NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 26/10/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique   Brèves de Maths              

     

Nombres

 

Débutants

Logique

INFINI

Mathématiques

 

Glossaire

Ensemble

 

 

INDEX

Nombres

 

Index infini

Transfinis

Dénombrement

Dénombrable

Aleph

 

Sommaire de cette page

>>> Vocabulaire

>>> Deux sortes d'infinis "classiques"

>>> Un autre infini difficile à placer

>>> Hypothèse du continu

>>> Point de situation

>>> Vers les ensembles exotiques

>>> La démonstration de Malliaris et Shelah

>>> Historique

 

 

 

 

 

Dénombrable et continu

Hypothèse du continu

Égalité de deux ensembles infinis exotiques p et t

 

Il y a une infinité de nombres entiers et de fractions.

Il y a une infinité " plus grande" de nombre réels.

Existe-t-il quelque chose entre ces deux types d'infinités ?

 

Réponse

Vous pouvez penser ce que vous voulez.

Personne ne vous contredira. Et, c'est prouvé!

 

Actualité 2017

La presse dit qu'on a prouvé que deux sortes d'infinis sont de même taille. Oui, mais pas ceux indiqués ci-dessus. Ce sont d'autres ensembles infinis (nommés p et t) qui font plonger aux confins de la recherche en théorie des ensembles.

 

 

Vocabulaire

Lorsque deux ensembles possèdent le même nombre d'éléments, ils sont équipotents; ils ont la même puissance; ils possèdent la même cardinalité.. Le cardinal d'un ensemble infini se note: Aleph .

Note: Aleph est la première lettre de l'alphabet hébreu. Son unicode: 2135

 

 

 

Deux sortes d'infinis "classiques"

 

Infinité "la plus petite"

On compte des objets-NOMBRES

 

Quantité de nombres rationnels.

 

C'est d'ailleurs la même quantité pour les entiers, les pairs, les impairs, les premiers, les carrés, les cubes …

 

Infinité plus grande

On compte des objets-ENSEMBLES

On peut dire famille d'ensembles pour faciliter la compréhension.

 

Quantité de tous les ensembles composés de nombres comme: {1}, {1, 2, 3}, {100, 1000, 1001}, {gogol} …

 

NB: chacune de ces accolades est un élément de l'ensemble

Idée: pour compter les nombres, il faut "l'infini"; pour compter les couples de nombres, il faut encore un infini; etc. Soit, une infinité d'infinis.

 

Ces deux quantités infinies sont notés Aleph 0 et Aleph 1.

Ce qu'on sait:

*    Ces deux infinis sont bien distincts.

*    Aleph 1 est le plus petit cardinal qui soit supérieur à Aleph 0.

*    Aleph0 est dénombrable;

*    Aleph 1 est non-dénombrable et c'est le plus petit de ce type.

Voir Ensemble finis, infinis, dénombrables

 

 

Un autre infini difficile à placer

 

Ensemble des nombres réels

On connait les nombres rationnels (fractions). Les nombres réels qui incluent les irrationnels et les transcendants sont beaucoup plus nombreux.

 

On dit que l'ensemble des réels à la puissance du continu.

On note leur quantité (cardinal) par la lettre c  (comme continu).

c =  card (R)

 

 

Ensemble des parties de N

La quantité des sous-ensembles de nombres qu'il est imaginable de former à partir de l'infinité des nombres rationnels est beaucoup plus grande que la quantité de nombres entiers.

 

Si l'ensemble compte n éléments, alors, l'ensemble des parties de cet ensemble compte 2n éléments.

Avec l'infinité des nombres entiers n = aleph 0 et l'ensemble des parties compte 2 puissance aleph 0 éléments.

 

 

Ce qu'on sait:

*    L'ensemble des nombres réels est équipotent ("identique") à celui des parties des nombres entiers: c est rigoureusement égal à  2 à la puissance aleph 0:  

*    Le cardinal c est supérieur ou égal à aleph 1;

*    Il est donc dans la zone des non-dénombrables (jaune).

