NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/03/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Rubrique PARTITION	Entiers & Carrés	Cubes		Puissances 4...n
	Somme de 4 carrés Théorème de Lagrange		Somme de n puissances Théorème de Waring
	1 à 100 en 4 carrés
	Sommes de cubes et autres puissances
	Comprendre les sommes de carrés
	Sommaire de cette page >>> Somme de n cubes >>> Somme de n cubes, plusieurs fois >>> Cube, somme de n cubes >>> Carré, somme de n cubes >>> Cubes de nombres consécutifs >>> Curiosités

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PARTITION des NOMBRES

en SOMME de CUBES

Somme de cubes, une fois ou plusieurs fois

Puissance somme de cubes

Curiosités

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

SOMME de n CUBES

-Ý-

9 cubes

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus

neuf cubes.

2 nombres seulement

nécessitent 9 cubes.

Les deux seuls qui nécessitent les 9 termes.

23 =	2. 2^3 + 7. 1^3
239 =	2. 4^3 + 4. 3^3 + 3. 1^3

Si on admet les cubes négatifs

23 =	3^3 + 4 . (-1)^3 soit 5 termes

8 cubes

15 nombres seulement

nécessitent 8 cubes.

15, 22, 50,

114, 167, 175, 186,

212, 213, 238,

303, 364,

420, 428, et 454

7 cubes

Tout entier suffisamment grand

est décomposable en somme

d'au plus sept cubes.

8042 est probablement le plus grand entier qui ne peut pas être décomposé en moins de 7 cubes.

5 cubes

Tout nombre est décomposable

d'une infinité de manière en somme

de 5 cubes positifs ou négatifs.

4 cubes

Tout entier qui ne laisse pas un reste de 4 ou 5 lors d'une division par 9, peut se décomposer en somme de 4 cubes positifs ou négatifs.

Voir Tables de sommes de cubes

SOMME de n CUBES, plusieurs fois			-Ý-
4 cubes 2 fois		81 = 0^3 + 3^3 + 3^3 + 3^3 = 1^3 + 2^3 + 2^3 + 4^3
2 cubes 2 fois	1 729 le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de deux cubes.	1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3 = 1 + 1728 = 729 + 1000 Voir Table des sommes de deux cubes deux fois Voir 1729 et histoire à propos de ce nombre Voir Calcul de cubes de nombres consécutifs
3 cubes 2 fois	251 le plus petit nombre décomposable en 2 sommes de 3 cubes.	251 = 1^3 + 5^3 + 5^3 = 1 + 125 + 125 = 2^3 + 3^3 + 6^3 = 8 + 27 + 216
2 cubes 3 fois	87 539 319 le plus petit nombre décomposable en 3 sommes de 2 cubes. 175 959 000 est le second connu.	87 539 319 = 167^3 + 436^3 = 228^3 + 423^3 = 255^3 + 414^3 175 959 000 = 70^3 + 560^3 = 315^3 + 525^3 = 198^3 + 552^3

Voir Nombre = sommes de cubes

CUBE = SOMME de CUBES		-Ý-
Cube, somme de 2 cubes	a^3 + b^3 = c^3 N'existe pas: théorème de Fermat-Wiles. a^3 + b^3 = 2c^3 De même pour la somme de deux cubes, double d'un cube.
Cube, somme de 3 ou 4 cubes	6^3 = 5^3 + 4^3 + 3^3 = 216 9^3 = 1^3 + 6^3 + 8^3 = 729 19^3 = 3^3 + 10^3 + 18^3 = 6 859 20^3 = 7^3 + 14^3 + 17^3 = 8 000 20^3 = 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3 = 8 000 25^3 = 4^3 + 17^3 + 22^3 = 15 625 28^3 = 18^3 + 19^3 + 21^3 = 21 952 29^3 = 11^3 + 15^3 + 27^3 = 24 389 … 90^3 = 25^3 + 38^3 + 87^3 = 729 000

Voir Pépites / Quadruplets / Table des sommes de cubes

Somme de cubes

2^3 + 2^3 = 2 x 2^3 = 2^4 3^3 + 3^3 + 3^3 = 3 x 3^3 = 3^4 4^3 + 4^3 + 4^3 + 4^3 = 4 x 4^3 = 4^4 ^… n^3 + n^3 + … + n^3 = n x n^3 = n^4

9^3 + 18^3 = 9^4 28^3 + 84^3 = 28^4 65^3 + 260^3 = 65^4 …

CARRÉ = SOMME de CUBES

-Ý-

Carré somme de 2 cubes

Exemple

24² = 4³ + 8³

Toutes les valeurs jusqu'à 100

a 1 2 2 4 7 8 9 10 11 14 16 18 22 25 28 32 33 36 49 50 56 65 72 98

b 2 2 46 8 21 8 18 65 37 70 32 18 26 50 84 32 88 72 98 50 65 91 72 98

c 3 4 312 24 98 32 81 525 228 588 192 108 168 375 784 256 847 648 1 029 500 671 1 014 864 1 372

a^3 1 8 8 64 343 512 729 1 000 1 331 2 744 4 096 5 832 10 648 15 625 21 952 32 768 35 937 46 656 117 649 125 000 175 616 274 625 373 248 941 192

b^3 8 8 97 336 512 9 261 512 5 832 274 625 50 653 343 000 32 768 5 832 17 576 125 000 592 704 32 768 681 472 373 248 941 192 125 000 274 625 753 571 373 248 941 192

c^2 9 16 97 344 576 9 604 1 024 6 561 275 625 51 984 345 744 36 864 11 664 28 224 140 625 614 656 65 536 717 409 419 904 1 058 841 250 000 450 241 1 028 196 746 496 1 882 384

