NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition

>>> Propriétés

>>> Arithmétique des cardinaux

>>> Domaine de l'infini

>>> Oups!

 

 

 

 

CARDINAL

  

Équivalent à:

*    Taille de l'ensemble,

*    Quantité d'éléments,

*    Puissance de l'ensemble.

 

Notion étendue aux ensembles infinis.

 

Usage commun:

*    Nombres cardinaux: nombres entiers pour compter – trois.

*      Nombres ordinaux: nombres entiers pour donner un classement – le troisième.

 

#E est la notation pour cardinal de l'ensemble E.

Voir Nombres introduction aux nombres cardinaux et ordinaux

 

 

Subitisation

Dénombrement instantané;  fait de donner une quantité d'objets sans les compter. La subitisation moyenne d'un adulte est de 5; celle d'un bébé à la naissance est déjà de 3.

Voir Cerveau / Numérosité

 

 

 

 

 

Approche

Ils font chacun une collection et les comparent.

Soyons plus précis.

 

Pour éviter toute confusion, la QUANTITÉ d'éléments dans une collection, dans un ensemble, est appelée

CARDINAL

On dit aussi:                   Puissance

Dans notre exemple

 

 

Définition

 

Soit un ensemble E, le cardinal de E est le plus petit ordinal équipotent à E.

 

En langage courant: je dispose d'une collection. Je la compare à l'ensemble ordonné des nombres. Je compte: premier, deuxième, …, kième et dernier. Ces nombres sont des ordinaux (relation d'ordre).

Lorsque j'arrive au dernier, le kième, je connais la quantité d'éléments dans la collection et je baptise ce nombre le cardinal de la collection, ou cardinal de l'ensemble.

 

 

Bijection

Il est possible d'établir une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles.

On dit, alors,  qu'il y a bijection de l'un des ensembles sur l'autre

Jadis, on disait biunivoque

 

Équipotent

Deux ensembles sont équipotents s'il existe une bijection de l'un sur l'autre

Ils ont la même quantité d'éléments

Voir Construction des nombres à partir de zéro / Compter les nombres / Compter les ensembles et leurs parties

 

 

Propriétés

Le cardinal indique la quantité d'éléments


E = {x, y , z)            Card (E) = 3

F = {1, 3, 5, 7, 9}     Card (F) = 5

 

Le cardinal d'un ensemble vide

est 0

Le cardinal de la suite des nombres de 1 à n est n

Notation

A = {1, 2, 3,…, n }  alors Card (A) = n

Réciproquement:

Card (A) = n

       Si et seulement si

A est équipotent à {1, 2, 3,…, n }

       C'est-à-dire si

A contient n éléments.

 

 

 

Quantité de nombres

Manière d'exprimer la quantité de nombre dans l'ensemble A par rapport à l'ensemble de tous les entiers jusqu'à n.

 

 

Qui se lit: la quantité de nombre dans A (nu de A) est égale au cardinal (quantité) de nombres communs (intersection) à l'ensemble A et l'ensemble de tous les nombres entiers jusqu'à n.

Voir Densité

 

 

 

 

 

ARITHMÉTIQUE des cardinaux

 



Plusieurs ensembles disjoints (sans éléments en commun), le cardinal du tout est égal à la somme des cardinaux de chaque ensemble.

Autre manière de dire que: si je mets toutes mes collections ensemble, la quantité totale est la somme des quantités de chacun.

Voir Union

 

 

 

 

Domaine de l'infini

 

Généralisation de la notion de cardinalité

 

On verra que, outre un besoin de précision, le cardinal s'avère utile pour caractériser des ensembles infinis.

Le cardinal est une extension de la notion de nombre d'éléments d'un ensemble fini à tous les ensembles, même infinis.

 


Aleph

La quantité de nombres entiers est infinie. Mais, la quantité des nombres réels est encore "plus grande".

Le cardinal de l'ensemble des nombres entiers N est baptisé:

Aleph zéro : À0 = Card (N)

Le plus petit cardinal plus grand que 0 est 1

Le cardinal de l'ensemble des nombres réels R est baptisé C

Question:

1 = C ?

C'est indécidable !

 

 

Oups

La collection des cardinaux n'est pas un ensemble. Il sert à définir la taille de la famille et ne fait même pas partie de la famille !

Voir Antinomie (ou paradoxe) de Cantor  / Ensembles de Russel

 

 

 

 

Suite

Au sujet de cardinal

*         Cardinal – DicoMot Maths

*         Cardinal et dénombrement

*         Cardinal et tansfinis

*         Cardinal fini et infini

*         Cardinaux et papes

*         Nouveau nom pour cardinal

*         Numéraux (ou cardinaux) – Langue

*         Ordinaux

*         Points cardinaux

Voir

*         Construction des nombres à partir de zéro

*         Constructions des ensembles de nombres

*         EnsembleGlossaire

*         Ensembles de nombres

*         Glossaire mathématiqueGlossaire

*         Groupe

*         Groupes et triangles

*         Introduction aux groupes (Débutant)

*         Les symétries

*         Les types de nombres

*         Mathématiques de la parcimonie

*         Principe d'inclusion-exclusion

*         Théorie des nombresIndex

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