NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 18/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	TRIANGLE
Débutants Triangle	INTRODUCTION			Glossaire Triangle
INDEX Triangle		Introduction	Triangle – Index	Types de triangles
		Sommaire de cette page >>> APPROCHE >>> TRIANGLE & Trilatère >>> TYPES de triangles >>> DROITES particulières du triangle >>> PROPRIÉTÉS remarquables du triangle >>> AIRE du triangle >>> Exemple mystérieux >>> NOMBRE et triangles >>> ANGLAIS

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Si les triangles avaient un Dieu, ils lui donneraient trois cotés. Montesquieu Voir Pensées & humour Perle mathématique: Le triangle est un rectangle avec un côté en moins.

Approche
Triangle: Figure géométrique à trois côtés Polygone à trois côtés. Figure constituée de trois points non alignés, appelés sommets du triangle. Étymologie: latin triangulum, de tres, trois, et angulum, angle. En géométrie classique (euclidienne), les côtés sont des segments de droite. En géométrie sphérique, les côtés sont des arcs de grands cercles.
Les grandes lettres pour désigner les sommets, et Les petites pour la longueur des côtés. Le triangle à trois angles intérieurs (on dit simplement angles), et six angles extérieurs, formés avec les trois côtés et leurs prolongements.

TRIANGLE & TRILATÈRE**
Généralisation de la notion de triangle à un faisceau de trois droites. Trilatère: trois droites ne formant pas un faisceau.	Trois droites a, b, c sont en faisceau lorsqu'il existe une droite d telle qu'une réflexion par rapport à d est égale à une combinaison des réflexions par rapport à a, b et c

** Notion avancée

TYPES de TRIANGLES
Général	QUELCONQUE Aucune particularité >>>
Selon les angles	ACUTANGLE Trois angles aigus >>> RECTANGLE Un droit et deux aigus >>> OBTUSANGLE Un obtus et deux aigus >>>
Selon les côtés	SCALÈNE Côtés de longueurs différentes >>> ISOCÈLE Deux côtés égaux >>> (45° pour le triangle isocèle et rectangle) ÉQUILATÉRAL Trois côtés égaux >>>
Et bien d'autres	Pédal / Orthique / Orthocentrique Harmonique d'un quadrilatère Calabi / Hellbronn / Sierpinski Curviligne / Sphérique / Etc.

Suite et développements >>>

Autres triangles non-géométriques

Triangle arithmétique ou de Pascal >>> Nombre triangle ou triangulaire >>> Triangle pythagorique ou triplet de Pythagore >>> Triangle isiaque et triangles héroniens >>> Triangle et Triangle Austral (constellations) Triangle d'or (Birmanie, Thaïlande et Laos) Triangle musical Triangle de signalisation en sécurité routière Triangle des mari, femme et amant Triangle en sémiologie >>> Voir aussi Expression avec le mot "triangle"

Les quatre droites remarquables du triangle (12 au total)

DROITES PARTICULIÈRES dans le triangle
HYPOTÉNUSE CATHÈTE BASE	Côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. Chacun des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle. Côté adjacent aux deux côtés égaux du triangle isocèle.
CÉVIENNE MÉDIANE HAUTEUR BISSECTRICE	Droite qui passe par le sommet d'un triangle. Cévienne joignant le milieu du côté opposé . Cévienne perpendiculaire au côté opposé. Cévienne bissectrice de l'angle (intérieur ou extérieur).
MÉDIATRICE	Médiatrice de chaque côté.
BROCART	Céviennes avec angle constant.
	Suite et développements >>>

PROPRIÉTÉS remarquables du triangle
Triangle	Il est plan. Il est convexe. Il est inscriptible dans un cercle.
Angles	Somme des trois angles égale à 180° (deux droits). Voir Suite et démonstrations Un angle extérieur est égal à la somme des deux autres intérieurs (figure: angle extérieur = 2+3). Deux angles, au moins, sont aigus. La somme des deux angles non-droits du triangle rectangle vaux 90°. Un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle. Les trois angles du triangle équilatéral valent 60°. Voir Autres propriétés des angles du triangle
Côtés	Somme des longueurs de deux côtés supérieure à celle du troisième côté, c'est l'inégalité triangulaire. Triangle rectangle: a² + b² = c², théorème de Pythagore. Triangle quelconque: loi des sinus et loi des cosinus
Côtés et angles	Résolution des triangles: trois mesures étant connues, comment déterminer les trois autres.

