NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique

PARTITION

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Puissance = somme de puissances

Sommes de cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

SOMMES DE PUISSANCES

>>> 4

>>> 5

>>> 6

>>> 7

>>> 8

 

 

 

 

PARTITION des NOMBRES

en SOMME de PUISSANCES

 

Cas des puissances 4 à 8

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

  

 

 

SOMME DE PUISSANCES 4

19 P4

Tout entier suffisamment grand est décomposable en somme d'au plus 19 puissances quatrièmes.

 

*  Constaté, pas démontré.

La démonstration existante donne 35 termes.

 

*  Le plus petit qui nécessite les 19 termes:

79 = 4 x 24 + 15 x 14

 

*  Les quatre autres

159, 239, 319 et 359

17 et 18

Liste finie

Les plus petits: 63 pour 18

et 47 pour 17

16 P4

Tout entier suffisamment grand

peut s'écrire sous la forme

d'une somme de 16 puissances quatrièmes.

Davenport 1939

Le plus petit: 31

 

Liste en Mathworld

5 P4

625

est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4.

 

50 625

est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4 distinctes.

  54 =       625 = 24 + 24 + 34 + 44 + 44

 

154 = 50 625 = 44 + 64 + 84 + 94 + 144

 

 

Les sept configurations jusqu'à 20

4 P4

Les deux plus petites solutions =>

3534 =   304 + 1204 + 2724 + 3154

 

6514 = 2404 + 3404 + 4304 + 5994

3 P4

6 578

est le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de 3 puissances 4.

6 578 = 14 + 24 + 94

           = 34 + 74 + 84

2 P4

17

est le plus petit entier décomposable en somme de 2 puissances 4.

17 = 14 + 24

 Voir Puissance 4

   

 

PUISSANCE 4 = SOMME DE 3 PUISSANCES 4

 

*  Voici un contre exemple à la conjecture d'Euler.

Il existe une infinité de solutions.

Mais la deuxième comporte déjà des nombres de 70 chiffres.

 

s4 = a4 + b4 + c4

La plus petite configuration:

 

  95 8004 =            84 229 075 969 600 000 000

217 5194 =      2 238 663 363 846 304 960 321

414 5604 =    29 535 857 400 192 040 960 000

422 4814 =    31 858 749 840 007 945 920 321

 

La première, trouvée par Noam Elkies en 1986, lequel a prouvé qu'il en existe une infinité.

 

   2 682 4404 =            51 774 995 082 902 409 832 960 000

15 365 6394 =       55 744 561 387 133 523 724 209 779 041

18 796 7604 =    124 833 740 909 952 854 954 805 760 000

20 615 6734 =    180 630 077 292 169 281 088 848 499 041

 

 

Quelques exemples de: s4 = a4 + b4 + c4

 

Quelques exemples de: s4 = a4 + b4 + c4 + d4 + e4

54

 24

 24

 34

 44

 44

 625

104

 44

 44

 64

 84

 84

 10 000

154

 24

 24

 64

 124

 134

 50 625

154

 44

 64

 84

 94

 144

 50 625

154

 64

 64

 94

 124

 124

 50 625

204

 84

 84

 124

 164

 164

 160 000

254

 104

 104

 154

 204

 204

 39 0625

Notez que 10, 15, 20 et 25 sont multiples de 5 et partagent avec 5 le même type de somme

Voir  Bicarré, somme de bicarrés – Table  /  DicoNombre 15

 

 

Cas singulier avec cinq bicarrés: (a + b + c + d)4 = a4 + b4 + c4 + d4 = e4

 

On peut écrire:  x4 + y4 = z4

de la manière suivante: 
               (x/z)4 + (y/z)4 = 1

soit:            s4 + t4 = 1

 

 

Alors que la courbe s4 + t4 = 1 ne passe jamais par une paire de coordonnées rationnelles (Fermat), la courbe s4 + t4 + u4 = 1 passe par une infinité de points

dont les coordonnées sont rationnelles (infirme la conjecture d'Euler).

 

 Voir Autres identités en puissance 4 / Théorème de Waring / Courbes elliptiques

 

 

CURIOSITÉS & multiples

Distincts

 

5 134 210

est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de puissances quatrièmes distinctes

 

2 fois 2P4

La plus petite solution

trouvée par Euler en 1772.

635 318 657 =   594 + 1584

                       = 1334 + 1344

 

3 262 811 042 =     74 + 2394

                          = 1574 + 2274

 

 

 

2 fois 3P4

Toutes les configurations jusqu'à 20.

 

Avec * celles trouvées par Ramanujan comme 2 673.

 

En vert, les trois premières configurations à 1 près.

 

 

 

2 ou 3 fois 3P4 et 4P4

 

En jaune foncé, le rappel des configurions 433 (4 pour la puissance, 3 pour la quantité de termes d'un côté de l'égalité et 3 pour l'autre côté).

En jaune clair les 434 et en blanc les 444.

