NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Fractions

 

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Fractions

 

Représentation des nombres

 

Types de nombres

 

Nombres premiers

Débutants

Tour d'horizon

Nombres décimaux

Nombres périodiques

Dichotomie de la période

Premiers longs

Permutation circulaire

Extraction des décimales

Fractions en 1/99…99

142 857

Égalité 0,999 = 1

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple: nombre têtu142 857

>>> Nombres à permutations cycliques ou têtus

>>> Propriétés

>>> Densité des nombres premiers longs

>>> Comment savoir si un premier est long?

>>> Nombres têtus d'ordre 2

>>> Nombres têtus d'ordre n

>>> Devinette avec 142 857

 

 

 

 

Nombres PREMIERS LONGS,

Nombres têtus,

Nombres phénix, ou

Nombres à permutation circulaire.

 

 

Nombres à développement décimal périodique dont la période est maximale. Alors, tous les multiples de ce nombre présentent une période faite des mêmes chiffres permutés en rond.

Comment les reconnaitre >>>

 

Liste: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167 …

Table >>>

Anglais: long prime or full reptend prime

Also called long period primes or maximal period primes

 

 

 

 

Exemple du plus fameux

 

 Nombre têtu 142 857

 

 

Nombre à développement décimal périodique

 

*      142 857 est la période de la fraction 1/7
1,7 = 0,142857 142857 …
La longueur est égale à 6, soit 7 – 1, la valeur maximale possible.

 

Multiples de ce nombre

 

142 857 x 1 = 142857

x 5 = 714285

x 4 = 571428

x 6 = 857142

x 2 = 285714

x 3 = 428571

*      Les produits se déduisent les uns des autres par permutation circulaire: décalage vers la gauche et le chiffre sortant à droite est réintroduit à gauche.

 

Voir la suite de toutes les propriétés "magiques" de ce nombre

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

  

 

 

Définition et propriétés

 

 

NOMBRES TÊTUS

ou À PERMUTATIONS CIRCULAIRES

ou PREMIERS LONGS

 

Définition

*      Nombre premier dont l'inverse a un développement décimal périodique de période maximale.
La longueur de la période est égale au nombre considéré moins 1.
                                           L = P – 1

 

 

Exemples: période pour quelques nombres premiers

*      Quels sont ceux pour lesquels la période est maximale:

  7,  [1, 4, 2, 8, 5, 7]

11, [0, 9])

13, [0, 7, 6, 9, 2, 3]

17, [0, 5, 8, 8, 2, 3, 5, 2, 9, 4, 1, 1, 7, 6, 4, 7]

19, [0, 5, 2, 6, 3, 1, 5, 7, 8, 9, 4, 7, 3, 6, 8, 4, 2, 1]

23, [0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3]

29, [0, 3, 4, 4, 8, 2, 7, 5, 8, 6, 2, 0, 6, 8, 9, 6, 5, 5, 1, 7, 2, 4, 1, 3, 7, 9, 3, 1]

 

 

*      Les nombres 7, 17, 19, 23 et 29 sont des nombres premiers longs. Le suivant est 109. Ils possèdent les mêmes propriétés que celles vues pour 1/7 = 0, 142857 … 

Liste des nombres premiers longs

 

 

Pour confirmer quelques exemples

52 631 578 947 368 421 x 19

            = 999 999 999 999 999 999

*      Multiplié par un nombre quelconque de 1 à 18, il donne les mêmes chiffres, dans le même ordre, avec décalage

*      Multiplié par 19, il donne un repdigit en 9.

344 827 586 206 896 551 724 137 931

*      Donne le même type de résultat jusqu'à 22 et pour 23 on ne trouve que des 9

0212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617

*      Va jusqu'à 47

Etc.

*      Ça continue!

 

 

 

Propriétés

 

*      Tous les nombres à permutations cycliques, inverses de nombres premiers, ont une période comprise entre (n – 1)/2 et n – 1.

 

1/13 = 0, 076 923 076 923 ...

est cyclique de période 6, avec 6 = (13 – 1) / 2

 

*      Seuls ceux avec une période n – 1 sont têtus (premiers longs).

 

*      Tous les nombres à permutations cycliques, inverses de nombres composés, ont une période qui est le PPCM des périodes des diviseurs premiers distincts.

 

1/21 = 0, 047 619 047 619...

Or: 21 = 3 x 7 et 3 a une période de 1, alors que 7 à une période de 6

=> 21 à une période de 6 x 1 = 6.

 

 

*      Tous les nombres à permutations cycliques (ou têtus) ont les propriétés citées pour 142 857, avec les ajustements nécessaires.

*      On ne sait pas s'il y en a une infinité.

 

 

 

 

Densité des nombres premiers longs

 

 

Propriété

Conjecture d'Emil Artin (1927): La densité des nombres premiers longs, en nombre infini, tend vers: C = 0,373955... , la constante d'Artin.

Cette conjecture n'est toujours pas démontrée (2016).

Voir Racine primitive

 

 

Formule

= 0,373 955 813 619 202 288 05...  >>>

Le calcul de Shanks donnait 3/8 = 0,375

 

Voir Nombres premiers longs / Nombres têtus

 

 

 

Comment savoir si un premier est long?

