NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 26/11/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Débutants Addition	PARTITION				Glossaire Addition
Rubrique PARTITION	Entiers & Carrés	Cubes		Puissances 4...n
	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange		Somme de n puissances Théorème de Waring
	1 à 100 en 4 carrés
	Sommes de cubes et autres puissances
	Comprendre les sommes de carrés
	Sommaire de cette page SOMMES DE PUISSANCES >>> 4 >>> 5 >>> 6 >>> 7 >>> 8

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PARTITION des NOMBRES

en SOMME de PUISSANCES

Cas des puissances 4 à 8

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

SOMME DE PUISSANCES 4
19 P4	Tout entier suffisamment grand est décomposable en somme d'au plus 19 puissances quatrièmes.	Constaté, pas démontré. La démonstration existante donne 35 termes. Le plus petit qui nécessite les 19 termes: 79 = 4 x 2^4 + 15 x 1^4 Autres 239, 559
16 P4	Tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 16 puissances quatrièmes. Davenport 1939
5 P4	625 est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4. 50 625 est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4 distinctes.	5^4 = 625 = 2^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 + 4^4 15^4 = 50 625 = 4^4 + 6^4 + 8^4 + 9^4 + 14^4
4 P4	Les deux plus petites solutions =>	353^4 = 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 651^4 = 240^4 + 340^4 + 430^4 + 599^4
3 P4	6 578 est le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de 2 puissances 4.	6 578 = 1^4 + 2^4 + 9^4 = 3^4 + 7^4 + 8^4
2 P4	17 est le plus petit entier décomposable en somme de 2 puissances 4.	17 = 1^4 + 2^4

PUISSANCE 4 = SOMME DE PUISSANCES 4
Voici un contre exemple à la conjecture d'Euler. Il existe une infinité de solutions. Mais la deuxième comporte déjà des nombres de 70 chiffres. On peut écrire: x^4 + y^4 = z^4 de la manière suivante: (x/z)^4 + (y/z)^4 = 1 soit s^4 + t^4 = 1 Alors que la courbe s^4 + t^4 = 1 ne passe jamais par une paire de coordonnées rationnelles (Fermat), la courbe s^4 + t^4 + u^4 = 1 passe par une infinité de points dont les coordonnées sont rationnelles (infirme la conjecture d'Euler).	La somme des trois premiers est égale au quatrième: 95 800^4 = 84 229 075 969 600 000 000 217 519^4 = 2 238 663 363 846 304 960 321 414 560^4 = 29 535 857 400 192 040 960 000 422 560^4 = 31 858 749 840 007 945 920 321 2 682 440^4 = 51 774 995 082 902 409 832 960 000 15 365 639^4 = 55 744 561 387 133 523 724 209 779 041 18 796 760^4 = 124 833 740 909 952 854 954 805 760 000 20 615 673^4 = 180 630 077 292 169 281 088 848 499 041 Ce deuxième cas a été trouvé par Noam Elkies en 1988

CURIOSITÉS
Distincts	5 134 210 est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de puissances quatrièmes distinctes
2 fois P4	La plus petite solution trouvée par Euler en 1772.	635 318 657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4 3 262 811 042 = 7^4 + 239^4 = 157^4 + 227^4

Voir Ramanujan-Hardy

SOMME DE PUISSANCES 5
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 37 puissances cinquièmes
Somme de puissance 5 donnant une puissance 5	SIX puissances 5 248 832 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 6 puissances 5. CINQ puissances 5 5 625 est la plus petite décomposition en 5 puissances 5. QUATRE puissances 5 Premier contre exemple à la conjecture d'Euler. Trouvé par L.J. Lander & T.R. Parkin en 1966. Voir Nombre 144	248 832 = 12^5 = 4^5 + 5^5 + 6^5 + 7^5 + 9^5 + 11^5 5 625 = 75^5 = 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 144^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 61 917 364 224 = 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893
Somme de puissances de 5 distinctes	Ce nombre est le plus grand nombre qui ne peut pas s'exprimer comme somme de puissances cinquièmes distinctes.	67 898 771
Puissance 5 particulières	Ce nombre est égal à la puissance cinquième de ses chiffres.	54 748 = 5^5 + 4^5 + 7^5 + 4^5 + 8^5
Somme de 3 puissances de 2 manières, plus coquetterie	Avec aussi égalité de la somme des entiers: 119 = 3 + 54 + 62 = 24 + 28 + 67 1 375 298 099 = 3^5 + 54^5+ 62^5= 24^5 + 28^5 + 67^5 231 = 39 + 92 + 100= 49 + 75 + 107 16 681 039 431 = 39^5 + 92^5 + 100^5= 49^5 + 75^5 + 107^5

SOMME DE PUISSANCES 6
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 73 puissances sixièmes.
6 fois P6	On ne connaît pas de somme de six puissances 6 donnant une puissance 6; ni moins.
Somme de 3 puissances 6	Solution minimale d'une somme de puissances 6 égale une autre somme de puissances 6.	3^6 + 19^6+ 22^6 = 10^6 + 15^6 + 23^6 = 160 426 514 25^6 + 62^6+ 138^6 = 82^6 + 92^6 + 135^6 = 6 963 806 813 393

SOMME DE PUISSANCES 7
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 143 puissances septièmes.	Note: 137 a été corrigé en 143 selon la source Mathworld
Somme de 8 puissances 7	102 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 8 autres puissances septièmes.	102^7 = 12^7 + 35^7 + 53^7 + 58^7 + 64^7 + 83^7 + 85^7 + 90^7

SOMME DE PUISSANCES 8
Général	Tout entier est décomposable en somme d'au plus 279 puissances huitièmes.	Note: 273 a été corrigé en 279 selon la source Mathworld 4 863 est le plus petit. Mais, tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 163 puissances huitièmes.
Somme de puissances 8	765 381 793 634 649 192 581 218 = 81^8 + 539^8+ 966^8 = 158^8 + 310^8 + 481^8 + 725^8 + 954^8 Scott Chase cité par Jean-Charles Mérignac Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

Notation des sommes de puissances

On note les sommes de puissances en donnant trois nombres

La puissance

Le nombre de termes d'un côté de l'égalité

Le nombre de termes de l'autre côté

On réserve la notation à la valeur minimum de la somme

L'égalité suivante est notée (8, 1, 9):

1 167⁸ = 190⁸ + 271⁸ + 284⁸ + 348⁸ + 366⁸+ 558⁸ + 560⁸+ 1040⁸ + 1094⁸

= 3 440 066 582 016 500 042 119 041

Nuutti Kuosa - 2000

Voir généralisation: Théorème de Waring 

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Suite	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange
Voir	Bi, tripartitions Carré des triangulaires = somme de cubes Cubes Nombre = sommes de cubes Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Table des puissances des nombres Somme multi puissantes S'y retrouver Unité des puissances