NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Suite de Farey – Approche

>>> Liste jusqu'à l'ordre 10

>>> Propriétés

>>> Arbre de Stern-Brocot

>>> Évolution des fractions de Farey

>>> Encadrement par une suite de Farey

>>> Farey & fraction continue

 

 

 

 

 

 

Suites de FAREY

et Arbre de Stern-Brocot

 

C'est le biologiste Farey qui classe les fractions de dénominateur inférieur à un nombre donné par ordre croissant de valeur:

0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1

En complétant les fractions pour arriver à 1/0, on obtient la suite de Stern-Brocot:                  0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1, 3/2, 2/1, 3/1, 1/0

 

*    Elles sont utilisées, comme les fractions continues, pour donner une approximation des nombres décimaux

*    Elles font l'objet d'une représentation graphique

par des cercles de taille variable et, en nombre infini  du type fractal.

 

 

 

  

SUITE de FAREY – Approche

À l'ordre 1,
il y a deux fractions de Farey.
Elles ont toutes les deux le chiffre 1 pour dénominateur.

0 / 1 et 1 / 1

À l'ordre 2,
il faut y ajouter ½. Seule fraction nouvelle ayant 2 comme dénominateur.

0 / 1;  1 / 2; 1 / 1

À l'ordre 3,
on va ajouter 1/3 et 2/3.

 

Ce sont toutes les fractions simplifiées au maximum ayant un dénominateur inférieur à l'ordre et classées par ordre croissant.

Suite de Farey à l'ordre 3

 

0 / 1

1 / 3

1 / 2

2 / 3

1 / 1

 

Remarquez que les numérateurs comme des dénominateurs sont la somme des deux du dessus. 

Voir Totient d'Euler 

 

 

Liste jusqu'à l'ordre 10

 

Chaque colonne est une suite de Farey d'ordre n.

                    En F3, on retrouve notre exemple de la suite de Farey d'ordre 3.

 

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

Valeurs

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/10

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

1/9

1/9

0,111111111

 

 

 

 

 

 

 

1/8

1/8

1/8

0,125

 

 

 

 

 

 

1/7

1/7

1/7

1/7

0,142857143

 

 

 

 

 

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

0,166666667

 

 

 

 

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5

0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

2/9

2/9

0,222222222

 

 

 

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

1/4

0,25

 

 

 

 

 

 

2/7

2/7

2/7

2/7

0,285714286

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3/10

0,3

 

 

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

0,333333333

 

 

 

 

 

 

 

3/8

3/8

3/8

0,375

 

 

 

 

2/5

2/5

2/5

2/5

2/5

2/5

0,4

 

 

 

 

 

 

3/7

3/7

3/7

3/7

0,428571429

 

 

 

 

 

 

 

 

4/9

4/9

0,444444444

 

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

5/9

5/9

0,555555556

 

 

 

 

 

 

4/7

4/7

4/7

4/7

0,571428571

 

 

 

 

3/5

3/5

3/5

3/5

3/5

3/5

0,6

 

 

 

 

 

 

 

5/8

5/8

5/8

0,625

 

 

2/3

2/3

2/3

2/3

2/3

2/3

2/3

2/3

0,666666667

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/10

0,7

 

 

 

 

 

 

5/7

5/7

5/7

5/7

0,714285714

 

 

 

3/4

3/4

3/4

3/4

3/4

3/4

3/4

0,75

 

 

 

 

 

 

 

 

7/9

7/9

0,777777778

 

 

 

 

4/5

4/5

4/5

4/5

4/5

4/5

0,8

 

 

 

 

 

5/6

5/6

5/6

5/6

5/6

0,833333333

 

 

 

 

 

 

6/7

6/7

6/7

6/7

0,857142857

 

 

 

 

 

 

 

7/8

7/8

7/8

0,875

 

 

 

 

 

 

 

 

8/9

8/9

0,888888889

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9/10

0,9

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1/1

1

   

 

 

 

 

Propriétés

 

Fractions nouvelles

 

À l'ordre n,

les fractions nouvelles ont toutes

n pour dénominateur.

 

 

Exemple

 

Pour 3, on voit arriver les seules fractions: 1/3 et 2/3 

 

 

Une fraction nouvelle est liée à ses deux voisines par addition des numérateurs et des dénominateurs

 

Avant

Nouvelle

Après

a

c

a + b

c + d

b

d

 

Construction

 

On peut donc construire les suites de Farey de cette manière:
Deux fractions: a / b et a' / b'
La petite nouvelle à l'ordre suivant sera:
    (a + a') / (b + b')

 

 

Exemples

 

        1 / 2    

nouvelle

1 / 1

 

N = 1 + 1 = 2

D = 2 + 1 + 3

 

 

2 / 3

 

 

        2 / 3    

nouvelle

3 / 4

 

N = 2 + 3 = 5

D = 3 + 4 = 7

 

 

5 / 7

 

 

 

Termes successifs

 

Si a / b et a' / b'

sont deux termes consécutifs d'une suite de Farey

Alors:

ba' – ab' = 1

 

 

Dit plus simplement:

 

Les produits en croix donnent deux nombres consécutifs 1/2 et 3/5
donnent 1 x 5 = 5 et 2 x 3 = 6.

