collection de nombres, calcul de probabilité

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 26/02/2012

-Ý- RUBRIQUE: PROBABILITÉS
§ Probabilités	§ Famille		§ Pile ou Face
§ Moyenne & Médiane	§ Anniversaire		§ Dés
§ Grands nombres	§ Coïncidences		§ Historique
Sommaire de cette page >>> APPROCHE >>> MÉTHODE >>> PRODUIT >>> EXCLUSIFS >>> NON EXCLUSIFS >>> CONDITIONNEL		Pages voisines
		§ Probabilités – Glossaire § Statistiques § Jeux de hasard (loto, tiercé …) § Définition du domaine § Dénombrement § Factorielles § Types de moyennes § Pari de Pascal § Plus grand ou plus petit		§ Probabilités et logique § Tirage sur 10 milliards § Trois pièces § Triangle obtusangle § Chapeaux et e § Chances aux tirage § Laplace

PROBABILITÉS

Le calcul des probabilités est déroutant

Il n'est pas toujours intuitif

Quelques règles strictes, une bonne méthode

et tout devient plus facile

À la base:

un bon dénombrement, et

une appréciation des relations entre les événements possibles: exclusifs, conditionnels…

Pour se familiariser, voir

Pour débuter, voir

Pour compter les objets, voir

voir aussi

§ Jeux de hasard (amusements, loto, tiercé …)

§ Probabilités - Glossaire

§ Dénombrement

§ Statistique

-Ý- APPROCHE

PROBABILITÉ - LA CLÉ !

Ratio

du nombre de cas favorables

sur le nombre de cas total possibles

P = N favorables / N total

§ Si tous les cas sont favorables

Événement certain

P = N / N =

§ Si tous les cas sont défavorables

Événement impossible

P = 0 / N =

§ Si quelques cas sont favorables

P = N favorables / N =>

0 < P < 1

Exemples

0, 5 =

1 / 2

§ Probabilité d'obtenir pile en lançant une pièce

o Un cas favorable pour 2 cas possibles

0, 166 =

1 / 6

§ Probabilité d'obtenir un six en lançant un dé

o Un cas favorable pour 6 cas possibles

0, 833 =

5 / 6

§ Probabilité de ne pas obtenir un six en lançant un dé

o Cinq cas "favorables" pour 6 cas possibles

= 1 - 1 / 6

§ C'est aussi la probabilité

o d'avoir l'un des chiffres: ce qui est tout le temps vrai:

P = 1

o tout en retirant l'arrivée du 6, non désiré:

P = 1 / 6

Règle

P(E) = 1 - P(non E)

La probabilité d'un événement

la probabilité qu'il ne se produise pas

donne " l'évènement sûr"

(probabilité = 1)

-Ý- MÉTHODE

0, 518 =

1 - (5 / 6)⁴

§ Probabilité d'obtenir au moins un six en 4 lancés de dé

Calcul

La probabilité peut se calculer en prenant

la probabilité d'obtenir un "6",

ajoutée à celle d'obtenir deux "6", etc.

Mais, il y a plus simple:

§ Calculer la probabilité de ne pas obtenir de "6" du tout.	P(non"6")
§ Et, on en déduit la probabilité d'obtenir un ou plusieurs "6" qui sera son complément à 1	P("6") = 1 - P(non"6")
§ Or, pour chaque lancé	P(non"6") = 5/6
§ Les résultats de chaque lancé sont indépendants les uns des autres, alors, la probabilité résultante est le produit des probabilités élémentaires	P(non"6") = (5/6)⁴ = 0, 482
§ Et, finalement	P("6") = 1 - P(non"6") = 0,518

Attention:

On remarque que la probabilité ne se laisse pas faire avec simplicité

Ici,

chaque lancé ayant une probabilité de 1/6,

la probabilité résultante n'est pas

4 fois 1/6 = 2/3 = 0, 666

-Ý- PRODUIT

0, 491 =

1 - (35 / 36)²⁴

§ Probabilité d'obtenir un double six en 24 lancés de dé

Calcul

La probabilité peut se calculer en prenant

la probabilité d'obtenir un "double 6",

ajoutée à celle d'obtenir deux "double 6", etc.

