NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITION

 

Débutants

Addition

Somme d'entiers

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

PARTITION

 

Introduction

Digi partition

Diff. Partition

S'y retrouver

BI partition

TRI partition

Quantité de partitions

Prim BI partition

Prim TRI partition

 

Sommaire de cette page

>>> Partition

>>> S'y retrouver

>>> Somme de puissances -tous les types

>>> Type de problèmes et liens – Index

 

 

 

 

PARTITION

Comment s'y retrouver?

 

 

Décomposition d'un nombre en sommes de nombres.

 

*    Base des Carrés magiques

*    Vers la Conjecture de Goldbach

*    Partitions – Fonctions génératrices

*    Partitions – Théorie

 

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PARTITION – Principe

 

*           On décompose un nombre n en sommes.

*           On dénombre la quantité possible de telles sommes

*           On peut aussi trouver la quantité de sommes à deux termes: bipartition; ou à trois termes: tripartition; etc.

 

 

 

 

S'Y RETROUVER

 

Les partitions 

*           Il existe une grande variété de problèmes concernant les partitions.

*           On a vu la partition en somme d'un nombre donné de termes: comme la tripartition.

 

*           On peut s'intéresser à chaque terme en tant que premier, puissance, ou différent des autres, ou même formé de tous les chiffres

 

ENTIERS - Partitions classiques

 

Voir

 

ENTIERS - Partitions particulières

 

Voir

 

 

 

PUISSANCES

 

Voir

N est une puissance somme de puissances

Sommes de puissance

Combien de termes

Combien de fois

 

 

*           La quantité de questions posées avec les puissances est telle qu'une nomenclature s'impose.
Je propose la suivante qui est inspirée du site:

Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

par Jean-Charles Meyrignac

 

Voir Puissance concaténation de puissances

 

 

SOMME DE PUISSANCES – Tous les types

 

NOMENCLATURE des problèmes posés avec des sommes de puissances

 

Notations

 

*           Prenons 25: C'est le premier carré, somme de deux carrés (non nuls)

25 = 5² = 3² + 4²

 

*           On note cette égalité avec trois nombres: (2 / 1, 2)

* 2 : la puissance, indiquée en tête

* 1 : la quantité de termes à gauche du signe égal

* 2 : celle à droite

 

*           On sous-entend souvent qu'il s'agit de la plus petite égalité possible.
On peut ajouter un nombre pour donner la quantité de sommes non triviales

4 225 = 65² =  16² + 63² = 25 + 60² = 33² + 56² = 39² + 52²

=> (2 / 1, 2 / 4)

 

*           De façon générique on note:

N => (p / n, m / q)

 

 

 

Exemples de notations

 

*           Selon les valeurs ou contraintes imposées à p, n, m, q, on distingue divers types de problèmes avec les puissances.

 

Par exemple: Les triplets de Pythagore

p = 2, n = 1, m = 2

(2 / 1, 2 / -)

x 2 = y 2 + z 2

 

Autre exemple: Le théorème de Fermat-Wiles dit que:

Pour p > 2, n = 1 et m = 2 est impossible

(p / 1, 2 / -)

x p = y p + z p

 

 

 

 

 

Type de problèmes avec les puissances

 

 

p = puissance, valeur de l'exposant

n = quantité de termes à gauche

m = quantité à droite

q = quantité de sommes non triviales

 

p

n

m

q

Formulation

Nom

Liens

 

 

 

 

 

*  Carrés et somme de nombres consécutifs

>>>

1

n

-

q

N = a1 +…+ an

*  n-Partitions

>>>

 

 

 

 

 

 

 

2

0

2

q

N = a12 + a22

*  Somme de 2 carrés

>>>

 

 

 

 

N = a12 - a22

*  Différence de 2 carrés.
Curiosités

>>>

>>>

2

1

2

q

N = a12  = b12 + b22

*  Triplets de Pythagore

>>>

2

0

3

q

N = a12 + a22 + a32

*  Somme de 3 carrés

>>>

2

1

n

1

N = a12 =  b13 + b23 + …

*  Carré somme de cubes

>>>

2

0

4

N = a12 + … + a42

*  Théorème: Tous les nombres sont somme de 4 carrés

>>>

2

N = n² + (n+1)² + …

*  Somme de k carrés de nombres consécutifs à partir de n

>>>

 

 

 

 

 

 

 

3

0

2

q

N = a13 + a23

*  Somme de 2 cubes

>>>

3

0

3

q

N = a13 + a23 + a33

*  Somme de 3 cubes

>>>

3

1

3

q

N = a13 =  b13 + b23 + b33

*  Cube, somme de 3 cubes

>>>

3

N = n² + (n+1)² + …

*  Somme de k cubes de nombres consécutifs à partir de n

>>>

 

 

 

 

 

 

 

p

n

0

-

N = a1p +…+ anp

N

*  Partition en puissances: trouver le nombre minimum de termes valable pour tous les nombres: Waring

>>>

p

n

0

-

N = a1p +…+ anp

N min

*  Idem, mais pour tous les nombres supérieurs à N minimum

 

p

n

0

q

N = a1p +…+ anp

avec q max

*  Nombre multi somme de puissances

>>>

p

n

0

q

N = a1p +…+ anp

avec p = 1 à q

*  Sommes multi puissantes

>>>

 

 

 

 

 

 

 

p

n

m

-

N = a1p +…+ anp

=  b1p +…+ bmp

*  Égalité de sommes de puissances

 

p

1

2

-

N = x p = y p + z p

*  Théorème de Fermat-Wiles: Aucune solution pour p > 2

>>>

p

n

n

-

 

*  Même nombre de termes ajoutés à une certaine puissance

 

p

p

p

-

N = a1p +…+ app

=  b1p +…+ bpp

*  Nombre de termes égal à la valeur de la puissance

 

p

p+1

p+1

-

 

*  Un terme de plus que la valeur de la puissance

 

 

 

 

Suite

*   Quantité de partitions

*    Initiation à la théorie des nombres – Partitions

*    S'y retrouver

*    Somme de puissances en couple

*    Nombres doublement carré

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Multi-somme de puissances

*    Nombres partitionnés avec des uns

*    Totient d'Euler

Sites

Sites sur les sommes de puissances

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net – Tableaux récapitulatifs des connaissances

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers  - Jean-Charles Mérignac

*    Equal Sums Of Like Powers Chen Shuwen 

*    Diophantine Equation – 4th Powers. From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

*    Sum of Fourth Powers – Tito Piezas

*    A Collection of Algebraic Identities

*    Equal Sums of Like Powers and the Prouhet-Tarry-Escott (PTE) Problem – Tito Piezas

*    A Survey of Equal Sums of Like Powers – By L. J. Lander, T. R. Parkin and J. L. Selfridge

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