NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Enclos à bétail

en double quadrilatère.

(quadrilateral corral)

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Nomenclature

>>> Famille

>>> Somme des angles

>>> Théorème de Varignon

>>> Deux triangles isocèles-rectangles

>>> Quatre triangles isocèles-rectangles

>>> Quadrilatère avec cinq points

 

 

 

 

 

 

 

QUADRILATÈRES

 

Propriétés générales et divers types de quadrilatères.

 

Définition

Polygone à quatre côtés

ou

Quadruplet de points de l'espace,

non alignés trois à trois.

 

Étymologie latine

Quatuor, quatre et latus, lateris, côté.

Étymologie grecque

Tétragone: quatre angles, ou

Tétrapleure: quatre côtés

 

Anglais

Quadrilateral or complete quadrilateral

 

  

NOMENCLATURE

Plan

Gauche

Les quatre points sont dans le même plan.

Quadrilatère non plan: les quatre points sont dans l'espace.

Convexe

Concave

 

 

Tous les sommets sont dans le même demi-plan formé avec chacun des côtés.

Exemple ici avec le jaune.

 

 

Non convexe: certains sommets sont rentrants; certains côtés prolongés coupent le quadrilatère.

Croisé

Complet

 

Deux côtés sont sécants.

 

Les côtés sont prolongés.

 

 

 

FAMILLES

 

PARALLÈLE

PERPENDICULAIRE

ÉGALITÉ

Diagonales

Q. Quelconque

Quadrilateral

Q. Orthodiagonal

 

Pseudo-carré

ou Cerf-volant

Kite

Parallèles

Trapèze

Trapezium, trapezia

(trapezoid - US)

T. Rectangle

Rectangle trapezium

(trapezoid)

T. Isocèle

Isosceles trapezium

(trapezoid)

Égalités

Parallélogramme

Parallelogram

Rectangle

Rectangle

Losange

Rhombus, rhombi

Tout !

Carrés  = Rectangle et Losange à la fois =

 

Square

Rectangle

+

Côtés égaux

Losange

+

Angle droit

 

 

 

SOMME des ANGLES INTERNES

 

*    Pour un rectangle, quadrilatère à quatre angles droits, la somme des angles internes est égale à quatre droits soit 360°.

*    Même en le déformant pour le rendre quelconque, le quadrilatère conserve cette propriété: la somme des angles est égale à 360°.

*    Pour s'en convaincre, il suffit de tracer une diagonale qui divise le quadrilatère en deux triangles. La somme des angles de chacun étant 180°, l'addition des deux donne 360°.

Voir en  Sommes des angles des polygones  / Somme des angles opposés

 

 

 

 

SOMME des CARRÉS des CÔTÉS

 

*    Un air de théorème de Pythagore, mais appliqué au quadrilatère, et ce théorème est dû à Euler

 

a² + b² + c² + d² = m² + n² + 4u²

 

 

 

 

 

Théorème de VARIGNON (1654-1722)

 

*    Un quadrilatère quelconque;

Les milieux des côtés;


Le quadrilatère formé avec ces milieux est un parallélogramme.

Le théorème des points milieux dans le triangle permet de démontrer cette propriété.

 

*    Si la figure est convexe et dans un plan, l'aire du nouveau quadrilatère est moitié de celle d'origine.

 

 

 

 

 

Avec deux triangles isocèles-rectangles

 

*    Deux triangles isocèles-rectangles de dimension quelconque;
Mis tête-bêche par leur angle-droit (en O).

*    Les extrémités des bases (A, D et B, C) forment un quadrilatère (ABCD) dont les diagonales AC et BD) sont perpendiculaires.

Lorsque le triangle OBC pivote autour de O, les diagonales restent perpendiculaires.

Lorsque BC devient parallèle à AD, les diagonales sont confondues avec les cotés des triangles.

 

 

 

 

Avec quatre triangles isocèles-rectangles

 

*    Les quatre triangles isocèles-rectangles sont à touche-touche par leur base.

Les sommets forment un quadrilatère.

*    Dans tous les cas, les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires.

 

 

 

 

Avec cinq points – Théorème de Erdös-Szekeres

 

*    Condition pour qu'il exite un quadrilatère convexe parmi n points d'un plan ni alignés ni confondus.

 

Il suffit de cinq points au moins.
 

 

Démonstration avec cinq points

 

*    On dessine l'enveloppe convexe des cinq points; pentagone qui contient tous les points. Si chaque point était une aiguille plantée, un élastique placé autour matérialiserait se pentagone. Examinons tous les cas possibles:

*      si l'enveloppe est un quadrilatère, avec un point à l'intérieur, c'est bon!

*      si l'enveloppe est un pentagone, en retirant l'un des points, on forme un quadialtère;

*      si l'enveloppe est un triangle, les deux points à l'intérieur et l'un des côtés du triangle forme un quadrilatère.

*    Dans tous les cas, il est même possible de dessiner un quadrilatère vide, sans point interne.
 

 

Généralisation avec n points

 

*      Il  existe toujours n points formant les sommets d'un polygone convexe dans un ensemble suffisamment grand de points du plan, ni alignés ni confondus.

*      n = 3  (triangle), il suffit de trois points;

*      n = 4 (quadrilatère), cinq points suffisent;

*      n = 5 (pentagone), il faut 17 points (démontré en 2006 par Szekeres  et Peters);

*      n = k (polygone), on conjecture qu'il faut 1 + 2n – 2  points (c'est sûrement la borne inférieure).

 

Formulation du théorème

 

Pour tout entier k donné, il existe un entier n, tel que tout ensemble de n points ou plus placés sur le plan en position quelconque (c'est-à-dire sans que trois points soient alignés) contient un sous-ensemble de k points déterminant les sommets d'un polygone convexe (pouvant contenir d'autres points).

 

*    La question des polygones vides de points n'est pas bien connue. Par exemple, pour être sûr d'obtenir au moins un hexagone vide, il faut disposer au moin de 29 points et au plus de  463 points (démontré en 2007).

 

Voir Graphes

Sujet traité par Pour la Science N°376 – Février 2009

 

 

 

 

 

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