Mais, il y a plus simple:

§ Calculer la probabilité de ne pas obtenir de "double 6" du tout.	P(non"2x 6")
§ Et, on en déduit la probabilité d'obtenir un ou plusieurs "double 6" qui sera son complément à 1	P("2x 6") = 1 - P(non"2x 6")
§ Or, pour chaque lancé	P(non"2x 6") = 35/36
§ Les résultats de chaque lancé sont indépendants les uns des autres, alors, la probabilité résultante est le produit des probabilités élémentaires	P(non"2x 6") = (35/36)²⁴ = 0,509
§ Et, finalement	P("2x 6") = 1 - P(non"2x 6") = 0,491

Attention:

On remarque que la probabilité ne se laisse pas faire avec simplicité.

Ici,

chaque lancé ayant une probabilité de 1/36,

la probabilité résultante n'est pas

24 fois 1/36 = 2/3 = 0, 666

Généralisation

P(E et F) = P(E) x P(F)

(E & F indépendants)

La probabilité que deux événements se produisent

est égale au

produit de la probabilité

de chaque événement,

à la condition que ces événements soient totalement indépendants

Comme les jets de dés par exemple

-Ý- EXCLUSIFS

0, 1388...

= 5 / 36

§ Probabilité d'obtenir la somme 3 ou la somme 4 en lançant 2 dés

Calcul

S = 3 si :

2 et 1

1 et 2

P(S=3) = 2/36

S = 4 si :

3 et 1

1 et 3

2 et 2

P(S=4) = 3/36

Bilan:

5 possibilités

P(S=3 ou S=4) = 2/36 + 3/36 = 5/36

Propriétés

P(E ou F) = P(E) + P(F)

si E et F sont exclusifs

La probabilité de l'un ou l'autre des événements

est la somme de leur probabilité respective,

si les événements ne pas simultanés.

On dit "exclusifs"

-Ý- NON EXCLUSIFS

0, 3055...

= 11 / 36

§ Probabilité de tirer un "6" en jetant 2 dés

Calcul

§ La probabilité de tirer un "6" avec le premier dé est de	6/36
§ Avec le deuxième dé, elle est aussi de	6/36
§ La somme donne 6/36 + 6/36 =	12/36
§ Oui mais, comptons bien: dans le lot il y a un "double 6"; il ne compte pas pour 2, mais seulement pour 1	1/36
§ A notre somme, il faut retrancher la probabilité des deux événements simultanés: 12/36 - 1/36 =	11/36

Illustration

11	12	13	14	15	16
21	22	23	24	25	26
31	32	33	34	35	36
41	42	43	44	45	46
51	52	53	54	55	56
61	62	63	64	65	66

6 cas favorables avec le premier dé

+ 6 cas favorables avec l'autre dé

- un cas compté en double

Propriété

P(E ou F) = P(E) + P(F) - P(E et F)

si E et F ne sont pas exclusifs

Comme pour les événements exclusifs,

la probabilité d'un événement ou d'un autre est additive,

mais en prenant la précaution d'éliminer ceux qui sont en double, car non exclusifs

Voir Combinatoire pour une formule analogue

-Ý- CONDITIONNEL

0, 166...

= 1 / 6

§ Probabilité de tirer un "double 6",

§ sachant que le premier dé lancé a déjà donné un "6"

On dit que la probabilité de l'événement E

est conditionnée à celle de l'événement F

On note: P(E/F)

On lit: "probabilité de E si F"

Propriétés

P( E / E ) = 1

Lorsque E se produit, l'événement est certain

P( E / F ) = 0

si E et F sont exclusifs

Lorsque F s'est produit, E ne se produira pas

P( E / F ) = P(E)

si les événements sont indépendants

Si E ne dépend pas de F, sa probabilité conditionnée à F

est tout simplement celle de E tout seul

Généralisation

Comme pour les événements indépendants,

la probabilité que 2 événements liés se produisent

est bien un produit de deux probabilités:

P(E et F) = P(E/F) x P(F)

et aussi

P(E et F) = P(F/E) x P(E)

Exemples

§ Probabilité que le premier dé soit un 6 et § que le deuxième dé soit un 6		?
§ Probabilité que le deuxième dé soit un 6, § *sachant* que le premier est un 6	*1 / 6*
§ Probabilité d'obtenir un 6 § avec le premier dé	*x 1 / 6*
Soit, la probabilité cherchée		*= 1 / 36*