Toutes les configurations (sauf pour les 444) jusqu'à une somme de 10 000.

Notez le nombre 7 203 en trois présentations.

 

Voir Ramanujan-Hardy

 

 

SOMME DE PUISSANCES 5

Général

 

Tout entier est décomposable en somme

d'au plus 37 puissances cinquièmes

 

 

 

Somme de puissance 5 donnant une puissance 5

 

SIX puissances 5

 

248 832 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 6 puissances 5.

 

 

CINQ puissances 5

 

725 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 5 puissances 5e.

 

 

QUATRE puissances 5

 

Premier contre exemple à la conjecture d'Euler.

Trouvé par L.J. Lander & T.R. Parkin en 1966.

Voir Nombre 144

 

 

 

248 832 = 125

= 45 + 55 + 65 + 75 + 95 + 115

 

 

 

1 934 917 632 = 725

= 195 + 435 + 465 + 475 + 675

 

 

 

 

 

1445  = 275 + 845 + 1105 + 1335

61 917 364 224 = 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893

 

Somme de puissances de 5 distinctes

 

Ce nombre est le plus grand nombre qui ne peut pas s'exprimer comme somme de puissances cinquièmes distinctes.

 

 

67 898 771

 

 

Puissance 5 particulières

 

Ce nombre est égal à la puissance cinquième de ses chiffres.

 

 

54 748

= 55 + 45 + 75 + 45 + 85

 

Somme de 3 puissances de 2 manières, plus coquetterie

 

Avec aussi égalité de la somme des entiers:

 

                  119 =       3  +  54  +  62               =       24  + 28  +  67

1 375 298 099 =      35 + 545 + 625               =       245 + 285 + 675

 

                     231 =    39  +  92 +  100          =       49  + 75  +  107

16 681 039 431 =    395 + 925 + 1005        =       495 + 755 + 1075

 

   

 

SOMME DE PUISSANCES 6

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 73 puissances sixièmes.

 

6 fois P6

 

On ne connaît pas de somme de six puissances 6 donnant une puissance 6; ni moins.

 

Somme de 3 puissances 6

 

Solution minimale d'une somme de puissances 6 égale à une autre somme de puissances 6.

 

36 + 196 + 226

= 106 + 156 + 236

= 160 426 514

 

256 + 626 + 1386

= 826 + 926 + 1356

= 6 963 806 813 393

 

 

 

 

 

SOMME DE PUISSANCES 7

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 143 puissances septièmes.

Note: 137 a été corrigé en 143

selon la source Mathworld  

 

Somme de 3 à 6 puissances 7

Aucune solution

 

Somme de 7 puissances 7

 

 

 

568 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 7 autres puissances septièmes.

 

 

Somme de 8 puissances 7

 

102 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 8 autres puissances septièmes.

1027     = 127  + 357  + 537    + 587

             + 647  + 837  + 857    + 907

 

Somme de 9 puissances 7

 

62 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 9 autres puissances septièmes.

 

627       = 67     + 147  + 207    + 227

             + 277  + 337  + 417    + 507

             + 597

 

 

 

SOMME DE PUISSANCES 8

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 279 puissances huitièmes.

 

Note: 273 a été corrigé en 279

selon la source Mathworld  

 

4 863 est le plus petit.

Mais, tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 163 puissances huitièmes.

 

Somme de 8 puissances 8

 14098 = 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248

Sommes de  puissances 8

 

765 381 793 634 649 192 581 218

=   818 + 5398 + 9668

= 1588 + 3108 + 4818 + 7258 + 9548

 

Scott Chase cité par Jean-Charles Meyrignac

Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

 

Notation des sommes de puissances

 

On note les sommes de puissances en donnant trois nombres

*    La puissance

*    Le nombre de termes d'un côté de l'égalité

*    Le nombre de termes de l'autre côté

 

On réserve la notation à la valeur minimum de la somme

L'égalité suivante est notée (8, 1, 9):

 

1 1678 =  1908 + 2718 + 2848 + 3488 + 3668+ 5588 + 5608+ 10408 + 10948

            = 3 440 066 582 016 500 042 119 041

Nuutti Kuosa - 2000

 

Voir généralisation: Théorème de Waring 

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

*    S'y retrouverIndex

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Cubes

*    Nombre = sommes de cubes

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres cubes

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Puissances quatrièmes (bicarrés)

*   Puissance = somme de puissances

*    Table des puissances des nombres

*    Somme multi puissantes

*    Unité des puissances

DicoNombre

*    Nombre 5 491

Sites

Beaucoup d'autres configurations en:

From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

*    Diophantine Equation – 4th Powers.

*    Diophantine Equation – 5th Powers.

*    Diophantine Equation – 6th Powers.

*    Diophantine Equation – 7th Powers.

*    Diophantine Equation – 8th Powers.

Sites

*    Sum of Fourth Powers – Tito Piezas

*    Sums of four or more Fourth Powers – Tito Piezas

*    Autres sites

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/P4.htm