NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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STATISTIQUES

 

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Statistiques

 

 

INDEX

Statistiques

Débutant

Approche

Moyenne

Gaussienne

 

Sommaire de cette page

>>>   Approche

>>>   Série numérique, moyenne

>>>   Histogramme, étendue

>>>   Écart, histogramme centré

>>>   Variance, écart-type, dispersion

 

 

 

 

 

Les statistiques le démontrent:

il meurt plus de gens dans leur lit qu'au front.

L'Ombre du vent – Carlos Ruiz Zafon

Brièvement, et dans sa forme la plus concrète, l'objet des méthodes statistiques est la réduction de données. Une quantité de données qui, en général, de par sa simple masse est incapable d'entrer en l'esprit, doit être remplacée par des quantités en nombre relativement faible et qui doivent représenter adéquatement le tout ou qui, en d'autres termes, doivent contenir le plus possible - idéalement la totalité - de l'information pertinente contenue dans les données originelles.

Ronald Fisher – 1922

Voir Pensées & humour

 

 

Approche

 

Quatre manières d'apprécier une quantité:

 

Je compte

3 pions verts sur ce dessin.

 

Je dénombre sur cette figure

2 grands triangles,
4 petits triangles,
2 trapèzes et
1 losange.

 

 

 

Je prédis: probabilités

Si je lance un dé de nombreuses fois, je tomberai une fois sur six sur le 1 (ou le 2, etc.).

 

 

 

 

J'étudie: statistiques

Quelle a été la température maximale de la semaine? (18°C); la plus fréquente? (15°C); la température moyenne? 13°C; etc.

 

 

 

 

 

Série numérique - Moyenne

Pratiquement tous les manuels prennent pour exemple les notes en classe. Nous allons faire de même.

La liste de mes notes en classe est appelée une série numérique.

Tout de suite, on a envie de calculer la moyenne.

 

Mais le prof vous annonce qu'il y a des matières qui comptent plus que les autres: les maths comptent quadruple, et la physique compte double.

Chaque note doit être pondérée par un coefficient multiplicatif.

 

Alors, on calcule la nouvelle moyenne, dite moyenne pondérée.

 

 

 

Jeux – Frères et sœurs

Énigme 1

La moyenne des âges d'Adam et Baptiste est 12 et celle de Baptiste et Chloé est 10 alors que leur différence d'âge est de 2 ans.

Quel est l'âge de chacun ?

 

Solution (équations)

(A + B) / 2 = 12 ; (B + C) / 2 = 10 ;  B = C + 2

 

C + 2 + C = 20 => C = 9

B = C + 2 = 11

A = 24 – B = 13

 

Solution (raisonnement)

On essaie la moyenne 12 avec 13 et 11, puis la moyenne 10 avec 11 et 9. Bingo, on a bien 11 = 9 + 2

 

Énigme 2

La moyenne des âges d'Adam et Chloé, l'ainée des sœurs, est 16 et celle des sœurs est 10 alors que la différence d'âge entre l'ainée et sa cadette est de 2 ans.

Combien de sœurs au minimum, et âges en nombres entiers de chacun ?

 

Solution avec 2 sœurs

(A + B) / 2 = 16 ; (B + C) / 2 = 10 ;  B = C + 3

A = 41/2, B = 23/2, C = 17/2

Seule possibilité pour obtenir des âges entiers, il existe une troisième sœur.

Cette sœur a un âge impair indéterminé entre 1 et 25 ans, par exemple:

A = 16; B = 16, C = 13 et D = 1

La famille pourrait aussi comprendre 5 sœurs:

A = 10, B = 22, C= 19, D = 5, E = 3  et F = 1

 

Voir Énigmes de familles

 

 

Histogramme – Étendue

 

Une représentation graphique sera une bonne manière de se rendre compte des notes, de les visualiser, de les comparer.

 

Pour cela, il est plus commode de les classer par ordre croissant (ou décroissant).

Un dessin avec des barres dont la hauteur représente chaque note semble approprié.

Ce diagramme qui, en quelque sorte, raconte l'histoire de mes notes, est un histogramme.

 

Il permet de mieux apprécié l'étendue de mes notes; je peux voir si mes notes sont très dispersées ou pas.

 

 

 

Écart – Histogramme centré

 

 

Vous conviendrez qu'un graphique dont l'échelle va de 0 à 20 pour représenter une étendue de 6, c'est de la place perdue; nous avons envie de nous concentrer sur la zone où se trouvent les notes.

Une bonne idée consiste à prendre la moyenne comme référence et d'observer toutes les notes par rapport à cette moyenne, en plus ou en moins.

 

 

 

 

Nous pouvons poursuivre nos investigations en donnant l'écart de chaque note par rapport à la moyenne.

Remarquez que la somme algébriques (les plus et les moins) des écarts est nulle.

 

 

 

 

En reprenant les écarts comme valeurs dans notre graphique nous obtenons un histogramme centré sur la moyenne.

Il s'agit du même histogramme, sauf que nous avons fait glisser toutes les notes de 12 points vers le bas.

 

 

 

 

 

 

 

Variance & Écart-type – Dispersion

 

Une telle dispersion des notes de -3 à +3, comment la caractériser?

La  moyenne  donnerait zéro: pas un bon plan!

Nous pourrions faire la moyenne des valeurs absolues. Oui!

En fait, mieux, prenons le carré qui sera toujours positif.

 

La moyenne des carrés des écarts s'appelle la variance et sa racine carrée, l'écart-type.

 

 

Deux personnes peuvent avoir à peu près la même moyenne mais avec des écarts très différents.

L'un (Albert) peut avoir ses notes toutes autour de 12 et l'autre (Bernard) des notes allant de 6 à 18, par exemple.

 

La variance (ou l'écart-type) témoignent de cette dispersion.

 

Note: on obtient facilement ces valeurs avec les fonctions statistiques des tableurs; pour la variance choisir la variance- population (Var-P).

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*  Statistiques – Généralités

*  Moyenne, médiane …

Voir

*  Statistiques - Index

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