Voir: Méthode de calcul

Somme des entiers au cube = carré de la somme de ces entiers

Double d'un carré somme de 2 cubes

En bleu les configuration triviales du type: (n²)³ + (n²)³ = 2 x (n³)²

Carré somme de 3 cubes

Exemple

(1 + 2 + 3)² = 6² = 1³ + 2³ + 3³

Voir Carré somme de cubes avec nombres consécutifs

Toutes les valeurs jusqu'à 20

a 1 1 1 1 1 2 3 4 4 6 6 6 8 8 9 10 12 12

b 2 2 4 6 14 9 3 4 8 9 10 14 9 13 14 10 12 17

c 3 6 14 8 19 14 3 17 12 16 20 16 19 15 16 20 12 20

d 6 15 53 27 98 59 9 71 48 71 96 84 90 78 87 100 72 121

a^3 1 1 1 1 1 8 27 64 64 216 216 216 512 512 729 1 000 1 728 1 728

b^3 8 8 64 216 2 744 729 27 64 512 729 1 000 2 744 729 2 197 2 744 1 000 1 728 4 913

c^3 27 216 2 744 512 6 859 2 744 27 4 913 1 728 4 096 8 000 4 096 6 859 3 375 4 096 8 000 1 728 8 000

d^2 36 225 2 809 729 9 604 3 481 81 5 041 2 304 5 041 9 216 7 056 8 100 6 084 7 569 10 000 5 184 14 641

Carré somme de 4 cubes

Exemple

100 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³

= (1 + 2 + 3 + 4)²

Voir Carrés et cubes

Toutes les valeurs jusqu'à 10

a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 5 9

b 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 8 2 2 2 2 3 6 7 4 4 6 6 8 6 9

c 1 2 2 2 3 4 6 6 8 3 8 8 2 4 5 6 9 7 7 4 8 6 8 8 6 9

d 1 2 4 8 4 6 6 10 10 9 8 10 10 4 7 9 10 9 8 4 9 9 9 8 7 9

e 2 5 9 23 10 17 21 35 39 28 33 45 32 12 22 31 42 36 35 16 37 35 39 40 30 54

a^3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 27 64 64 64 64 64 125 729

b^3 1 8 8 8 8 8 8 8 8 27 64 512 8 8 8 8 27 216 343 64 64 216 216 512 216 729

c^3 1 8 8 8 27 64 216 216 512 27 512 512 8 64 125 216 729 343 343 64 512 216 512 512 216 729

d^3 1 8 64 512 64 216 216 1 000 1 000 729 512 1 000 1 000 64 343 729 1 000 729 512 64 729 729 729 512 343 729

e^2 4 25 81 529 100 289 441 1 225 1 521 784 1 089 2 025 1 024 144 484 961 1 764 1 296 1 225 256 1 369 1 225 1 521 1 600 900 2 916

CUBES de NOMBRES CONSÉCUTIFS			-Ý-
Cubes consécutifs	9 seul carré somme de cubes de nombres consécutifs.	9 = 3² = 1^3 + 2^3
Parfaits	Tout nombre parfait, sauf 6, est décomposable en somme de cubes d'impairs successifs.	28 = 1^3 + 3^3 496 = 1^3 + 3^3 +5^3 + 7^3
Divisible	La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.	9 | (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 Rappel La barre verticale se lit "divise"

CURIOSITÉS

-Ý-

Distincts

12 758

est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de cubes distincts.

Chiffres

Seuls 6 nombres sont égaux à la somme des chiffres de leur cube.

n	n^3
1	1
8	512
17	4 913
18	5 832
26	17 576
27	19 683

Seuls 4 nombres sont égaux à la somme des cubes de leurs chiffres.

n	Cubes des chiffres
153	1 + 125 + 27
370	27 + 343
371	27 + 343 + 1
407	64 + 343

Boucle rare

Unique solution

pour 2, 3 ou 4 chiffres et

pour les puissances 2, 3, 4

au moins

1 3 6 = 2³ + 4³ + 4³

2 4 4 = 1³ + 3³ + 6³

Les deux plus proches à 2 près:

24 = 2³ + 2³ + 2³

224 = 2³ + 6³

155 = 3³ + 4³ + 4³

342 = 1³ + 5³ + 6³

Liste des sommes des puissances des cubes de nombres consécutifs

S2 est la somme de 2 cubes. Ex: 35 = 2³ + 3³

S3 est la somme de 3 cubes. Ex: 99 = 2³ + 3³ + 4³

Florilège de cubes

100	= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3	Somme de 4 cubes consécutifs
8 000	= 2^6 x 5^3 = 20^3 = 7^3 + 14^3 + 17^3 = 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3	Cube Somme de 4 cubes consécutifs Somme de 3 cubes
9 000	= 10^3 + 11^3 + 12^3 + 13^3 + 14^3	Somme de 5 cubes consécutifs
16 830^3	= 1134^3 + 1135^3 +1136^3 + … + 2133^3	Cube Somme de 1000 cubes consécutifs

8000 & 16830³ sont cités page 345 du livre "Code to Zero" de Ken Follet

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Suite	Puissances 4, 5 … Somme de cubes Somme de cubes 2 fois
Voir	Bi, tripartitions Carré des triangulaires = somme de cubes Cubes Nombre = sommes de cubes Nombre = sommes de puissances Nombres carrés Nombres cubes Nombres polygones Nombres triangles Somme multi puissantes Table des puissances des nombres Unité des puissances