NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 24/03/2011

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres

 

Débutants

Nombres

INFINI

Mathématiques

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Nombres

 

Index infini

Transfinis

Dénombrement

Dénombrable

Aleph

 

Sommaire de cette page

>>>  Le monde insoupçonné de l'infini

>>> Aleph – Propriétés

>>> Aleph – Identités

 

 

 

 

INFINI – Calcul avec ALEPH

 

L'infini ou plus exactement les transfinis se prêtent à une arithmétique bien singulière.

 

 

LE MONDE insoupçonné de l'INFINI

 

*      Cantor baptise Aleph 0 (0)  l'infini des nombres entiers. En langage mathématique :  0 est le cardinal infini des nombres entiers.

 

*      Il baptise Aleph 1 (1) l'infini du nombre de points sur une portion de courbe. Il en profite pour généraliser et donner une construction de .

 

*      Il se pose également une question étrange: existe-t-il d'autres infinis entre  0 et  1? Il faudra attendre Kurt Gödel (1938) et Paul Cohen (1963) pour savoir qu'on ne le saura jamais. Il s'agit d'un sujet indécidable : aussi bien vrai que faux !

 

*      L'infini est bien plus déroutant qu'on pouvait le penser...

 

 

 

ALEPH – RÉCAPITULATIF ET PROPRIÉTÉS

Entiers

Fractions

Aleph 0

 0

*      L'ensemble de tous les nombres entiers naturels () et des rationnels - ou fractions (). On dit que  à la puissance (ou le cardinal) du dénombrable. C'est le plus petit cardinal infini.

Lignes

Surfaces

Cubes

Aleph 1

 1

*      L'ensemble des points géométriques, ou ensemble des nombres réels (). On dit que  à la puissance (ou le cardinal) du continu. On ne sait pas décider si ce cardinal suit immédiatement 0

Courbes

Aleph 2

 2

*      L'ensemble des courbes géométriques.

?

Aleph 3

 3

*      Aucune interprétation pour le moment.

Et

Aleph infini

 

*      Il n'est pas interdit d'y penser!

 

 

Identités

 0 + n =

 0

 0 +  0 =

 0

n.  0 =

 0

 0 .  0 =

 0

 0 n =

Même avec n = ¥

 0

Mais,

 

  = 0 À0  =

1

  = 1 À1  =

2

 

  

 

 

Suite

*    Infini en physique

*    Voir en haut de page

Voir

*    Algèbre