va aller tout droit; dans le sens où on tire. Facile! 

 

 

Mais que se passe-t-il si deux enfants de même force tirent chacun sur une ficelle, chacun de son côté ?

 

D'abord, la force ne sera pas égale à 2, car on "perd" un peu de force à vouloir tirer sur les côtés. Ensuite, si les forces sont les mêmes, la voiture va avancer  sur le trajet central, droit devant elle, comme avec une seule ficelle.

 

 

 

On a montré que tout se passe comme si la force équivalente était dessinée par la diagonale du parallélogramme dessinée à partir des deux vecteurs à ajouter.

 

En vecteurs cela donne: AB + AC = AD.

 

 

Recette: Comme AB  et CD sont "équivalents", pour dessiner le parallélogramme, il suffit de mettre le vecteur AC au bout du vecteur AB.

 

 

 

 

 

 

 

Pour faire une somme de vecteurs: je mets les vecteurs les uns au bout des autres. Pratique non?

 

Sur ce dessin, on montre comment appliquer cela pour trois vecteurs. On met les vecteurs équivalents, bout à bout:

    AB + AC + AD 

       = AB + BC' + C'D' = AD' = AE

 

On voit que les points intermédiaires comme C' s'éliminent. Exemple: la somme des vecteurs AB + BC + CD + DE +…YZ  est égale à AZ.

 

Pour faire la soustraction de AB et AC, on se ramène à une addition en dessinant le vecteur AC' opposé de AC (le même, mais dans l'autre sens) et on effectue la somme:
AB – AC = AB + AC' = AB + BB' = AD.

 

 

 

BILAN: à bien retenir

 

La règle du parallélogramme: pour les additionner, on met les vecteurs bout à bout.

 

La relation de Chasles: les point intermédiaires (qui se répètent) d'effacent :

 

Vecteurs opposés: si AB + BA = 0, les vecteurs AB et BA sont opposés et AB  = – BA. Ils sont alignés.

 

Pour avoir un sens, formellement, il faut mettre un chapeau aux vecteurs:

 

 

Exemple 1 – Addition

Parmi les trois figures, dire quel dessin représente:  ?

 

Pour cela, on trace le parallélogramme (figure de droite) ou on met bout à bout les deux vecteurs. La somme est représentée par le vecteur AD.

C'est la figure du centre qui représente la somme demandée.

 

 

Somme Vecteurs bleus = Vecteur rouge

 

 

Exemple 2 – Carré

Si ABCD est un carré, dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

AB + AD = AC

AD = CB

On dessine mentalement le parallélogramme (ici, un carré) et on vérifie qu'effectivement l'égalité est correcte.

(Note: sans le chapeau ^, l'égalité proposée n'a pas de sens).

S'agissant d'un carré, les côtés AD et CB sont bien de même mesure. L'égalité sans le signe vecteur est correcte.

Par contre, avec les vecteurs:

 

DO + OA  = DA

Le point O est quelconque.

Cette égalité n'a de sens qu'avec la mention vecteur:

Le tracé du parallémigramme montre que cette somme est exacte.

D'ailleurs la recette de l'effacement du point central montre immédiatement que c'es bon (le O disparait)

Plus mathématiquement: on applique la relation de Chasles qui donne immédiatement la solution.

Le dessin du parallélogramme montre que la somme vaut  mais ce vecteur est équivalent à . (chez les vecteurs on sait se déplacer en restant équivalent).

Plus mathématiquement:

Communtativité (on peut inverser)

Relations de Chasles

Équivalence des vecteurs

 

 

Exemple 3 – Somme nulle

 

Problème

Deux points A (1; 2) et B (3, -4)

Coordonnées du point P tel que  ?

 

Solution

Si le vecteur-somme est nul, les vecteurs sont alignées et de sens opposés.

 

Le point P est au milieu du segment AB.

Soit en abscisse: (1 + 3) / 2 = 2

Et en ordonnées: (2 – 4 ) / 2 = – 1 

 

Les coordonnée du point P:

P (2; -1)

 

Vérification graphique

 

Translation

 

Retour au premier exemple montrant le déplacement d'une voiture de sport. Ici, on définit la translation par un vecteur (u) qui spécifie  direction, sens et grandeur du déplacement. Ce déplacement s'appelle une translation.

Le vecteur b est l'image du vecteur a par la translation u.

Les vecteurs a et b sont égaux.

 

 

 

 

 

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*  Matrix -- from Wolfram MathWorld

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