NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITION

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

SOMMES DE PUISSANCES

>>> 4

>>> 5

>>> 6

>>> 7

>>> 8

 

 

 

 

PARTITION des NOMBRES

en SOMME de PUISSANCES

 

Cas des puissances 4 à 8

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

  

 

 

SOMME DE PUISSANCES 4

19 P4

Tout entier suffisamment grand est décomposable en somme d'au plus 19 puissances quatrièmes.

 

*  Constaté, pas démontré.

La démonstration existante donne 35 termes.

 

*  Le plus petit qui nécessite les 19 termes:

79 = 4 x 24 + 15 x 14

 

*  Les quatre autres

159, 239, 319 et 359

17 et 18

Liste finie

Les plus petits: 63 pour 18

et 47 pour 17

16 P4

Tout entier suffisamment grand

peut s'écrire sous la forme

d'une somme de 16 puissances quatrièmes.

Davenport 1939

Le plus petit: 31

 

Liste en Mathworld

5 P4

625

est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4.

 

50 625

est la plus petite puissance quatrième égale à la somme de 5 puissances 4 distinctes.

  54 =       625 = 24 + 24 + 34 + 44 + 44

 

154 = 50 625 = 44 + 64 + 84 + 94 + 144

 

 

Les sept configurations jusqu'à 20

4 P4

Les deux plus petites solutions =>

3534 =   304 + 1204 + 2724 + 3154

 

6514 = 2404 + 3404 + 4304 + 5994

3 P4

6 578

est le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de 2 puissances 4.

6 578 = 14 + 24 + 94

           = 34 + 74 + 84

2 P4

17

est le plus petit entier décomposable en somme de 2 puissances 4.

17 = 14 + 24

 Voir Puissance 4

 

 

   

 

PUISSANCE 4 = SOMME DE PUISSANCES 4

 

*  Voici un contre exemple à la conjecture d'Euler.

Il existe une infinité de solutions.

Mais la deuxième comporte déjà des nombres de 70 chiffres.

 

*  On peut écrire:

x4 + y4 = z4

de la manière suivante:

(x/z)4 + (y/z)4 = 1

soit

s4 + t4 = 1

 

*  Alors que la courbe s4 + t4 = 1

ne passe jamais par une paire de coordonnées rationnelles (Fermat),

la courbe s4 + t4 + u4 = 1 passe par une infinité de points

dont les coordonnées sont rationnelles (infirme la conjecture d'Euler).

 

 

 

La somme des trois premiers est égale au quatrième:

 

  95 8004 =            84 229 075 969 600 000 000

217 5194 =      2 238 663 363 846 304 960 321

414 5604 =    29 535 857 400 192 040 960 000

422 4814 =    31 858 749 840 007 945 920 321

 

 

 

 

 

   2 682 4404 =            51 774 995 082 902 409 832 960 000

15 365 6394 =       55 744 561 387 133 523 724 209 779 041

18 796 7604 =    124 833 740 909 952 854 954 805 760 000

20 615 6734 =    180 630 077 292 169 281 088 848 499 041

 

Ce deuxième cas a été trouvé par Noam Elkies en 1988

 Voir Autres identités en puissance 4 / Théorème de Waring

 

 

CURIOSITÉS & multiples

Distincts

 

5 134 210

est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de puissances quatrièmes distinctes

 

2 fois 2P4

La plus petite solution

trouvée par Euler en 1772.

635 318 657 =   594 + 1584

                       = 1334 + 1344

 

3 262 811 042 =     74 + 2394

                          = 1574 + 2274

 

 

 

2 fois 3P4

Toutes les configurations jusqu'à 20.

 

Avec * celles trouvées par Ramanujan comme 2 673.

 

En vert, les trois premières configurations à 1 près.

 

 

 

2 ou 3 fois 3P4 et 4P4

 

En jaune foncé, le rappel des configurions 433 (4 pour la puissance, 3 pour la quantité de termes d'un côté de l'égalité et 3 pour l'autre côté).

En jaune clair les 434 et en blanc les 444.

Toutes les configurations (sauf pour les 444) jusqu'à une somme de 10 000.

Notez le nombre 7 203 en trois présentations.

 

Voir Ramanujan-Hardy

 

 

SOMME DE PUISSANCES 5

Général

 

Tout entier est décomposable en somme

d'au plus 37 puissances cinquièmes

 

 

 

Somme de puissance 5 donnant une puissance 5

 

SIX puissances 5

 

248 832 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 6 puissances 5.

 

 

CINQ puissances 5

 

725 est la plus petite puissance cinquième égale à la somme de 5 puissances 5e.

