NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TRIANGLE

 

Débutants

Triangle

INTRODUCTION

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Triangle 

Introduction

TriangleIndex

Types de triangles

 

Sommaire de cette page

>>>  APPROCHE

>>>  TRIANGLE & Trilatère

>>>  TYPES de triangles

>>>  DROITES particulières du triangle

>>>  PROPRIÉTÉS remarquables du triangle

>>>  AIRE du triangle

>>>  Exemple mystérieux

>>>  AIRE du triangle via le DÉTERMINANT de vecteurs

>>>  NOMBRE et triangles

>>>  ANGLAIS

 

 

 

 

 

 

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AUX PROFESSEURS ET ÉLÈVES

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*       Voir le DicoNombre ou le DicoMot.

 

Si les triangles

avaient un Dieu,

ils lui donneraient

trois cotés.

Montesquieu

 

Voir Pensées & humour

 

 

Perle mathématique: Le triangle est un rectangle avec un côté en moins.

 

 

 

 

Approche

 

*  Triangle:

Figure géométrique à trois côtés

Polygone à trois côtés.

Figure constituée de trois points non alignés, appelés sommets du triangle.

 

Étymologie: latin triangulum, de tres, trois, et angulum, angle.

 

*    En géométrie classique (euclidienne), les côtés sont des segments de droite.

*    En géométrie sphérique, les côtés sont des arcs de grands cercles.

 

 

*    Les grandes lettres pour désigner les sommets, et

*    Les petites pour la longueur des côtés.

 

 

 

Le triangle à

*    trois angles intérieurs (on dit simplement angles), et

*    six angles extérieurs, formés avec les trois côtés et leurs prolongements.

 

 

 

TRIANGLE & TRILATÈRE**

*    Généralisation de la notion de triangle à un faisceau de trois droites.

Trilatère: trois droites ne formant pas un faisceau.

 

Trois droites a, b, c sont en faisceau lorsqu'il existe une droite d telle qu'une réflexion par rapport à d est égale à une combinaison des réflexions par rapport à a, b et c

 

** Notion avancée

 

 

 

TYPES de TRIANGLES

 

Général

*    QUELCONQUE  Aucune particularité     >>>

 

Selon les angles

 

*    ACUTANGLE    Trois angles aigus >>>

*    RECTANGLE     Un droit et deux aigus >>>

*    OBTUSANGLE   Un obtus et deux aigus >>>

 

 

Selon les côtés

 

 

 

 

 

 

 

*    SCALÈNE   Côtés de longueurs différentes  >>>

*    ISOCÈLE       Deux côtés égaux  >>>

(45° pour le triangle isocèle et rectangle)

*    ÉQUILATÉRAL   Trois côtés égaux  >>>

 

 

 

Et bien d'autres

 

 

Pédal   /   Orthique   /   Orthocentrique

Harmonique d'un quadrilatère

Calabi   /   Hellbronn   /   Sierpinski

Curviligne   /   Sphérique   /   Etc.

 

Suite et développements >>>

 

 

Autres triangles non-géométriques

 

*      Triangle arithmétique ou de Pascal    >>>

*      Nombre triangle ou triangulaire   >>>

*      Triangle pythagorique ou triplet de Pythagore   >>>

*     Triangle isiaque et triangles héroniens >>>

*      Triangle et Triangle Austral (constellations)

*      Triangle d'or (Birmanie, Thaïlande et Laos)

*      Triangle musical

*      Triangle de signalisation en sécurité routière

*      Triangle des mari, femme et amant

*      Triangle en sémiologie   >>>

 

Voir aussi  Expression avec le mot "triangle"

 

 

 

Les quatre droites remarquables du triangle (12 au total)

 

 

DROITES PARTICULIÈRES dans le triangle

HYPOTÉNUSE

 

CATHÈTE

 

BASE

 

*    Côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle.

*    Chacun des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle.

*    Côté adjacent aux deux côtés égaux du triangle isocèle.

 

 

CÉVIENNE

MÉDIANE

HAUTEUR

BISSECTRICE

 

*    Droite qui passe par le sommet d'un triangle.

