NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TOPOLOGIE

 

Débutants

Géométrie

QUATRE COULEURS

 

Glossaire

Géométrie

 

INDEX

 

Quatre couleurs

 

Topologie

 

Démonstration en bref

Démo de Kempe

Démo d'Appel et Hanke

 

Sommaire de cette page

>>> Planche 1 – Le plus gros du chemin

>>> Planche 2 – La plus minutieuse

 

 

 

 

 

 

Théorème des quatre couleurs

Démonstration en bref

 

Planches synthétiques résumant la démonstration. Les explications plus précises se trouvent dans les pages spécifiques. Voir l'index.

 

La démonstration procède en deux grandes étapes

*    Étape 1 – Le plus gros du chemin consiste à montrer que cinq couleurs conduit à une contradiction.

*    Étape 2 – La plus minutieuse. L'étape 1 laisse un cas en suspens qui donne du fil à retordre: des milliers de sous-cas particuliers.

 

La carte à colorer est formée de régions ayant plus ou moins de régions voisines. Une région spécifique entourée de ses voisines est appelée configuration.

 

 

Planche 1 – Le plus gros du chemin

 

La stratégie est basée sur une hypothèse qui finalement sera contredite.

 

L'hypothèse: il existe des cartes qui nécessitent cinq couleurs et, parmi elles, il y a celles qui nécessitent juste les cinq couleurs. Autrement-dit: une seule région en moins et la voilà 4-coloriable (4-C). Ce sont les 5-coloriables (5-C) minimales.

Ensuite vient une propriété valable pour toutes les cartes: elles contiennent toutes une région avec 2, 3, 4 ou 5 frontières. La région et ses voisines forment une configuration.

 

L'examen de chacune de ces configurations réduite d'une région montre qu'elles sont toutes 3-coloriables; de sorte que la région retirée peut être réintégrée en lui donnant la quatrième couleur.

 

Conclusion:

*    une 5-coloriable, comme toutes les cartes, contient inévitablement une des quatre configurations;

*    or ces configurations sont  4-coloriables.

*    donc, il n'existe pas de 5-coloriable; l'hypothèse est fausse. Les cartes sont 4-coloriables

 

Cela constitue l'essentiel de la démonstration initiale de Kempe

 

 

 

Cartes

 

Réduction des configurations

 

Oups!

Suite Démonstration de Kempe

 

 

 

Planche 2 – La plus minutieuse

 

Le cœur de la démonstration consiste à monter que de toute manière une carte contient certaines configurations inévitables et toutes ces configurations conduisent à quatre couleurs seulement.

Le cas su pentagone est délicat et, finalement, se décline en des milliers de configurations à examiner.

 

Pour conclure la démonstration, il faut donc:

*    identifier ces configurations inévitables (environ 1500 pour la démonstration d'Appel et Haken); et

*    examiner ces configurations pour conclure ou non qu'elles sont 4-colorables.

 

Kempe avait mis au point une géniale invention pour traiter le cas du carré et croyait-il aussi le cas du pentagone. Dans la solution moderne, c'est la méthode des charges de Heesch qui va intervenir. Les sommets du pentagone sont chargés. On étudie l'écoulement de ces charges vers les sommets voisins. On démontre que certaines configurations doivent exister sinon les charges disparaitraient. Pour venir à bout du problème, d'autres méthodes plus complexes furent utilisées et programmées.

 

La démonstration complète est articulée en deux parties:

1.   Mise en action de tous les raisonnements possibles permettant d'aboutir à un ensemble de configurations inévitables; et

2.   Exploration par ordinateur des cas les plus complexes.

 

 

Suite Démonstration d'Appel et Haken

 

 

 

 

 

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