NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Nœuds

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Équivalence

>>> Invariants topologiques

>>> Objets topologiques – Exemples

 

 

 

 

 

TOPOLOGIE – INTRODUCTION

 

 

La topologie est un domaine spécifique de la géométrie où seules comptent les relations de voisinage et non les égalités, les distances, les mesures en général. Les topologues ignorent les angles et la forme exacte des objets.

En topologie, une sphère, un cube ou un verre, même à pied, sont tout à fait équivalents. Par contre, un verre et une tasse sont  différents. La tasse avec son anse est équivalente à une chambre à air ou à un tore.

 

 

GlowWorm

http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/SCULPTS/Bronzetrefoil0.jpg

KnotSky

Sculptures de Carlo H. Séquin

 

 

APPROCHE

 

*      Une feuille de papier possède deux faces et un seul bord qui coure sur les quatre côtés de la feuille.

 

Cette propriété subsiste même si la feuille est froissée ou pliée.

*      Enroulez la feuille et vous la collez à ses extrémités: c'est un cylindre qui dispose toujours de 2 faces. Mais, désormais, ce tube possède deux bords: les deux cercles des extrémités.

 

noeud topologie

*      Les maths des nœuds font partie de la topologie. Comment les reconnaître, les classer à coup sûr?

 

*      La topologie s'applique à bien distinguer

*      la circonférence du cercle et sa surface, le disque.

*      De même, elle distingue la surface de la sphère (la coquille) et son volume, la boule.

*      Et itou pour les dimensions supérieures. Pour tout objet, sa surface de dimension n flotte dans un espace de dimension n+1. Un tel objet de dimension quelconque s'appelle une variété (ou manifold en anglais).

 

 

 

Équivalences topologiques

 

*      Deux objets sont équivalents du point de vue de la topologie, si on peut déformer l'un pour arriver à l'autre; comme s'il s'agissait d'objets en pâte à modeler. Aucune découpe n'est autorisée.

*      La sphère est aplatie et elle se déforme en cube.

*      La tasse à une anse (sans le café!) se déforme pour donner le tore; le trou de l'anse est conservé.

*      Le bol, sans anse, est équivalent à la sphère.

*      La tasse à deux anses est ce bretzel sont équivalents.

 

Note:

En topologie, ces objets sont des surfaces à deux dimensions qui flottent dans un espace à trois dimensions.

 

La topologie ignore les angles, mais fait cas de la quantité de trous.

Voir Sphère et Tore / Homéomorphisme

 

 

 

Caractéristiques

ou invariants topologiques

Caractéristique

Description

 

 

Exemple de la feuille de papier

*   Nombre de côtés

Nombre de faces: pour passer de l'une à l'autre, il faut franchir un bord.

2

*   Nombre de bords

Rupture entre l'objet et le monde extérieur.

1

*   Nombre chromatique

Nombre maximum de régions telles que chacune ait un bord commun avec toutes les autres.

Voir les 4 couleurs

4

*   Nombre de Betti (1871)

Nombre maximum de coupures que l'on peut faire dans une surface sans la séparer en deux morceaux; la coupe est en travers d'un bord à un autre.

Les nombres de Betti décrivent la connectivité des surfaces et des corps. Pour un objet à n dimensions, il y n+1 nombres de Betti: quantité d'éléments, de trous (ex: tore ou bretzel), et de cavités (ex: intérieur de la sphère-coquille).

0

*   Coefficient de torsion

Témoigne de l'aspect plus ou moins tordu d'un objet, comme l'est le ruban de Moebius par exemple.

*   Caractéristique d'Euler-Poincaré

Caractérise les familles d'objets selon leur degré de décomposition en variétés premières, un peu comme les nombres entiers et leurs facteurs premiers.

 

 

Objets topologiques - Exemples

Objet

Côtés

Bords

Chromatique

Betti

*   Feuille

2

1

4

0

*   Tube

2

2

4

1

*   Sphère

2

0

4

0

*   Ruban de Moebius

ruban de Moebius

1

1

6

1

*   Tore

2

0

7

2

*   Bouteille de Klein

1

0

6

2

Référence : Gardner : jeux mathématiques

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    TopologieGlossaire

*    Conjecture de Poincaré

*    Les quatre couleurs

Voir

*    Bouteille de Klein

*    Frises

*    GéométrieIndex

*    Pavage du carré

*    Quatre couleurs

*    Ruban de Moebius

*    Théorème de Jordan

Bande dessinée

*      Le Topologicon – Lanturlu

Une vulgarisation de la topologie en bande dessinée écrite par Jean-Pierre Petit

Sites

*      Topologie – Wikipédia

*      Analysis situs – Topologie algébrique des variétés – CNRS – Cours en ligne

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Topologi.htm