*    Cévienne joignant le milieu du côté opposé .

*    Cévienne perpendiculaire au côté opposé.

*    Cévienne bissectrice de l'angle (intérieur ou extérieur).

 

 

MÉDIATRICE

*    Médiatrice de chaque côté.

 

BROCART

*    Céviennes avec angle constant.

 

 

Suite et développements >>>

 

 

 

PROPRIÉTÉS remarquables du triangle

 

Triangle

*    Il est plan.

*    Il est convexe.

*    Il est inscriptible dans un cercle.

 

Angles

*    Somme des trois angles égale à 180° (deux droits).

Voir Suite et démonstrations

*    Un angle extérieur est égal à la somme des deux autres intérieurs (figure: angle extérieur = 2+3).

*    Deux angles, au moins, sont aigus.

*    La somme des deux angles non-droits du triangle rectangle vaux 90°.

*    Un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle.

*    Les trois angles du triangle équilatéral valent 60°.

 

Côtés

*    Somme des longueurs de deux côtés supérieure à celle du troisième côté, c'est l'inégalité triangulaire.

*    Triangle rectangle: a² + b² = c², théorème de Pythagore.

*    Triangle quelconque: loi des sinus et loi des cosinus

Côtés et angles

*    Résolution des triangles: trois mesures étant connues, comment déterminer les trois autres.

 

 

Triangles

*    Triangles équilatéraux

*    Six pour former un hexagone régulier,

*    Faces du tétraèdre, octaèdre et icosaèdre.

 

Similitude

*    Les triangles sont égaux (isométriques) si

*    trois côtés sont égaux, ou

*    deux côtés et l'angle compris sont égaux, ou

*    un côté et les deux angles adjacents sont égaux.

Ce sont les trois cas d'égalité des triangles  >>>

*    Les triangles sont semblables si

*    trois angles sont égaux,

*    trois côtés sont proportionnels, ou

*    deux côtés proportionnels et l'angle compris égal.

Ce sont les trois cas de similitude des triangles.

Voir Exemple / Dans le cercle

 

Céviennes

*    Les hauteurs, comme les médianes et les médiatrices sont concourantes et les trois points de concours sont alignés >>>

 

Périmètre

*    Somme des longueurs des côtés

*    Périmètre: P = a + b + c

*    Demi-périmètre: s

 

 

Aire

*    Demi-produit de la hauteur par la longueur du côté attenant:

*    A = ½ h . côté

(opposé au sommet dont la hauteur est issue)

pour le triangle quelconque.

*    A = ½ a.b  

pour le triangle rectangle.

*      A² = s (s – a) (s – b) (s – c),

formule de Héron, tout triangle (s est le demi-périmètre).

*    A² = 3/16 a² ; A = 0,433… a

pour le triangle équilatéral.

Voir Illustrations ci-dessous

 

Cercles

*    Cinq cercles sont associés au triangle:

*    un cercle inscrit,

*    un cercle circonscrit,

*    trois cercles exinscrits.

*    Neuf points remarquables du triangle sont sur un seul cercle, le cercle des neuf points d'Euler.

 

 

Aire du triangle – À bien noter!

 

*    Tous ces triangles ont même base (AB = a) et même hauteur (h).
Ils ont même aire: ½ a .h. 
 

*    Même chose pour tous ces triangles:

*     

*    Exploitant cette propriété, la médiane découpe le triangle en deux triangles de même aire.

*    Même longueur de la base (a/2) et même longueur de la hauteur (h).
Soit la même aire valant:

*     Ce cela trois fois, selon chaque sommet. lesaire étant bien entendues différentes à chaque fois.

 

Suite Médianes du triangle / Relations métriques dans le triangle /

Bissection du triangle / Découpe du triangle en 7

 

 

Exemple mystérieux

*      Quelle est l'aire du triangle jaune ACQ?

