Fractions pannumériques minimales

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Fractions minimales avec les permutations des chiffres

Fractions pannumériques

Une fraction pannumérique est une fraction dont le numérateur et le dénominateur utilisent tous les chiffres une seule fois.

Ici, on étudie aussi les fractions dont l'expansion décimale comporte k chiffres distincts.

Anglais: Pandigital fractions

Fractions pannumériques

Toute fraction utilisant les chiffres de 1 à 9 est dite pannumérique. Ces fractions sont nombreuses.

Une idée consiste à identifier les fractions égyptiennes (numérateur à 1)

Il en existe 12 qui sont égales à ½, par exemple:

Suite en Pandigital Fraction – Wolfram MathWorl

Quantité selon fraction en OEISA054383

Approche –

Développement à chiffres distincts

Observez les fractions suivantes:

27 / 64 = 0,421 875

153 / 320 = 0,478 125

387 / 1600 = 0,241 875

1197 / 1600 = 0,748 125

1) Le développement décimal est formé des six chiffres différents 124578.

2) Ils résultent de la simplification de la fraction 421875/1000000 pour la première.

3) Ces fractions sont les quatre plus petites obtenues avec toutes les permutations (6! = 720) de ces chiffres.

Note: ces chiffres sont ceux de la période de la fraction 1/7 = 0142 857 142 857 …

Quelles sont les fractions de ce type pour six chiffres? Pour n chiffres?
Le dénominateur est évidemment un diviseur de 10ⁿ.

SIX CHIFFRES – Fractions minimales
012345	69 / 1600 = 0043125 273 / 800 = 0341250 129 / 320 = 0403125
123456	741 / 1600 = 0463125
234567	423 / 1600 = 0264375 999 / 1600 = 0624375
345678	111 / 320 = 0346875 219 / 320 = 0684375
456789	159 / 320 = 0496875 303 / 320 = 0946875
567890	31 / 32 = 0968750 559 / 800 = 0698750

Toutes (D < 100)

17 fractions de ce type sur 151 200 combinaisons possibles

(210 fois 720 les permutations de 6 chiffres.

Car C₁₀⁶ = 10! / (6!x4!) = 210.

Soit au total 10! / 4!)

3/64 est la plus petite avec les chiffres 045678.

19/64 est la plus petite sans zéro avec les chiffres 256789.

3 / 64 = 0046875

5 / 64 = 0078125

7 / 64 = 0109375

9 / 64 = 0140625

7 / 32 = 0218750

19 / 64 = 0296875

25 / 64 = 0390625

27 / 64 = 0421875

15 / 32 = 0468750

39 / 64 = 0609375

45 / 64 = 0703125

25 / 32 = 0781250

27 / 32 = 0843750

57 / 64 = 0890625

59 / 64 = 0921875

31 / 32 = 0968750

63 / 64 = 0984375

CINQ CHIFFRES – Fractions minimales

Toutes (D < 50)

15 fractions de ce type sur 30 240 (= 10! / 5!) combinaisons possibles.

7/32 est la plus petite sans zéro avec les chiffres 12578.

Les fractions suivantes seraient en x / 80. Il y en a 18.

1/32 = 0,03125

3/32 = 0,09375

3/16 = 0,18750

7/32 = 0,21875

5/16 = 0,31250

13/32 = 0,40625

7/16 = 0,43750

15/32 = 0,46875

11/16 = 0,68750

25/32 = 0,78125

13/16 = 0,81250

27/32 = 0,84375

29/32 = 0,90625

15/16 = 0,93750

31/32 = 0,96875

QUATRE CHIFFRES – Fractions minimales

Toutes (D < 50)

21 fractions de ce type sur 5 040 (= 10! / 6!) combinaisons possibles.

3/16 est la plus petite sans zéro avec les chiffres 1578.

La recherche pour moins de chiffres n'est guère intéressante!