 

 

QUATRE puissances 5

 

Premier contre exemple à la conjecture d'Euler.

Trouvé par L.J. Lander & T.R. Parkin en 1966.

Voir Nombre 144

 

 

 

248 832 = 125

= 45 + 55 + 65 + 75 + 95 + 115

 

 

 

1 934 917 632 = 725

= 195 + 435 + 465 + 475 + 675

 

 

 

 

 

1445  = 275 + 845 + 1105 + 1335

61 917 364 224 = 14 348 907 + 4 182 119 424 + 16 105 100 000 + 41 615 795 893

 

Somme de puissances de 5 distinctes

 

Ce nombre est le plus grand nombre qui ne peut pas s'exprimer comme somme de puissances cinquièmes distinctes.

 

 

67 898 771

 

 

Puissance 5 particulières

 

Ce nombre est égal à la puissance cinquième de ses chiffres.

 

 

54 748

= 55 + 45 + 75 + 45 + 85

 

Somme de 3 puissances de 2 manières, plus coquetterie

 

Avec aussi égalité de la somme des entiers:

 

                  119 =       3  +  54  +  62               =       24  + 28  +  67

1 375 298 099 =      35 + 545 + 625               =       245 + 285 + 675

 

                     231 =    39  +  92 +  100          =       49  + 75  +  107

16 681 039 431 =    395 + 925 + 1005        =       495 + 755 + 1075

 

   

 

SOMME DE PUISSANCES 6

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 73 puissances sixièmes.

 

6 fois P6

 

On ne connaît pas de somme de six puissances 6 donnant une puissance 6; ni moins.

 

Somme de 3 puissances 6

 

Solution minimale d'une somme de puissances 6 égale une autre somme de puissances 6.

 

36 + 196 + 226

= 106 + 156 + 236

= 160 426 514

 

256 + 626 + 1386

= 826 + 926 + 1356

= 6 963 806 813 393

 

 

 

 

 

SOMME DE PUISSANCES 7

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 143 puissances septièmes.

Note: 137 a été corrigé en 143

selon la source Mathworld  

 

Somme de 3 à 6 puissances 7

Aucune solution

 

Somme de 7 puissances 7

 

 

 

568 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 7 autres puissances septièmes.

 

 

Somme de 8 puissances 7

 

102 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 8 autres puissances septièmes.

1027     = 127  + 357  + 537    + 587

             + 647  + 837  + 857    + 907

 

Somme de 9 puissances 7

 

62 est la plus petite puissance septième décomposable en somme de seulement 9 autres puissances septièmes.

 

627       = 67     + 147  + 207    + 227

             + 277  + 337  + 417    + 507

             + 597

 

 

 

SOMME DE PUISSANCES 8

Général

 

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus 279 puissances huitièmes.

 

Note: 273 a été corrigé en 279

selon la source Mathworld  

 

4 863 est le plus petit.

Mais, tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme d'une somme de 163 puissances huitièmes.

 

Somme de 8 puissances 8

 14098 = 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248

Sommes de  puissances 8

 

765 381 793 634 649 192 581 218

=   818 + 5398 + 9668

= 1588 + 3108 + 4818 + 7258 + 9548

 

Scott Chase cité par Jean-Charles Meyrignac

Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

 

Notation des sommes de puissances

 

On note les sommes de puissances en donnant trois nombres

*    La puissance

*    Le nombre de termes d'un côté de l'égalité

*    Le nombre de termes de l'autre côté

 

On réserve la notation à la valeur minimum de la somme

L'égalité suivante est notée (8, 1, 9):

 

1 1678 =  1908 + 2718 + 2848 + 3488 + 3668+ 5588 + 5608+ 10408 + 10948

            = 3 440 066 582 016 500 042 119 041

Nuutti Kuosa - 2000

 

Voir généralisation: Théorème de Waring 

 

 

 

 

 

Suite

*    Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

*    S'y retrouverIndex

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Cubes

*    Nombre = sommes de cubes

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres cubes

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Table des puissances des nombres

*    Somme multi puissantes

*    Unité des puissances

Sites

Beaucoup d'autres configurations en:

From MathWorld – A Wolfram Web Resource.

*    Diophantine Equation – 4th Powers.

*    Diophantine Equation – 5th Powers.

*    Diophantine Equation – 6th Powers.

*    Diophantine Equation – 7th Powers.

*    Diophantine Equation – 8th Powers.

Sites

*    Sum of Fourth Powers – Tito Piezas

*    Autres sites

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Addition/P4.htm