 

*      Ce triangle peut être décomposé en deux triangles:

*   PQC est un triangle de Base PQ  = b et de hauteur MC = a.
   Aire PQC = ½ a b

*   APQ est un triangle de Base PQ  = b et de hauteur AN = a.
   Aire PQC = ½ a b

 

Ces deux aires sont égales.

 

*      Aire du triangle ACQ = a b
Soit l'aire d'un rectangle de côté a et b.

 

 

Aire triangle jaune  = aire rectangle pointillé vert

 

Voir Application au calcul du segment de parabole

 

 

Aire du triangle via le déterminant de vecteurs

Triangle ABC

Aire du triangle ABC =  valeur absolue du déterminant développé (jaune), aussi appelé produit mixte.

 

Exemples

 

Triangle jaune:

Aire  = 42/ 2 = 21;

 

Valeur vérifiable car le triangle est rectangle: ½ (6 x 7) = 21.

 

 

Triangle rouge:

Aire = 36 / 2 = 18;

 

Valeur vérifiable graphiquement. Le triangle vert est égal au rouge à une rotation près. Aire du triangle vert: 7,2 x 5 = 18.

Voir démonstration en Aire du parallélogramme

 

 

 

NOMBRES et TRIANGLE

 

0, 43

Rapport entre le côté et l'aire du triangle équilatéral  >>>

0, 5

Aire du triangle comparé au rectangle ayant un côté commun et qui l'inscrit (sommet sur le côté opposé du rectangle) >>>

3

Sommets, Côtés,  Angles internes

Hauteurs, médianes, médiatrices

Cas d'égalité des triangles >>>

4

Triangles du tétraèdre >>>

6

Angles externes

Triangles équilatéraux dans un hexagone >>>

Cercles: 1 inscrit, 1 circonscrit et 3 exinscrits >>>

8

Triangles de l'octaèdre >>>

9

Bissectrices: 3 intérieures et 6 extérieures >>>

Cercle des neuf points

20

Triangles de l'icosaèdre >>>

30°

Un des angles à la base du demi-triangle équilatéral >>>

36°

Angle de la pointe en triangle de l'étoile à cinq branches >>>

45°

Deux angles à la base du triangle isocèle-rectangle >>>

60°

Angles du triangle équilatéral  >>>

90°

Angle principal du triangle rectangle >>>

Somme des deux autres angles du triangle rectangle >>>

180°

Somme des angles du triangle >>>

Somme minimale des angles d'un triangle sphérique  >>>

270°

Somme des angles d'un triangle sphérique équilatéral  >>>

540°

Somme maximale des angles d'un triangle sphérique  >>>

 

Voir le DicoNombre

 

 

 

ENGLISH CORNER

 

*      Triangle

*      a figure or object with three sides, three angles and three vertex.

*      a plane figure bounded by three straight lines.

*      A triangle is said to be:

*      equilateral when all its sides are equal;

*      isosceles when two of its sides are equal;

*      scalene when its sides are all unequal.

*      With regard to their angle:

*      right-angle when one of its angles is a right angle;

*      Obtuse-angle when one of its angles is obtuse;

*      Acute-angle when all three of its angles are acute.

 

 

*      The angles of a triangle add up to 180°.

*      Two triangles are said to be similar if

*      Their corresponding angles are equal, or

*      Their corresponding sides are proportional.

*      The triangle inequality says that the length of one side of a triangle is less than or equal to the sum of the lengths of the other sides.

*      The straight line joining a vertex to the middle point of the opposite side is called a median. The three medians are concurrent at the centroid.

*      The bisector of the vertical angle of an isosceles triangle bisects the base and is perpendicular to the base.

 

 

 

 

Suite

*    TriangleIndex

*    TriangleGlossaire

*    Éléments de géométrie

*    Triangle – Débutants, novices

*    Triangle généralisation: simplexes

*    Constructions élémentaires: les triangles

Aussi

*    Formules et relations dans le triangle

*    Triangle de Pythagore

*    Égalité des triangles

*    Torricelli (point de - )

*    Polygones

*    Quadrilatère

*    Symétries

*    GéométrieIndex

Sites

*    The many ways to construct a triangle

*    Le Triangle d’Argent

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