NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Découverte des quadrilatères

 

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

Enclos à bétail

en double quadrilatère.

(quadrilateral corral)

Quadrilatère

Carré

Trapèze

Parallélogramme

Carré – Propriétés

Losange

Rectangle

 

Sommaire de cette page

>>> Nomenclature

>>> Famille

>>> Somme des angles

>>> Théorème de Varignon

>>> Deux triangles isocèles-rectangles

>>> Quatre triangles isocèles-rectangles

>>> Quadrilatère avec cinq points

>>> Aire du quadrilatère

>>> Transversale de Carnot

>>> Quadrilatère complet

>>> Avec les diagonales et les médianes

>>> Avec les médiatrices

>>> Énigme des huit parcelles – Solution

 

 

 

 

 

 

 

QUADRILATÈRES

 

Propriétés générales et divers types de quadrilatères.

 

Définition

Polygone à quatre côtés

ou

Quadruplet de points de l'espace,

non alignés trois à trois.

 

Étymologie latine

Quatuor, quatre et latus, lateris, côté.

Étymologie grecque

Tétragone: quatre angles, ou

Tétrapleure: quatre côtés

 

Anglais

Quadrilateral or complete quadrilateral

 

 

Énigme

Un paysan veut partager son champ (un quadrilatère convexe) en huit parts. Il se simplifie la vie en partageant deux côtés opposés en huit et en reliant les points deux à deux. Il pense faire des parts égales, mais en arpentant la quatrième parcelle, il trouve 243 m² et 305 m² pour la huitième. Visiblement les parts ne sont pas égales. Pouvez-vous déterminer l'aire de chacune des parcelles?

Solution

 

 

  

NOMENCLATURE

Plan

Gauche

Les quatre points sont dans le même plan.

Quadrilatère non plan: les quatre points sont dans l'espace.

Convexe

Concave

 

 

Tous les sommets sont dans le même demi-plan formé avec chacun des côtés.

Exemple ici avec le jaune.

 

 

Non convexe: certains sommets sont rentrants; certains côtés prolongés coupent le quadrilatère.

Croisé

Complet

 

Deux côtés sont sécants.

 

Les côtés sont prolongés.

 

 

Famille des quadrilatères en un clin d'œil

 

 

FAMILLES selon les propriétés

 

PARALLÈLE

PERPENDICULAIRE

ÉGALITÉ

Diagonales

Q. Quelconque

Quadrilateral

Q. Orthodiagonal

 

Pseudo-carré

ou Cerf-volant

Kite

Parallèles

Trapèze

Trapezium, trapezia

(trapezoid - US)

T. Rectangle

Rectangle trapezium

(trapezoid)

T. Isocèle

Isosceles trapezium

(trapezoid)

Égalités

Parallélogramme

Parallelogram

Rectangle

Rectangle

Losange

Rhombus, rhombi

Tout !

Carrés  = Rectangle et Losange à la fois

 

Square

Rectangle

+

Côtés égaux

Losange

+

Angle droit

 

 

 

SOMME des ANGLES INTERNES

 

*    Pour un rectangle, quadrilatère à quatre angles droits, la somme des angles internes est égale à quatre droits soit 360°.

*    Même en le déformant pour le rendre quelconque, le quadrilatère conserve cette propriété: la somme des angles est égale à 360°.

*    Pour s'en convaincre, il suffit de tracer une diagonale qui divise le quadrilatère en deux triangles. La somme des angles de chacun étant 180°, l'addition des deux donne 360°.

*    Cette propriété permet le pavage du plan par un quadrilatère quelconque.

Voir en  Sommes des angles des polygones  / Somme des angles opposés

 

 

 

 

SOMME des CARRÉS des CÔTÉS

 

*    Un air de théorème de Pythagore, mais appliqué au quadrilatère, et ce théorème est dû à Euler:

 

a² + b² + c² + d² = m² + n² + 4u²

 

 

 

 

 

Théorème de VARIGNON (1654-1722)

 

*    Un quadrilatère quelconque;

Les milieux des côtés;


Le quadrilatère formé avec ces milieux est un parallélogramme.

Le théorème des points milieux dans le triangle permet de démontrer cette propriété.

 

*    Si la figure est convexe et dans un plan, l'aire du nouveau quadrilatère est moitié de celle d'origine.

 

 

 

 

 

Avec deux triangles isocèles-rectangles

 

*    Deux triangles isocèles-rectangles de dimension quelconque;
Mis tête-bêche par leur angle-droit (en O).

*    Les extrémités des bases (A, D et B, C) forment un quadrilatère (ABCD) dont les diagonales AC et BD) sont perpendiculaires.

Lorsque le triangle OBC pivote autour de O, les diagonales restent perpendiculaires.

Lorsque BC devient parallèle à AD, les diagonales sont confondues avec les cotés des triangles.

