NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

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Nombres

 

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Dénombrement

Dénombrable

Aleph

Sommaire de cette page

>>> Puissance

>>> Hypothèse du continu

>>> Cardinaux

>>> Historique

 

 

 

 

Dénombrable et continu

 

Il y a une infinité de nombres entiers et de fractions.

Il y a une infinité " plus grande" de nombre réels.

Existe-t-il quelque chose entre ces deux types d'infinités ?

 

Réponse

Vous faîtes pensez ce que vous voulez. Personne ne vous contredira. Et, c'est prouvé!

 

 

Rappels

Lorsque deux ensembles possèdent le même nombre d'éléments, ils sont équipotents; ils ont la même puissance; ils possèdent la même cardinalité.. Le cardinal d'un ensemble infini se note: Aleph.

 

 

 

PUISSANCE

du DÉNOMBRABLE

du CONTINU

 ainsi que  et

*      Les nombres entiers (N) servent à dénombrer.

*      Les nombres réels (R) peuvent être représentés par l'ensemble des points sur la droite.

*      Les ensembles ,  et  ont la même puissance, la puissance du dénombrable.

*      L'ensemble  a la puissance du continu.

*      Notée: aleph zéro

 0

*      Notée: aleph

1

*      Autres notations:

Card (N)

 

Card (R) ou C

Existe-t-il

un ensemble qui aurait

une puissance intermédiaire ?

Voir Ensemble finis, infinis, dénombrables

 

HYPOTHÈSE DU CONTINU

 

Vision de Cantor: hypothèse du continu

*      Il n'y a rien entre les deux!

*      La puissance qui vient immédiatement après celle de  est celle de .

Il y a 0 puis 1.

*      Cantor a soutenu cette hypothèse toute sa vie.

 

Vision de Gödel et Cohen

*      On ne peut pas savoir s'il existe quelque chose entre les deux. Rien ou quelque chose, il est impossible de décider. Sans faire apparaître de contradiction, on peut aussi bien supposer que:

*       après la puissance du dénombrable vient celle du continu, ou

*       il existe quelque chose entre les deux.

*      Si bien que l'affirmation de Cantor, l'hypothèse du continu, est une affirmation parmi d'autres.

 

 

 

CARDINAUX

0

*      Aleph zéro est bien le plus petit cardinal infini.

C =

Card (R) =

1

*      L'hypothèse du continu affirme que c'est le plus petit cardinal après Aleph zéro. Mais, cette affirmation est indécidable.

 

 

HISTORIQUE

Cantor

1878

*      Conjecture que l'hypothèse du continu est vraie.

*     est bien le 2e infini après0 , noté 1

*    Card (R) = 1

Gödel

1931

 

*      Formule  son théorème sur l'incomplétude:

*    Il se peut que dans certains cas, on puisse démontrer une chose et son contraire.

Cohen

1963

*      Démontre l'indécidabilité de l'hypothèse du continu. Si la théorie des ensembles n'est pas contradictoire:

*    On peut faire cette hypothèse,

*    Comme la nier.

*      Il utilise la méthode de démonstration dite du forcing, inventée par lui.

Voir Infini – Historique

 

 

Suite

*    Aleph

Voir

*    InfiniIndex

*    Cardinal

*    Compter les ensembles

*    Compter les nombres