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STATISTIQUES

 

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Sommaire de cette page

>>> Courbe en cloche

>>> Courbe de Gauss en statistique

>>> Approche de la répartition normale

>>> Variable aléatoire

 

 

 

Loi normale

Loi gaussienne

Courbe en cloche

 

La régularité de la répartition des grandeurs dans la nature mise en courbe et en équation. Cas où il y a autant de valeurs réparties en plus grand et en plus petit. La moyenne est obtenue pour la valeur médiane.

 

 

 

Courbe en cloche   

 

*    La courbe en cloche rencontrée en statistique et en probabilité est en fait une courbe exponentielle dont voici l'allure selon la valeur du coefficient k.

 

 

*    On se souvient que exp(0) = 1; toutes ces courbes passent par y = 1 pour x = 0

*    Plus le coefficient k est grand et plus la cloche est étroite.

*    Une exponentielle avec coefficient négatif au carré est une fonction gaussienne.

 

Tableau des valeurs

 

 

Courbe en cloche ou de Gauss en statistique  

 

*    C'est la courbe en cloche vue ci-dessus, mais paramétrée. Voici la plus simple:

 

 

Quelques valeurs

 

Courbes générales

 

*    Introduction de la moyenne (m) qui a pour effet de translater la courbe, et

de l'écart-type () qui a pour effet de dilater la courbe.

 

*    La fonction gaussienne devient:

 

Illustration

 

Particularité

*    L'aire sous la courbe est toujours égale à 1.

 

 

 

Approche de la répartition normale

 

*    L'exemple le plus connu de courbe en cloche est la densité de probabilité de la loi normale.

 

*    Exemples:

*      La taille des humains, hommes ou femmes

*      Mensurations d'une manière générale

*      La taille des tiges des pâquerettes dans un champ.

*      Rapports des quantités de piles et de face sur 100 jeux de 100 lancers.

*      Notes à une épreuve

 

*    La planche à clous de Galton (Galton board or bean machine) montre bien ce qui se passe: les billes subissent les chocs sur les chicanes et se retrouvent dans les cases du bas. À la fin, les billes remplissent les cases selon une distribution en cloche. Il est possible de programmer cette expérience. Un amusement intéressant, surtout si on le poursuit en percolant les billes sur les billes déjà en position (construction de jolies fougères).

 

Remarques

*    Combien d'individus pour obtenir un échantillon représentatif d'une population?

*    Quand peut-on dire sûrement que la population suit une loi normale (en cloche)?

*    Retour vers la moyenne: si une perturbation intervient dans la population, un retour vers la courbe en cloche initiale ou éventuellement décalée, mais en cloche se manifestera rapidement.

Un sportif fait un exploit, mais la répartition de ces résultats étant en cloche, cette performance ne se reproduit pas si souvent que cela.

 

*    Après avoir passé quelques années avec les Néerlandais, j'ai constaté pertinemment qu'ils sont en moyenne plus grands que les Français. Quelle en est la raison? Ils n'ont jamais pu me la donner. Peut-être leur nourriture à base de force laitage? Est-ce qu'il y aura un retour vers la moyenne, via les mariages, après mixage des populations européennes? Pas sûr. Au cours des siècles la population a grandit en moyenne.

 

 

Variable aléatoire

 

*    Le cas typique de distribution dite normale apparaît dans de nombreux phénomènes physiques mettant en jeu des variables aléatoires.

*    Or si les valeurs de ces variables sont indépendantes et identiquement distribuées, toute somme tend vers une variable aléatoire gaussienne (théorème central limite; bannir le vocable théorème de la limite centrale).

*    C'est ce théorème, démontré par Laplace en 1809, qui explique que la loi normale colle si bien à de nombreux phénomènes de la nature. 

 

*    Mais attention tous les phénomènes étudiés n'obéissent pas à la loi normale. Trop simple. Il existe de nombreuses autres lois: binomiale, Rayleigh, Bernoulli, Poisson …

 

 

 

 

Suite

*   Courbes de Gauss

*     Les 17 équations qui ont changé le monde

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Sites

*  Images des Maths – CNRS: courbe en cloche

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