NOMBRES - Curiosités théorie et usages

 

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Motifs avec les nombres

 

Débutants

Nombres

Pannumériques

 

Glossaire

Chiffres

 

 

INDEX

 

Motifs

 

Chiffres

 

Jeux avec nombres

 

Nombres

 

Pannumérique

Fractions minimales

Chiffres différents

Chiffres répétés – Carrés

Chiffres répétés – Cubes

Carrés, cubes et puissances pannumériques

 

Sommaire de cette page

>>> Carrés avec deux de types de chiffres

>>> Carrés – Record du même chiffre répété

>>> Carrés – Unique bloc le plus long

>>> Carrés – Bloc de chiffres répétés

 

 

 

 

 Nombres avec chiffres répétés

dans les CARRÉS

 

Quels sont les carrés des nombres qui comportent le plus de fois le chiffre 1, le chiffre 2, etc.

Quels sont les carrés des nombres qui comportent le plus de 1 à la suite, ou de  2, etc.

Idem avec des blocs de chiffres, comme ce motif rare:

 

 

Voir Pépite

 

 Devinette

Trouvez un carré à quatre chiffres ayant ses deux premiers chiffres et ses deux derniers chiffres répétés.  Solution

 

 

Carrés avec deux types de chiffres

Deux types de chiffres dans le carré

 

Testé jusqu'à 45 millions

  1² =    1

  2² =     4

  3² =     9

  4² =   16

  5² =   25

  6² =   36

  7² =   49

  8² =   64

  9² =   81

10² = 100

11² =    121

12² =    144

15² =    225

20² =    400

21² =    441

22² =    484

26² =    676

30² =    900

38² = 1 444

88² = 7 744

100² = 10 000

200² = 40 000

300² = 90 000

 

109² = 11 881

173² = 29 929

212² = 44 944

235² = 55 225

264² = 69 696

  1 000² =        1 000 000

  2 000² =        4 000 000

  3 000² =        9 000 000

  3 114² =        9 696 996

 

10 000² =    100 000 000

20 000² =    400 000 000

30 000² =    900 000 000

81 619² = 6 661 661 161

 

FIN (hors nombres avec 0) ?

Trois types de chiffres dans le carré

 

Ils sont très nombreux …

13² = 169

14² = 196

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

23² = 529

24² = 576

25² = 625

27² = 729

28² = 784

29² = 841

31² = 961

34² = 1156

35² = 1225

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

50² = 2500

Cas des cubes à deux types de chiffres

13 = 1

23 = 4

33 = 9

43 = 16

73 = 49

103 = 100

113 = 121

203 = 400

100² = 10000

Les seuls cubes (hors nombres avec 0) ?

Programme Maple

Commentaires

convert donne la liste des nombres.

{op(…)} transforme la liste en ensemble (un seul élément de chaque).

nops donne la quantité

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Carrés – Record du même chiffre répété

 

Exemple de lecture:

11² = 121 qui comporte deux fois le chiffre 1. Sur la ligne 11, on écrit 2 dans la colonne du 2 car c'est la première fois qu'un carré est écrit avec deux 1. Il est écrit en jaune pour signifier que c'est un record parmi tous les chiffres possibles (hors le 0, trivial).

 

Les nombres dans les colonnes indiquent donc le record en quantité de chiffres répétés pour le chiffre indiqué en tête de colonne.

*       il est en jaune pour la première apparition de cette quantité; et

*       il est en marron pour la dernière apparition.

 

La colonne du 0 est en vert car la quantité de zéro record est trivialement atteinte pour les puissances de 10.

 

Prenons le tableau commençant par n = 1000: le nombre 2538² = 6441444 est le premier carré montrant cinq 4. Le record suivant, avec six 4, est atteint pour 6888².

Par contre, 3576² est le dernier carré a montrer quatre fois un chiffre, et c'est le chiffre 7.

 

 

Pour n = 38, son carré 1444 est écrit avec trois fois le chiffre 4. Cette propriété est indiquée en notant 3 dans la colonne 4. De plus, c'est le premier carré offrant trois fois un chiffre répété. Il est noté en jaune.

 

 

Le nombre 212  est remarquable: il est palindrome et son carré est aussi palindrome.

 

 

 

Carrés – Unique bloc le plus long

 

On cherche les carrés qui offrent une répétition la plus longue possible du même chiffre. Le tableau montre les records successifs pour les nombres jusqu'à 10 millions.

 

Exemple de lecture: 33334² = 111111555556. Dans ce carré le 1 est répété six fois et, coquetterie, le 5 est lui-même répété, tout comme le 3 dans le nombre initial.

Le nombre suivant (333334) présente un chiffre 1 de plus. D'ailleurs, ce motif est sans fin.

 

 

 

 

Carrés – Bloc de chiffres répétés

 

On cherche les nombres qui comportent aux moins deux blocs de trois chiffres répétés

Jusqu'à n =  1 000 000.

 

Exemple de lecture: 105414² = 1112111396. Ce carré comporte deux groupes (gr.) de chiffres 1 répétés, l'un de 4 chiffres et l'autre de 3 chiffres. Avec le chiffe 1, il existe sept carrés qui ont deux groupes d'au moins trois 1 répétés. En fait, le seul a avoir quatre chiffre est le premier nombre cité; et il n'y en pas d'autres avec plus de chiffres répétés dans un groupe. 

 

 

 

Suite

*       Cubes – Chiffres répétés

*       Carrés à chiffres répétés (introduction)

*       Nombres automorphiques

*       Nombre plaqué cube ou trimorphique

*       Pannumérique

*       Repdigits

*       Repunits

Voir

*       Jeux avec nombres Index

*       Jeux et énigmesIndex

DicoNombre

*       Nombre 34

*       Nombre 99 et répétition du 9 avec le cube

*       Nombre 114

*       Nombre 199 et répétition du 9 avec le cube

*       Nombre 81 619

*       Nombre 380 038

*       Nombre 1 490 712

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