 

 

 

Hypothèse du continu … on ne saura jamais!

 

L'hypothèse du continu énonce que:

 

En 1938, Kurt Gödel montre que cette hypothèse n'est pas réfutable dans ZFC

En 1963, Paul Cohen montre qu'on ne paut pas déduire cette propriété de la théorie des ensembles ZFC.

L'hypothèse du continu est donc indépendante des axiomes de ZFC ou encore indécidable dans cette théorie.

Cependant la recherche avance. Faut-il amender la théorie ZFC, modifier ou ajouter des axiomes?

 

Hypothèse du continu

 

Un point de situation

Tout d'abord que signifie ZFC?

C'est la théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix.

C'est une série d'axiomes utilisés pour bâtir la théorie des ensembles, un peu comme ceux d'Euclide pour établir la géométrie euclidienne.

Comme pour les géométries non-classiques, les mathématiciens cherchent d'autres pistes en théorie des ensembles.

En ce qui concerne notre propos, les chercheurs vont être confrontés à des ensembles exotiques et, c'est dans ce monde que se situe la démonstration de 2017.

 

 

 

Les nouveaux ensembles exotiques

Depuis le début du XXe siècle, les mathématiciens ont inventé des ensembles plus ou moins "tordus" pour tester leur théorie.

La dernière avancée dans ce domaine date de 1948. 

En 2017, après 70 ans sans nouvelles, deux mathématiciens démontrent que, parmi ces ensembles exotiques, deux sont de même taille, sans d'ailleurs qu'on n'en sache beaucoup plus sur les propriétés de ces ensembles.

 

Ce qu'on sait:

*    Le cardinal de tous ces nouveaux venus est supérieur ou égal à aleph 1;

*    On ne sait rien d'autres sur leur cardinalité.

Pour p et t

*    p  t         du fait de leur définition;

*        selon Hausdorff en 1934;

*    Si   alors p = t   selon Rothberger en 1948;

*    p = t          selon Malliaris et Shelah en 2017;

*    On ne sait pas si  p = t =  . Sil ne l'était pas,  p et t serait en position aleph 2 au moins.

 

 

Vers les ensembles exotiques

Ensemble fini de nombres

infini de nombres

{12, 13, 25, 56}

{53, 54, 55, 56, …}

Famille finie d'ensembles finis d'ensembles finis ou infinis

Famille infinie

{{1, 2}, {0,10, 100}, {25, 26, 106}}

{{1, 2}, {0, 1, 2, 3 …}, {2, 3, 5, 7, 11 …}}

{{0}, {1}, {2}, {3} …}

Famille d'ensembles disjoints

(aucun élément en commun)

{{0}, {1}, {2}, {3} …}

 

Cet ensemble est infini de cardinal dénombrable   comme le sont toutes les familles d'ensembles disjoints.

 Famille de tous les ensembles finis

 (Les ensembles, pris deux par deux, sont presque disjoints: ils ont quelques éléments en commun ou aucun)

{{2, 4, 6, 8, 10}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 19}, {1, 3, 5, 6 } …}

 

Cet ensemble est encore dénombrable.

Comment "en avoir plus" et dépasser le dénombrable?

C'est faisable, et ils sont bien non-dénombrables. 

Famille en tour ou en chaine

(Parmi les ensembles, pris deux par deux, l'un est contenu dans l'autre)

E = {tous les entiers, tous ceux >0, tous ceux >1, …}

 

Cet ensemble est également dénombrable.

Mais, là aussi, on peut en trouver qui deviennent non-dénombrables.

Famille presque en tour ou en chaine

(quelques uns en nombre finis ne sont pas contenu dans l'autre)

 

Nous y voilà!

Ensemble P: en prenant une quantité finie d'ensembles, ceux-ci ont une intersection infinie.

Ensemble T: pour tout couple d'ensembles, l'un d'eux est contenu dans l'autre.

