puissance d'un ensemble

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/05/2017 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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CARDINAL

Équivalent à:

Taille de l'ensemble,

Quantité d'éléments,

Puissance de l'ensemble.

Notion étendue aux ensembles infinis.

Usage commun:

Nombres cardinaux: nombres entiers pour compter – trois.

Nombres ordinaux: nombres entiers pour donner un classement – le troisième.

#E est la notation pour cardinal de l'ensemble E.

Voir Nombres introduction aux nombres cardinaux et ordinaux

Subitisation

Dénombrement instantané; fait de donner une quantité d'objets sans les compter. La subitisation moyenne d'un adulte est de 5; celle d'un bébé à la naissance est déjà de 3.

Voir Cerveau / Numérosité

Approche
Ils font chacun une collection et les comparent.
Soyons plus précis.	Pour éviter toute confusion, la QUANTITÉ d'éléments dans une collection, dans un ensemble, est appelée CARDINAL On dit aussi: Puissance
Dans notre exemple

Définition
Soit un ensemble E, le cardinal de E est le plus petit ordinal équipotent à E. En langage courant: je dispose d'une collection. Je la compare à l'ensemble ordonné des nombres. Je compte: premier, deuxième, …, kième et dernier. Ces nombres sont des ordinaux (relation d'ordre). Lorsque j'arrive au dernier, le kième, je connais la quantité d'éléments dans la collection et je baptise ce nombre le cardinal de la collection, ou cardinal de l'ensemble.
Bijection Il est possible d'établir une correspondance un à un entre les éléments des deux ensembles. On dit, alors, qu'il y a bijection de l'un des ensembles sur l'autre Jadis, on disait biunivoque Équipotent Deux ensembles sont équipotents s'il existe une bijection de l'un sur l'autre Ils ont la même quantité d'éléments

Voir Construction des nombres à partir de zéro / Compter les nombres / Compter les ensembles et leurs parties

Propriétés
Le cardinal indique la quantité d'éléments	E = {x, y , z) Card (E) = 3 F = {1, 3, 5, 7, 9} Card (F) = 5
Le cardinal d'un ensemble vide	est 0
Le cardinal de la suite des nombres de 1 à n est n	Notation *A = {1, 2, 3,…, n }* alors Card (A) = n
Réciproquement:	*Card* *(A) = n* Si et seulement si *A est équipotent à {1, 2, 3,…, n }* C'est-à-dire si A contient n éléments.

Quantité de nombres

Manière d'exprimer la quantité de nombre dans l'ensemble A par rapport à l'ensemble de tous les entiers jusqu'à n.

Qui se lit: la quantité de nombre dans A (nu de A) est égale au cardinal (quantité) de nombres communs (intersection) à l'ensemble A et l'ensemble de tous les nombres entiers jusqu'à n.

Voir Densité