NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Général

Partition en CUBES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Nombres en puissance

 

Puissance

S'y retrouver

Partition cubes

Taxicab

 

Sommaire de cette page

>>> Les nombres taxicab connus

>>> Histoire ou légende ?

>>> Autour des taxicab

>>> Presque Fermat (à 1 près)

>>> Roman indien

 

 

 

 

Nombres TAXICAB

Somme multiples de cubes

 

http://yoda.guillaume.pagesperso-orange.fr/N1000/N1700_fichiers/image013.jpgPourquoi taxicab? Une anecdote (ou une légende) entre Hardy et Ramanujan. Une sorte de jeu entre mathématiciens habitués à jongler avec les nombres.

 

Quels sont les plus petits nombres qui sont n fois somme de cubes?

 

 

Les nombres taxicab connus

 

 

Nombres taxicab d'ordre n

 


Ta(n) = le plus petit nombre qui est somme de n fois deux cubes.

 

Ta(6)

24 153 319 581 254 312 065 344

=     5821623 + 289062063

=   30641733 + 288948033

=   85192813 + 286574873

= 162180683 + 270932083

= 174924963 + 265904523

= 182899223 + 262243663

 

 Ta(7) n'est pas encore connu.

 

Somme de nombre relatifs: exemples

  91 = 43 + 33 = 63 – 53  

189 = 43 + 53 = 63 – 33  

 

 

 

HISTOIRE ou LÉGENDE ?

 

Le mathématicien anglais G.H. Hardy  visitait le fameux mathématicien indien Srinivasa Ramanujan à l'hôpital.

 

*        Mon taxi avait vraiment un numéro quelconque: "1 729", dit le premier.

*        Mais, pas du tout, répondit Ramanujan, c'est le plus petit nombre exprimable par la somme de deux cubes de deux manières différentes ".

 

Depuis, de tels nombres sont généralisés et baptisés Taxicab.

 

Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) qui connaissant cette propriété. Est-ce que Ramanujan en avait connaissance?

 

English

The famous anecdote is that during one visit to Ramanujan in the hospital at Putney, Hardy mentioned that the number of the taxi cab that had brought him was 1729, which, as numbers go, Hardy thought was "rather a dull one".  At this, Ramanujan perked up, and said "No, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as a sum of two cubes in two different ways."

 

 

Autour des Taxicab

 

Quelques doubles sommes de cubes

       Frenicle 1729

 

13 + 123 =

93 + 103 =

1 729

23 + 163 =

93 + 153 =

4 104

23 + 343 =

153 + 333 =

39 312

103 + 273 =

193 + 243 =

20 683

 

      Autres

23 + 243 =

183 + 203 =

13 832

Avec des nombre négatifs 91 devient le plus petit:

91 = 63 + (–5)3 = 43 + 33

 

Suite Somme de cubes deux fois

 

Puissance 4?

*         Hardy a demandé quel est le nombre le plus petit somme deux fois de deux nombres à la puissance quatrième.

*         Ramanujan répond qu'il devait être très grand, car il ne le connaissait pas.

635 378 657

=   594 + 1584

= 1334 + 1344

 

Nombre découvert par Euler en 1772

 

 

 

Presque Fermat (à 1 près)

Presque Fermat

 

Xn + Yn = Zn

93 + 103 = 123 + 1

Manqué d'une unité !

 

Voir Fermat-Wiles

 

 

Combinaison

 

63 +   83 =   93 – 1

93 + 103 = 123 – 1

 

Somme

63 + 83 + 103 = 123

 

216 + 512 + 1000 = 1728

 

Division des nombres par 2

 

33 + 43 + 53 = 63

 

27 + 64 + 125 = 216

Voir Pépites

 

 

Ramanujan trouva d'autres nombres à 1 près

 

13 + 23 = 23 + 1  = 9  (trivial)

63 + 83 + = 93 – 1  = 728

1353 + 1383 = 1723 – 1 = 5 088 447

7913 + 8123 = 1 0103 – 1 = 1 030 300 999

11 1613 + 11 4683 = 14 2583 + 1 = 2 898 516 861 513

65 6013 + 67 4023 – 83 8023 + 1 = 588 522 607 645 609

 

Ces trouvailles découlent d'identités "stupéfiantes"

Si:

 

 

 

Alors


 

Suite en Sequences Related to the Work of Srinivasa Ramanujan  

 

Roman indien

Je me rappelle encore le problème qui lui donnait du fil à retordre. Des années auparavant, moi aussi, à l'école, j'avais eu à résoudre la même équation:

x3 + y3 = l3 + m3 = 1 729

(…) Le plus petit nombre que l'on peut poser comme la somme de deux cubes, de deux manières différentes.

x= 1; y = 12; l = 9 et m = 10.

Le premier à avoir résolu ce problème fut Ramanujan, un mathématicien d'Inde du sud. C'était un génie qui trouva la solution à l'âge de vingt-neuf ans sur son lit de mort.

Page 183 du roman Chef de Jaspreet Singh – Pocket – 2011

 

 

 

 

Suite

*           Nombres de Carol et nombres de Kynea – Développements et tables

*         Nombres selon leur type

*         Nombres =  somme multiples de puissances  (Orientation parmi toutes les formes de sommes de puissances)

Voir

*         Nombre et leurs puissances (parité, divisibilité par 6)

*         Nombre premiers

DicoNombre

*         Nombre    728

*         Nombre 1 728

*         Nombre 1 729

Livre

*         Les nombres taxicabs – Pour la Science – Avril 2008 – Christian Boyer

Sites

*         OEIS A051028Ramanujan's a-series: expansion of (1+53x+9x^2)/(1-82x-82x^2+x^3).
Et suite en: A51029 et A51030

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Taxicab.htm