NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITIONS

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Partition

 

Calculs

 

Approche

En bref et Index

S'y retrouver

Formules de récurrence

Quantité de partitions

Partielles (1/2)     (2 / 2)

Fonction génératrice

P(1) à P(6)

P(7) à P15)

K-Bonacci

Digi-P

Diff-P

Bi-P

Tri-P

Pri-Bi-P

Pri-Tri-P

Partitions palindromiques

Partitions non-croisées

 

Sommaire de cette page

>>> Partition

>>> S'y retrouver

>>> Somme de puissances – Tous les types

>>> Type de problèmes et liens – Index

 

 

 

 

PARTITIONS particulières

Comment s'y retrouver?

Décomposition particulières d'un nombre en sommes de nombres.

 

*      Base des Carrés magiques

*      Vers la Conjecture de Goldbach

*      Partitions – Fonctions génératrices

*    Partitions – Théorie

 

Aller directement à l'index >>>

 

Exemple de curiosités: cubes et chiffres

Voir Nombres et chiffres en puissance

 

 

  

PARTITION – Principe

 

*           On décompose un nombre n en sommes.

*           On dénombre la quantité possible de telles sommes.

*           On peut aussi trouver la quantité de sommes à deux termes: bipartition; ou à trois termes: tripartition; etc.

 

Voir Partitions – En bref

 

 

 

S'Y RETROUVER

 

Les partitions 

*           Il existe une grande variété de problèmes concernant les partitions.

*           On a vu la partition en somme d'un nombre donné de termes: comme la tripartition.

 

*           On peut s'intéresser à chaque terme en tant que premier, puissance, ou différent des autres, ou même formé de tous les chiffres

 

ENTIERS - Partitions classiques

 

 

ENTIERS - Partitions particulières

 

 

 

 

PUISSANCES

 

N est une puissance somme de puissances

Sommes de puissance

Combien de termes

Combien de fois

 

 

*           La quantité de questions posées avec les puissances est telle qu'une nomenclature s'impose.
Je propose la suivante qui est inspirée du site:

Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

par Jean-Charles Meyrignac

 

Voir Puissance concaténation de puissances

 

 

SOMME DE PUISSANCES – Tous les types

 

NOMENCLATURE des problèmes posés avec des sommes de puissances

 

Notations

*           Prenons 25: C'est le premier carré, somme de deux carrés (non nuls)

25 = 5² = 3² + 4²

 

*           On note cette égalité avec trois nombres: (2 / 1, 2)

* 2 : la puissance, indiquée en tête

* 1 : la quantité de termes à gauche du signe égal

* 2 : celle à droite

 

*           On sous-entend souvent qu'il s'agit de la plus petite égalité possible.
On peut ajouter un nombre pour donner la quantité de sommes non triviales

4 225 = 65² =  16² + 63² = 25 + 60² = 33² + 56² = 39² + 52²

=> (2 / 1, 2 / 4)

 

*           De façon générique on note:

N => (p / n, m / q)

 

 

 

Exemples de notations

 

*           Selon les valeurs ou contraintes imposées à p, n, m, q, on distingue divers types de problèmes avec les puissances.

 

Par exemple: Les triplets de Pythagore

p = 2, n = 1, m = 2

(2 / 1, 2 / -)

x 2 = y 2 + z 2

 

Autre exemple: Le théorème de Fermat-Wiles dit que:

Pour p > 2, n = 1 et m = 2 est impossible

(p / 1, 2 / -)

x p = y p + z p

 

 

 

Type de problèmes avec les puissances

 

p = puissance, valeur de l'exposant

n = quantité de termes à gauche

m = quantité à droite

q = quantité de sommes non triviales

Note: pour les partitions classiques voir l'index

 

p

n

m

q

Formulation

Nom

Liens

 

 

 

 

 

*  Carrés et somme de nombres consécutifs

>>>

1

n

-

q

N = a1 +…+ an

*  n-Partitions

>>>

 

 

 

 

 

 

 

2

0

2

q

N = a12 + a22

*  Somme de 2 carrés

>>>

 

 

 

 

N = a12 - a22

*  Différence de 2 carrés.
Curiosités

>>>

>>>

2

1

2

q

N = a12  = b12 + b22

*  Triplets de Pythagore

>>>

2

0

3

q

N = a12 + a22 + a32

*  Somme de 3 carrés

>>>

2

1

n

1

N = a12 =  b13 + b23 + …

*  Carré somme de cubes

>>>

2

0

4

N = a12 + … + a42

*  Théorème: Tous les nombres sont somme de 4 carrés

>>>

2

N = n² + (n+1)² + …

*  Somme de k carrés de nombres consécutifs à partir de n

>>>

 

 

 

 

 

 

 

3

0

2

q

N = a13 + a23

*  Somme de 2 cubes

>>>

3

0

3

q

N = a13 + a23 + a33

*  Somme de 3 cubes

>>>

3

1

3

q

N = a13 =  b13 + b23 + b33

*  Cube, somme de 3 cubes

>>>

3

N = n² + (n+1)² + …

*  Somme de k cubes de nombres consécutifs à partir de n

>>>

 

 

 

 

 

 

 

p

n

0

-

N = a1p +…+ anp

N

*  Partition en puissances: trouver le nombre minimum de termes valable pour tous les nombres: Waring

>>>

p

n

0

-

N = a1p +…+ anp

N min

*  Idem, mais pour tous les nombres supérieurs à N minimum

 

p

n

0

q

N = a1p +…+ anp

avec q max

*  Nombre multi somme de puissances

>>>

p

n

0

q

N = a1p +…+ anp

avec p = 1 à q

*  Sommes multi puissantes

>>>

 

 

 

 

 

 

 

p

n

m

-

N = a1p +…+ anp

=  b1p +…+ bmp

*  Égalité de sommes de puissances

 

p

1

2

-

N = x p = y p + z p

*  Théorème de Fermat-Wiles: Aucune solution pour p > 2

>>>

p

n

n

-

 

*  Même nombre de termes ajoutés à une certaine puissance

 

p

p

p

-

N = a1p +…+ app

=  b1p +…+ bpp

*  Nombre de termes égal à la valeur de la puissance

 

p

p+1

p+1

-

 

*  Un terme de plus que la valeur de la puissance

 

 

 

 

Retour

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*    Totient d'Euler

Sites

Sites sur les sommes de puissances

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net – Tableaux récapitulatifs des connaissances

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Jean-Charles Mérignac

*    Equal Sums Of Like Powers Chen Shuwen 

*    Diophantine Equation – 4th Powers. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

*    Sum of Fourth Powers – Tito Piezas

*    A Collection of Algebraic Identities

*    Equal Sums of Like Powers and the Prouhet-Tarry-Escott (PTE) Problem – Tito Piezas

*    A Survey of Equal Sums of Like Powers – By L. J. Lander, T. R. Parkin and J. L. Selfridge

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