NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Formes droites

>>> Formes Courbes – Cycliques

>>> Formes Courbes – Amortissement

>>> Formes Courbes – Furtives

>>> Formes Courbes – Statistiques

>>> Formes Courbes – Logistique

>>> Courbes fermées – Théorème de Jordan

 

 

 

 

COURBES ÉLÉMENTAIRES

 

Petit répertoire des courbes les simples et leurs usages. Les courbes classiques étudiées au lycée sont traitées sur d'autres pages. Notamment: parabole, hyperbole, ellipse, logarithme, exponentielle.

 

 

Formes droites


 

 

*    Les rampes sont plutôt utilisées en électronique analogique, alors qu'échelons et créneaux le sont en électronique numérique.

*       La rampe crée une source de tension qui croît ou décroît continument.

*       L'échelon est utilisé pour déclencher une opération ou pour maintenir un niveau continu de tension (signifiant la porte de l'ascenseur est ouverte par exemple).

*       Le créneau sert à maintenir un niveau de tension donné pendant un certain temps. Il est surtout connu pour commander les mémoires (bascules logiques). Le front de montée sert à "avaler" les données et celui de descente à les "bloquer" dans leur logement.

 

 

 

Formes courbes – Cycliques

 

 

*    Cette courbe est typique de nombreux phénomènes alternatifs. C'est la variation de la tension du courant alternatif de nos maisons à la vitesse de 50 fois par seconde (50 hertz).

*    Sa modélisation est simple: y = sinus (x). Ici x est exprimé en fraction de Pi, sachant que un angle de Pi radians vaut 180° et son sinus est effectivement nul (croisée des axes bleus).
 

Voir Trigonométrie / Électronique

 

 

Formes courbes – Amortissement

 

*    Un objet est en position y = 0; nous voulons qu'il atteigne la position y = 4. C'est notre consigne.

*    La commande sous forme d'une tension électrique est envoyée au moteur qui déplace l'objet.

*    Un capteur de position nous indique l'état d'avancement.

*    Ce retour est comparé à la consigne. Tant que le retour n'est pas égal à la consigne, le moteur est alimenté, en avant ou en arrière selon le signe de la différence.

*    Du fait de la présence de capacités (qui amortissent) et de selfs (qui dynamisent), le déplacement vers la position d'arrivée va prendre les allures présentées sur ces graphiques.

 

 

 

Formes courbes – Furtives

 

*    L'impulsion, impulsion de Dirac, delta de Dirac, même, un Dirac est un créneau très bref et de grande amplitude.

*    En mathématique, appelée distribution de Dirac et noté : signal d'amplitude infinie et de durée infiniment brève. Formalisation avec une intégrale unité:

*    En électronique et da,ns le langage courant, un Dirac est un signal important mais court qui se glisse sur un signal noble. On parle de glitches (signaux transitoires brefs et intempestifs).


 

 

 

Formes courbes – Statistiques

 

*    Courbe de Gauss ou courbe en cloche.

*    Représentative de nombreux phénomènes statistiques. Toute une population calée sur la moyenne et certains s'en écartent, mais ils sont de moins en moins.

*    En mathématique (probabilités et statistiques), la fonction est connue sous les noms de loi normale, loi gaussienne, loi de Gauss, loi de Laplace.

*    Sa représentation (densité de probabilité) est une fonction de type exponentielle:

 

 

Suite >>>

*    La courbe de Rayleigh présente une dissymétrie. Plus de représentants d'un côté que de l'autre.

*    Caractérise des phénomènes qui pourraient se rapprocher de la loi de Pareto (80/20). Par exemple: une faible population détient la majorité des richesses alors que la grande majorité en est dépourvue.

 

 

Formes courbes – Logistique

*    Courbe sigmoïde: courbe qui possède deus asymptotes.

 

 

 

*    La fonction logistique est une fonction sigmoïde particulière.

 

Topologie

 

Une courbe fermée sépare le plan en deux régions l'une, intérieure de la courbe, est bornée l'autre, extérieure de la courbe, est infinie. C'est le théorème de Jordan. Cela parait évident visuellement. Mais, très difficile à démontrer analytiquement.

Formulation mathématique

Toute courbe plane de Jordan sépare le plan R² en deux composantes connexes disjointes dont elle est la frontière commune. L'une de ces composantes est une partie bornée de R² appelée intérieure de la courbe. L'autre composante est appelée l'extérieur de la courbe.

Référence: Dictionnaire des mathématiques

 

 

 

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*         Courbure

*         Dirac (1902-1984)

*         Gauss (1777-1855)

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