 

Les cardinaux de ces ensembles sont notés p et t en lettre gothiques.

 

Cette explication nous donne une petite idée de ces deux ensembles exotiques P et T.

Ci-dessous définition trouvées sur Internet.

 

Leur définition précise (pour en avoir une idée)

 est la taille minimale d'une collection de sous-ensembles infinis des entiers naturels qui vérifient une propriété «d'intersection finie forte» et n'ont pas de «pseudo-intersections», ce qui signifie que les sous-ensembles de recouvrent l'un l'autre d'une certaine façon.

 est appelé le «nombre de la tour» ; c'est la taille minimum d'une collection de sous-ensembles des entiers naturels qui est ordonnée d'une façon appelée "inclusion presque inverse" et n'a pas de pseudo-intersection.

Définitions relevées dans Pour la Science

p et t son habituellement écrite en gothique.

 

 

Définitions relevées dans Quanta magazine

 

 

La démonstration de Malliaris et Shelah

 

Ce qui a été prouvé

 

Les ensembles t et p ont même cardinal.

 

Mais, l'égalité avec le cardinal des réels n'est pas prouvée.

 

They prove the equality between two cardinal characteristics of the continuum, p and t, which are greater than the smallest infinite cardinal and less than or equal to the cardinality of the continuum.

 

 

Théorie des modèles

Il s'agit d'un moyen de classer les théories mathématiques selon leur complexité (ordre de Keisler introduit en 1967 par Jerome Keisler).

 

Dans les années 80, Saharon Shelah montre qu’il existe des paliers dans la complexité. En 2011, Maryanthe Malliaris rejoint Shelah.

 

Elles réalisent que leurs travaux sur la complexité sont équivalents au problème p et t et, elles  prouvent que ces deux là sont de même taille.

 

 

 

HISTORIQUE

Georg Cantor

1878

*      Conjecture: l'hypothèse du continu est vraie: Card (R) = 1

*      La puissance qui vient immédiatement après celle de  est celle de .

Il y a  puis

*      Cantor a soutenu cette hypothèse toute sa vie.

David Hilbert

1900

*      L'hypothèse du continu, est la première des 23 problèmes présentés par le mathématicien David Hilbert en 1900.

Kurt Gödel

1931

 

*      Il formule  son théorème sur l'incomplétude:

Il se peut que dans certains cas, on puisse démontrer une chose et son contraire.

*        En 1940, il prouve que l’hypothèse du continu ne pouvait pas être réfutée en utilisant les axiomes classiques des mathématiques.

Paul Cohen

1963

*      Démontre l'indécidabilité de l'hypothèse du continu. Si la théorie des ensembles n'est pas contradictoire:

*    On peut faire cette hypothèse,

*    Comme la nier.

*      Il utilise la méthode de démonstration dite du forcing, inventée par lui.

*      Ses travaux lui valent la médaille Fields en 1966.

Maryanthe Malliaris et Saharon Shelah

2017

Ces deus mathématiciens démontrent que: deux infinis particuliers (p et t) sont en fait de même taille.

Preuve en 2016 (Journal of the American Mathematical Society), mais il sont récompensés en juillet 2017 (médaille Hausdorff).

 

Maryanthe Malliari:’université de Chicago,

 

Saharon Shela: université hébraïque de Jérusalem et ’université de Rutgers.

Voir Infini – Historique

 

 

 

Suite

*    Aleph

Voir

*    InfiniIndex

*    Cardinal

*    Compter les ensembles

*    Compter les nombres

Sites

*      Deux infinis différents sont en fait de même taille – Kevin Hartnett – Pour la Science – 23/10/2017

*      Mathematicians Measure Infinities and Find They’re Equal – Kevin Hartnett – Quanta magazine 

*      What are the two infinite sets recently proved by Malliaris and ShelahAlon Amit

*    Model theory and the cardinal numbers p and t – Justin Tatch Moore – Cornell University

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Denombra.htm