 

 

 

 

Avec quatre triangles isocèles-rectangles

 

*    Les quatre triangles isocèles-rectangles sont à touche-touche par leur base.

Les sommets forment un quadrilatère.

*    Dans tous les cas, les diagonales du quadrilatère sont perpendiculaires.

 

 

 

 

Avec cinq points – Théorème de Erdös-Szekeres

 

*    Condition pour qu'il existe un quadrilatère convexe parmi n points d'un plan ni alignés ni confondus.

 

Il suffit de cinq points (n = 5) au moins.
 

 

Démonstration avec cinq points

 

*    On dessine l'enveloppe convexe des cinq points; pentagone qui contient tous les points. Si chaque point était une aiguille plantée, un élastique placé autour matérialiserait se pentagone. Examinons tous les cas possibles:

*      si l'enveloppe est un quadrilatère, avec un point à l'intérieur, c'est bon!

*      si l'enveloppe est un pentagone, en retirant l'un des points, on forme un quadrilatère;

*      si l'enveloppe est un triangle, les deux points à l'intérieur et l'un des côtés du triangle forment un quadrilatère.

*    Dans tous les cas, il est même possible de dessiner un quadrilatère vide, sans point interne.
 

 

Généralisation avec n points

 

*      Il  existe toujours n points formant les sommets d'un polygone convexe dans un ensemble suffisamment grand de points du plan, ni alignés ni confondus.

*      n = 3  (triangle), il suffit de trois points;

*      n = 4 (quadrilatère), cinq points suffisent;

*      n = 5 (pentagone), il faut 17 points (démontré en 2006 par Szekeres  et Peters);

*      n = k (polygone), on conjecture qu'il faut 1 + 2n – 2  points (c'est sûrement la borne inférieure).

 

Formulation du théorème

 

Pour tout entier k donné, il existe un entier n, tel que tout ensemble de n points ou plus placés sur le plan en position quelconque (c'est-à-dire sans que trois points soient alignés) contient un sous-ensemble de k points déterminant les sommets d'un polygone convexe (pouvant contenir d'autres points).

 

*    La question des polygones vides de points n'est pas bien connue. Par exemple, pour être sûr d'obtenir au moins un hexagone vide, il faut disposer au moins de 29 points et au plus de  463 points (démontré en 2007).

 

Voir Graphes

Sujet traité par Pour la Science N°376 – Février 2009

 

 Aire du quadrilatère quelconque

 

*    Contrairement au triangle, l'aire du quadrilatère ne peut pas être calculée à partir des longueurs des quatre côtes.

*    Prenons AB = 10, AC = 4, BD = 3 et CD = 5.

*    Sur le segment AB, on construit les deux cercles de centre A et B de rayon et 3

*    Choisissons le point C sur le cercle A. Avec C pour centre dessinons le cercle de rayon 5. Il coupe le cercle B en D.

*    Nous avons notre quadrilatère ABCD (3, 4, 5, 10).

 

 

 

*    Choisissons un autre point C et reprenons la construction de D.

*    Nous obtenons une autre forme du quadrilatère ABCD (3, 4, 5, 10).

 

 

*    En superposant les deux quadrilatères, nous constatons clairement qu'ils n'ont pas la même aire.

 

 

La donnée d'une diagonale permet de caractériser la quadrilatère >>>

Voir Calcul de l'aire du quadrilatère quelconque

 

 

Transversale de Carnot (1806)

Carnot's Polygon Theorem

 

*      Un quadrilatère quelconque: A1A2A3A4

Une sécante B12B41

 

*      Soit les quatre segments sur les côtés successifs du quadrilatère, joignant un sommet au point d'intersection avec la sécante.

Il en existe deux jeux selon que, partant du premier sommet, on se dirige dans un sens ou dans l'autre.

 

*      Faisons le produit des longueurs de chaque jeu de segments.

Ces deux produits sont égaux.

*      Cette propriété est généralisable à tout polygone y compris au triangle.

 

 

Illustration

 

Propriété du produit des longueurs valable pour tout polygone.

Formulation

 

Voir Lazare Carnot

 

 

Quadrilatère complet – Complete quadrilateral

Définition

Un quadrilatère (convexe) complet inclut ses côtés prolongés.

C'est aussi la figure de géométrie plane constituée

*   de quatre droites,

*   dont deux quelconques ne sont pas parallèles,

*   ni trois quelconques concourantes.

 

Quadrilatère complet avec ses trois diagonales (bleues)

Quatre droites, six sommets et trois diagonales.

 

Droite de Newton

Les milieux M, N et O des trois diagonales.

 

Ces trois points sont alignés.

 

La droite passant par ces trois points est la droite de Newton.

 

Quadrilatère complet avec milieu des diagonales

Les milieux des diagonales sont alignés.