 

Prenons les premiers 7 et 11, et observons les restes des puissances de10 modulo 7 et 11:

Le nombre 7 est un premier long; le résidu 1 n'arrive qu'en fin (106 = 142 857 x 7 + 1)

Le nombre 11 ne l'est pas; le résidu 1 apparaît dès la puissance 2 (100 = 9 x11 + 1).

 

Un nombre premier p est long si et seulement si le premier résidu modulo p est obtenu seulement pour 10p – 1.

 

La puissance de 10 qui conduit au premier résidu égal à 1 est appelé l'ordre du nombre  (order of a number).

Ordre de 7 = 6; ordre de 11 = 2; ordre de 13 = 6, etc.

 

Plus généralement, la puissance de 10 peut être remplacée par la puissance d'un nombre k quelconque. L'ordre d'un nombre n en base b est le plus petit entier k tel que bk  1 mod n

 

Un nombre premier p est long si et seulement son ordre est p – 1.

 

 

Bien sûr, il fait calculer les résidus des puissances de 10. Possible avec un moyen de calcul. Par exemple un logiciel de calcul comme Maple. .

 

 

 

Programme donnant l'ordre de chacun des nombres premiers

 

Après réinitialisation, on lance une boucle d'exploration pour les nombres n de  5 à 50. On ne poursuit les calculs que si ce nombre est premier.
Pour chacun, on explore les puissances de 10 jusqu'à 10n – 1. La variable m mémorise la valeur du reste de la division de cette puissance par le premier n (modulo).

 

Dès que cette valeur vaut 1, on imprime le nombre (n) et son ordre (i); puis on stoppe l'exploration (i := n – 1).

 

L'impression montre les 12 nombres premiers entre 6 et 50.

On y repère ceux qui sont longs:

 

7, 17, 19, 23, 29 et 47

 

Voir Autres programmations avec les périodiques

 

Programme de recherche des seuls premiers longs.

 

Même corps de programme.

 

On ajoute une variable de test T qui vaut 1 si le nombre premier est long.

 

On suppose qu'il est long a priori.

 

Dès qu'un résidu vaut 1, cette hypothèse est annulée (T:= 0) et l'exploration est stoppée (i := n – 1).

 

Si T résiste à un jusqu'à la fin, ou presque (n-2), alors on ajoute ce nombre à la liste L des premiers longs. Inutile de faire le calcul pour la puissance n – 1; le résidu est forcément égal à 1.

Voir Table des premiers longs

 

 

Programme avec instruction dédiée

 

Un bon logiciel de calcul possède une instruction qui calcule directement l'ordre d'un nombre.

 

Nous mettons en place une procédure (Plong). Pas obligatoire, mais intéressant pour constituer une bibliothèque de programmes utiles.

 

L'instruction ithprime donne directement le nombre premier de rang n. On calcule son ordre avec l'instruction spéciale (order en base 10 pour p).

 

On retourne p si l'ordre vaut p – 1.

 

L'instruction séquence (seq) appelle la procédure pour n de 1 à 50.

 

Voir ProgrammationIndex

 

  

Têtus d'ordre 2:

 

*      Les multiples de P sont toujours obtenus par permutations circulaires de chiffres, mais à partir de deux périodes et non plus une seule.

 

Exemple (période 1 en vert et période 2 en bleu)

 

1/13

2/13

3/13

4/13

5/13

6/13

7/13

8/13

9/13

10/13

11/13

12/13

076

923

 

230

769

307

 692

 

 

 

 

692

307

769

230

 

923

076

 

153

846

 

 

384

615

461

538

538

461

615

384

 

 

846

153

 

 

 

*      Le résultat oscille entre les permutations des chiffres de 2 nombres.

*      Les autres têtus d'ordre 2: 13, 31, 43, 67, 71, 83, 89 …

 

 

Propriétés

*      Notez la relation entre les deux périodes: 153 846 = 2 x 76 923.

*      Configurations en 9:

 

076923    x      13                              =   999999

076          +     923                           =   999

07             +     69     +    23              =   99

153846    x      13     =    1999998   => 999999

153          +     846                           =   999

15             +     38     +    46              =   99

 

*      Rappel: pour conserver la longueur de la période à 6, on ajoute ceux qui dépassent à gauche à ceux de droite.

 

 

  

Têtus d'ordre n

 

*      Nombre à permutations cycliques dont les chiffres sont la permutation des chiffres de n nombres.

 

Ordre n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Plus petit Têtu

7

13

103

53

11

79

211

41

73

 

 

Ordre n

10

11

12

13

14

15

Plus petit Têtu

281

353

37

2 393

449

3 061

 

Curiosité: carré magique têtu

 

1/19

= 0,

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

2/19

= 0,

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

3/19

= 0,

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

4/19

= 0,

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

5/19

= 0,

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

6/19

= 0,

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

7/19

= 0,

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

8/19

= 0,

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

9/19

= 0,

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

10/19

= 0,

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

11/19

= 0,

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

12/19

= 0,

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

13/19

= 0,

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

14/19

= 0,

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

15/19

= 0,

7

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

16/19

= 0,

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

9

4

7

3

6

17/19

= 0,

8

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

18/19

= 0,

9

4

7

3

6

8

4

2

1

0

5

2

6

3

1

5

7

8

 

*      Somme 81 sur les lignes et les colonnes, c'est normal; pour les diagonales c'est raté.

 

 

 

 

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Sites

*    OEIS A00193 - Full reptend primes: primes with primitive root 10.

*    Full Reptend Prime – Wolfram MathWorld

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