Triangles	Triangles équilatéraux Six pour former un hexagone régulier, Faces du tétraèdre, octaèdre et icosaèdre.
Similitude	Les triangles sont égaux (isométriques) si trois côtés sont égaux, ou deux côtés et l'angle compris sont égaux, ou un côté et les deux angles adjacents sont égaux. Ce sont les trois cas d'égalité des triangles >>> Les triangles sont semblables (homothétiques) si trois angles sont égaux, trois côtés sont proportionnels, ou deux côtés proportionnels et l'angle compris égal. Ce sont les trois cas de similitude des triangles. Voir Développements / Exemple / Dans le cercle / Théorème de Thalès
Céviennes	Les hauteurs, comme les médianes et les médiatrices sont concourantes et les trois points de concours sont alignés >>>
Périmètre	Somme des longueurs des côtés Périmètre: P = a + b + c Demi-périmètre: s

Aire	Demi-produit de la hauteur par la longueur du côté attenant: A = ½ h . côté (opposé au sommet dont la hauteur est issue) pour le triangle quelconque. A = ½ a.b pour le triangle rectangle. A² = s (s – a) (s – b) (s – c), formule de Héron, tout triangle (s est le demi-périmètre). A² = 3/16 a² ; A = 0,433… a pour le triangle équilatéral. Voir Illustrations ci-dessous
Cercles	Cinq cercles sont associés au triangle: un cercle inscrit, un cercle circonscrit, trois cercles exinscrits. Neuf points remarquables du triangle sont sur un seul cercle, le cercle des neuf points d'Euler.

Aire du triangle – À bien noter!

Tous ces triangles ont même base (AB = a) et même hauteur (h). Ils ont même aire: ½ a .h. Voir Aire du triangle par méthodes analytiques Même chose pour tous ces triangles: Exploitant cette propriété, la médiane découpe le triangle en deux triangles de même aire. Même longueur de la base (a/2) et même longueur de la hauteur (h). Soit la même aire valant: Ce cela trois fois, selon chaque sommet. lesaire étant bien entendues différentes à chaque fois.

Suite Médianes du triangle / Relations métriques dans le triangle /

Bissection du triangle / Découpe du triangle en 7

Exemple mystérieux
Quelle est l'aire du triangle jaune ACQ? Ce triangle peut être décomposé en deux triangles: PQC est un triangle de base PQ = b et de hauteur MC = a. Aire PQC = ½ a b PQA est un triangle de base PQ = b et de hauteur AN = a. Aire PQA = ½ a b Ces deux aires sont égales. Aire du triangle ACQ = a b Soit l'aire d'un rectangle de côté a et b.	Aire triangle jaune = aire rectangle pointillé vert

Voir Application au calcul du segment de parabole

Merci à Christina T.

NOMBRES et TRIANGLE

0, 43	Rapport entre le côté et l'aire du triangle équilatéral >>>
0, 5	Aire du triangle comparé au rectangle ayant un côté commun et qui l'inscrit (sommet sur le côté opposé du rectangle) >>>
3	Sommets, Côtés, Angles internes Hauteurs, médianes, médiatrices Cas d'égalité des triangles >>>
4	Triangles du tétraèdre >>>
6	Angles externes Triangles équilatéraux dans un hexagone >>> Cercles: 1 inscrit, 1 circonscrit et 3 exinscrits >>>
8	Triangles de l'octaèdre >>>
9	Bissectrices: 3 intérieures et 6 extérieures >>> Cercle des neuf points
20	Triangles de l'icosaèdre >>>
30°	Un des angles à la base du demi-triangle équilatéral >>>
36°	Angle de la pointe en triangle de l'étoile à cinq branches >>>
45°	Deux angles à la base du triangle isocèle-rectangle >>>
60°	Angles du triangle équilatéral >>>
90°	Angle principal du triangle rectangle >>> Somme des deux autres angles du triangle rectangle >>>
180°	Somme des angles du triangle >>> Somme minimale des angles d'un triangle sphérique >>>
270°	Somme des angles d'un triangle sphérique équilatéral >>>
540°	Somme maximale des angles d'un triangle sphérique >>>

Voir le DicoNombre

ENGLISH CORNER
Triangle a figure or object with three sides, three angles and three vertex. a plane figure bounded by three straight lines. A triangle is said to be: equilateral when all its sides are equal; isosceles when two of its sides are equal; scalene when its sides are all unequal. With regard to their angle: right-angle when one of its angles is a right angle; Obtuse-angle when one of its angles is obtuse; Acute-angle when all three of its angles are acute.	The angles of a triangle add up to 180°. Two triangles are said to be similar if Their corresponding angles are equal, or Their corresponding sides are proportional. The triangle inequality says that the length of one side of a triangle is less than or equal to the sum of the lengths of the other sides. The straight line joining a vertex to the middle point of the opposite side is called a median. The three medians are concurrent at the centroid. The bisector of the vertical angle of an isosceles triangle bisects the base and is perpendicular to the base.

Suite	Triangle – Index Triangle – Glossaire Éléments de géométrie Triangle – Débutants, novices Triangle généralisation: simplexes Constructions élémentaires: les triangles
Aussi	Formules et relations dans le triangle Triangle de Pythagore Égalité des triangles Torricelli (point de - ) Polygones Quadrilatère Symétries Géométrie – Index
Sites	The many ways to construct a triangle Le Triangle d’Argent
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