 

Relation harmoniques

Chaque diagonale coupe les deux autres (I, J et K).

 

Les quatre points sur chaque diagonale sont dans des rapports harmoniques.

 

 

 

 

 

Intersections des diagonales entre elles

Les quatre points sur chaque diagonale sont dans un rapport harmonique.

 

 

Avec les diagonales et les médianes

Un quadrilatère convexe quelconque.

Les milieux des côtés: E, F, G et H.

Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

 

Son périmètre est égal à la somme des longueurs des deux diagonales et son aire est moitié de celle du quadrilatère. L'aire est aussi égale à la somme des aires des quatre triangles périphériques.

 

 

Les médianes EG et FH se coupent en M.

Les milieux des diagonales D1 et D2.

Ces trois points sont alignés.

 

Notez les parallélogrammes: FD1HD2. La démonstration de l'alignement repose sur la propriété de leurs diagonales concourantes.

 

 

Voir Aires des quatre quadrilatères formés par les bi-médianes

 

 

 

Avec les médiatrices

Un quadrilatère convexe quelconque (bleu).

Les médiatrices des côtés, prolongées d'une longueur égale au demi-côté (traits bleus).Soit, quatre points (bleus)

 

Les deux droites (rouges) réunissant ces quatre points, deux, à deux, sont perpendiculaires et de même longueur.

 

 

 

 

 

Énigme – Solution

Données

A4 = 243 m² et A8 = 305 m²

Valeurs des autres?

 

Principe du calcul

1) Les aires A1, A2 … A8 sont en progression arithmétique. Connaître deux valeurs permet de calculer les autres.

2) La progression arithmétique pour les quadrilatères sera prouvée en montrant que les aires des deux types de triangles T1 et T2 sont elles-mêmes en progression arithmétique.

 

Progression arithmétique

On considère les triangles en jaune  qui partagent les parcelles en deux par une de ses diagonales.

On trace les parallèles à AB en chaque point de découpe sur CD.

Elles permettent de tracer une des hauteurs de chaque triangle jaune.

 

Triangles T1

Aire triangle T11 = base x hauteur = x . H

Aire triangle T12 = x . (H + h2)

Aire triangle T13 = x . (H + h2 + h3)

 

Du fait des parallèles espacées également de la quantité y, nous avons: h2 = h3 = h.

 

L'aire des triangles jaunes progresse comme:

x(H), x(H+h), x(H+2h), x(H+3h), … x(H+7h),

 

Triangles T2

La même démonstration s'applique et les aires des T2 sont également en progression arithmétique.

 

Quadrilatères (ou Parcelle de champ)

La somme des aires de T1 et T2, l'aire des parcelles, est elle-aussi en progression arithmétique.

 

 

Valeur des aires

Les deux valeurs indiquées vont servir à étalonner la progression et à trouver les autres aires:

 

Internet?

L'énigme a circulé sur Internet avec dans l'énoncé un indice supplémentaire: l'aire totale du champ est égale à l'année de la mort du paysan. Sans intérêt, sinon de conforter le calcul. On trouve effectivement 2006.

 

Une solution erronée circule sur Internet. Elle considère les huit quadrilatères et le supplément de surface pour chacun. Celui-ci est découpé en deux: des triangles soi-disant égaux et des losanges soi-disant égaux.

La figure est trompeuse: les droites ah et bi, par exemple, ne sont pas du tout parallèles.

Retour / Énigme de la quatrième parcelle

 

 

 

 

 

Suite

Quadrilatère

*        Calcul de l'aire du quadrilatère quelconque

*        Calcul d'un segment manquant (côté ou diagonale) du quadrilatère

*         Carré

*         Hexagones

*         Parallélogramme dans le cube

*         Pavage avec le quadrilatère quelconque

*         Pentagones

*         Puissance d'un point – Intersection des diagonales

*         Quadrilatère inscriptible

*         Quadrilatères dans le cube

*         Rectangle

Voir

*         4 Couleurs

*         Carré dans le triangle

*         Constructions avec des allumettes

*         GéométrieIndex

*         Jeux Index

*         Nombres Carrés

*         Pavage du carré

*         Polygones

*         Somme de vecteurs

*         Triangles

DicoNombre

*         Nombre 4

Sites

*         Le plan projectif – Descartes et les Mathématques

*         Quadrilatère completChronoMath

*         Division harmonique (pdf) – Université Lorraine – Gérard Eguether

*         Complete quadrilateralWolframMathWorld

*         The complete quadrilateral – Cut The Knot

*         Steiner’s Theorems on the Complete Quadrilateral (pdf) – Jean-Pierre Ehrmann qui énonce 10 théorèmes.

*         The complet quadrilateral (pdf) – John Wentworth Clawson qui en énonce une trentaine

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