1/16 = 0,0625

1/ 8 = 0,1250

7/40 = 0,1750

3/16 = 0,1875

11/40 = 0,2750

5/16 = 0,3125

13/40 = 0,3250

3/ 8 = 0,3750

17/40 = 0,4250

7/16 = 0,4375

19/40 = 0,4750

5/ 8 = 0,6250

27/40 = 0,6750

11/16 = 0,6875

29/40 = 0,7250

13/16 = 0,8125

33/40 = 0,8250

7/ 8 = 0,8750

37/40 = 0,9250

15/16 = 0,9375

39/40 = 0,9750

SEPT CHIFFRES – Fractions minimales

Toutes (D < 130)

11 fractions de ce type sur 604 800 (= 10! / 3!) combinaisons possibles.

55 /128 est la plus petite sans zéro avec les chiffres 2456789.

27 / 128 = 0,2109375

19 / 64 = 0,2968750

39 / 128 = 0,3046875

27 / 64 = 0,4218750

55 / 128 = 0,4296875

59 / 128 = 0,4609375

63 / 128 = 0,4921875

101 / 128 = 0,7890625

117 / 128 = 0,9140625

59 / 64 = 0,9218750

63 / 64 = 0,9843750

HUIT CHIFFRES – Fractions minimales

Toutes (D < 500)

7 fractions de ce type sur 1 814 400 (= 10! / 2!) combinaisons possibles.

Aucune sans utiliser le zéro.

11 / 256 = 0,04296875

59 / 256 = 0,23046875

63 / 256 = 0,24609375

97 / 256 = 0,37890625

55 / 128 = 0,42968750

63 / 128 = 0,49218750

159 / 256 = 0,62109375

NEUF CHIFFRES – Fractions minimales

Toutes (D < 10 000)

34 fractions de ce type sur 3 628 800 (= 10! ) combinaisons possibles.

Aucune sans utiliser le zéro.

63 /512 est la plus petite fraction; elle utilise tous les chiffres de 0 à 8.

267 / 2560 = 0,104296875

63 / 512 = 0,123046875

319 / 2560 = 0,124609375

831 / 6400 = 0,129843750

851 / 6400 = 0,132968750

353 / 2560 = 0,137890625

183 / 1280 = 0,142968750

1087 / 6400 = 0,169843750

1407 / 6400 = 0,219843750

1727 / 6400 = 0,269843750

779 / 2560 = 0,304296875

2003 / 6400 = 0,312968750

439 / 1280 = 0,342968750

447 / 1280 = 0,349218750

2331 / 6400 = 0,364218750

2363 / 6400 = 0,369218750

2523 / 6400 = 0,394218750

2643 / 6400 = 0,412968750

2771 / 6400 = 0,432968750

1121 / 2560 = 0,437890625

2811 / 6400 = 0,439218750

1183 / 2560 = 0,462109375

3003 / 6400 = 0,469218750

3967 / 6400 = 0,619843750

4031 / 6400 = 0,629843750

4059 / 6400 = 0,634218750

4091 / 6400 = 0,639218750

831 / 1280 = 0,649218750

4443 / 6400 = 0,694218750

2111 / 2560 = 0,824609375

2207 / 2560 = 0,862109375

2363 / 2560 = 0,923046875

5979 / 6400 = 0,934218750

6171 / 6400 = 0,964218750

DIX CHIFFRES – Fractions minimales

totalement pannumériques

Toutes (D < 50 000)

14 fractions de ce type sur 3 628 800 (= 10!) combinaisons possibles.

1719/12800 est la plus petite fraction; elle utilise tous les chiffres de 0 à 9.

3339 / 25600 = 0,1304296875

1719 / 12800 = 0,1342968750

3681 / 25600 = 0,1437890625

4671 / 25600 = 0,1824609375

4923 / 25600 = 0,1923046875

7947 / 25600 = 0,3104296875

4023 / 12800 = 0,3142968750

4671 / 12800 = 0,3649218750

10593 / 25600 = 0,4137890625

12447 / 25600 = 0,4862109375

8127 / 12800 = 0,6349218750

20799 / 25600 = 0,8124609375

21663 / 25600 = 0,8462109375

4671 / 5120 = 0,9123046875

Suite	Pannumérique
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DicoNombre	Nombre 0,046875 Nombre 0,123046875 Nombre 0,134296875 Nombre 0,296875 Nombre 0,421875
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