 

Écart entre termes successifs

 

a' / b' – a / b = (ba' – ab') / bb' = 1 / bb'

 

L'écart est égal à l'inverse du

produit des dénominateurs

a' / b' – a / b = 1 / bb'

 

 

Exemples

 

1 / 9 =

0,1111

0,125 – 0,1111

1 / 8 =

0,125

= 0,013888

1 / 8 – 1 / 9 =

1/ (8 x 9) = 1/ 72 =

= 0,013888

 

 

 

 

Arbre de Stern-Brocot (Farey Tree)

 

La partie gauche représente l'arbre de Farey et la totalité du graphe, l'arbre de Stern-Brocot.

 

 

 

L'arbre se poursuit sans fin. Il produit des fractions irréductibles qui représentent tous les nombres rationnels.

 

Voir Diagonale de Cantor / Phyllotaxie géométrique

 

 

 

  

Évolution des fractions de Farey

 

On prend toutes les fractions de l'ordre 10, soit 31 fractions.
On calcule l'écart entre la valeur de la fraction et la valeur dans le cas d'une progression régulière (linéaire).

Cet écart a été dilaté par 10. La courbe est symétrique. La moyenne de l'écart est positif (0,1290).

 

Illustration

 

La suite de Farey (en jaune) fluctue (légérement) autour de la progression linéaire (en noir)

Cet écart (dilaté par 10) est montré sur la courbe en rose.

 

 

Encadrement par une suite de Farey

 

Approche

 

Comment placer racine de 2 sur 2 dans la suite de Farey d'ordre 4 , par exemple,  et ainsi obtenir deux fractions encadrant cette valeur?

 

 

 

 

 

Avec la suite de Farey d'ordre 4

 

 

 

Précision

 

Comment encadrer Pi / 4 avec une précision donnée?

 

 

Algorithme

1) Premières fractions de Farey en min max et calcul de la fraction intermédiaire par ajout des numérateurs et des dénominateurs; elle placée dans la colonne "nouvelle".

2) Placer oui ou non dans les colonnes. Le oui indique que la valeur à approximée est entre la nouvelle et l'ancienne (ligne 1: 1/2 < 0,785… < 1/1)

3) Placer les nouvelles fractions en min et max et recalculer la fraction intermédiaire (ligne 2: 1/2 et 1/1 donne (1+1) / (2+1) = 2/3.

 

Ordre

Min

 

Nouvelle

 

Max

Précision

F2

0/1

Non

1/2 = 0,5

Oui

1/1 = 1

1/2 = 0,5

F3

1/2 = 0,5

Non

2/3 = 0,66..

Oui

1/1 = 1

1/6 = 0,166...

F4

2/3 = 0,66…

Non

3/4 = 0,75

Oui

1/1 = 1

1/12 = 0,0833…

F5

3/4 = 0,75

Oui

4/5 = 0,8

Non

1/1 = 1

1/20 = 0,05

F6

3/4 = 0,75

Non

7/9 = 0,777…

Oui

4/5 = 0,8

1/30 = 0,033…

F7

7/9 = 0,777…

Oui

11/14 = 0,785 7...

Non

4/5 = 0,8

1/42 = 0,023…

F8

7/9 = 0,777…

Non

18/23 = 0,782 6...

Oui

11/14 = 0,785 7...

1/56 = 0,017…

F9

18/23 = 0,782 6...

Non

29/37 = 0,783 7...

Oui

11/14 = 0,785 7...

1/72 = 0,013

F10

29/37 = 0,783 7…

Non

40/51 = 0,784 3…

Oui

11/14 = 0,785 7...

1/90 = 0,011…

 

À ce niveau de calcul nous obtenons:

 

 

40/51

Pi/4

11/14

Valeurs

0,78431373…

0,78539816…

0,78571429…

Écart

-0,00108444…

 

0,00031612…

Pour mille

-1,38

 

0,40

 

Note: la fraction en rouge 11/14 donne, en multipliant par 4: 

 

 

 

 

Farey & fractions continues, calendriers

 

Une réduite  est une meilleure approximation que celle obtenue par une suite de Farey.

Néanmoins les suites de Farey sont utilisées notamment, dans les calculs des calendriers.

 

Voir

*    Lunaison

*    Année

*    Calendrier Luni-Solaire

*    Année et Lune

29,530

365, 242

12,368

354, 367

 

Ces rubriques donnent les fractions continues et les fractions de Farey pour toutes ces valeurs du cycle des astres.

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Voir en-tête pour autres suites

*    Suite de Farey et Cercle de Ford avec démonstration

Voir

*    Calcul mental

*    Conjecture de Syracuse

*    Énigmes en séquence

*    Fonction zêta

*    Fonctions génératrices

*    Fractals

*    Fraction - Glossaire

*    Fraction continue

*    Fraction particulière

*    Fractions pour "e"

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*    Suite de la copie augmentée

*    Suite logistique

*    Suite qui rend fou

*    Suites fractales

*    Test du QI

*    Théorie des nombresIndex

*    Triangle de Leibniz

Sites

*    Suite de Farey (PPT) – Université d'Orléans

*    La suite de Stern-Brocot, sœur de Fibonacci – jean-Paul Delayaye – Pour la Science – n°420 – octobre 2012

*    Arbre de Stern-Brocot – Jeux et Mathématiques -  JM. Davalan

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