NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ADDITION

 

Débutants

Addition

PARTITION

 

Glossaire

Addition

 

 

Rubrique

 

PARTITION

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de carrés,  cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Somme de n cubes

>>> Somme de n cubes, plusieurs fois

>>> Cube, somme de n cubes

>>> Carré, somme de n cubes

>>> Cubes de nombres consécutifs

>>> Curiosités

>>> Liste des sommes des puissances des cubes de nombres consécutifs

>>> Somme de cubes bien en forme!

 

 

 

 

 

 

PARTITION des NOMBRES

en SOMME de CUBES

 

Somme de cubes, une fois ou plusieurs fois

Puissance somme de cubes

Curiosités

Généralisation à toute puissance, voir: Théorème de Waring

Voir Table des puissances des nombres

 

 

SOMME de n CUBES

9 cubes

Tout entier est décomposable

en somme d'au plus

neuf cubes.

 

2 nombres seulement

nécessitent 9 cubes.

 

*  Les deux seuls qui nécessitent les 9 termes.

 

23 =

2. 23 + 7. 13

239 =

 2. 43 + 4. 33 + 3. 13

 

 

*  Si on admet les cubes négatifs

 

  23 =

    33 + 4 . (-1)3   

soit 5 termes

8 cubes

15 nombres seulement

nécessitent 8 cubes.

15, 22, 50,

114, 167, 175, 186,

212, 213, 238,

303, 364,

420, 428, et 454

7 cubes

Tout entier suffisamment grand

est décomposable en somme

d'au plus sept cubes.

*  8042  est probablement le plus grand entier qui ne peut pas être décomposé en moins de 7 cubes.

5 cubes

Tout nombre est décomposable

d'une infinité de manière en somme

de 5 cubes positifs ou négatifs.

 

 

4 cubes

Tout entier qui ne laisse pas un reste de 4 ou 5 lors d'une division par 9, peut se décomposer en somme de 4 cubes positifs ou négatifs.

 

 

 Voir Tables de sommes de cubes

 

 

SOMME de n CUBES, plusieurs fois

2 cubes

2 fois

 

1 729

le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de deux cubes.

 

1729 = 13 + 123   = 93 + 103

          = 1 + 1728 = 729 + 1000

 

Voir Table des sommes de deux cubes deux fois

Voir 1729 et histoire à propos de ce nombre

Voir Calcul de cubes de nombres consécutifs

2 cubes

3 fois

 

87 539 319

le plus petit nombre décomposable en 3 sommes de 2 cubes.

 

175 959 000

est le second connu.

87 539 319 = 1673 + 4363

                     = 2283 + 423 3

                     = 2553 + 414 3

 

175 959 000 =   703 + 5603

                       = 3153 + 5253

                       = 1983 + 5523

2 cubes

n fois

 

Taxicab

 

Nombres taxicab
Le plus petit nombre qui est somme de n fois deux cubes.

 

     Ta(6) n'est pas encore connu.

 

En relatifs, nous aurions, par exemple:

  91 = 43 + 33 = 63 – 53  

189 = 43 + 53 = 63 – 33  

Voir Table / Site

 

3 cubes

2 fois

 

251

le plus petit nombre décomposable en 2 sommes de 3 cubes.

251 = 13 + 53 + 53    = 1 + 125 + 125

        = 23 + 33 + 63    = 8 + 27 + 216

4 cubes

2 fois

 

81 = 03 + 33 + 33 + 33

      = 13 + 23 + 23 + 43

Voir Nombre = sommes de cubes

 

 

 Somme de cubes et sommes de carrés

 

 

Il est possible de créer autant de couples que l'on veut.

Avec la relation a² + b² = c3 + d3 , en multipliant par 64 = 43

(4c)3 + (4d)3 = 64(c3 + d3) = 64 (a² + b²) = (8a)² + (8b)²

8² + 64² = 43 + 163 = 4 160

 

Un double couple (le plus petit, sans doute).

4 624 776 = 1 0262 + 1 8902 = 1 3502 + 1 6742 = 513 + 1653 = 723 + 1623

 

 

 

 

CUBE = SOMME de CUBES

Cube,

somme de 2 cubes

 

 

a3 + b3 = c3

N'existe pas: théorème de Fermat-Wiles.

 

a3 + b3 = 2c3

De même pour la somme de deux cubes, double d'un cube.

 

Cube,

somme de 3 ou 4 cubes

 

 

Par combinaison

Voir Pépites / Quadruplets / Table des sommes de cubes / Énigme de la pesée des quatre cubes

Diconombre: 216  /  729  /  8 000

 

 

 

 

Somme de cubes

 

23 +  23 = 2 x 23 = 24

33 +  33 +  33 = 3 x 33 = 34

43 +  43 + 43 +  43 = 4 x 43 = 44

n3 +  n3 + … +  n3 = n x n3 = n4

 

93 +    183 =   94

283 +    843 = 284

653 +  2603 = 654

 

 

 

 

CARRÉ = SOMME de CUBES

 

 

 

Carré somme de 2 cubes

 

Exemple

24² = 43 + 83

 

Toutes les valeurs jusqu'à 100

a

 

1

2

2

4

7

8

9

10

11

14

16

18

22

25

28

32

33

36

49

50

56

65

72

98

b

 

2

2

46

8

21

8

18

65

37

70

32

18

26

50

84

32

88

72

98

50

65

91

72

98

c

 

3

4

312

24

98

32

81

525

228

588

192

108

168

375

784

256

847

648

1 029

500

671

1 014

864

1 372

a3

 

1

8

8

64

343

512

729

1 000

1 331

2 744

4 096

5 832

10 648

15 625

21 952

32 768

35 937

46 656

117 649

125 000

175 616

274 625

373 248

941 192

b3

 

8

8

97 336

512

9 261

512

5 832

274 625

50 653

343 000

32 768

5 832

17 576

125 000

592 704

32 768

681 472

373 248

941 192

125 000

274 625

753 571

373 248

941 192

c2

 

9

16

97 344

576

9 604

1 024

6 561

275 625

51 984

345 744

36 864

11 664

28 224

140 625

614 656

65 536

717 409

419 904

1 058 841

250 000

450 241

1 028 196

746 496

1 882 384

 

Voir: Méthode de calcul

Somme des entiers au cube = carré de la somme de ces entiers

 

 

 

Double d'un carré somme de 2 cubes

 

 

En bleu les configuration triviales du type: (n²)3 + (n²)3 = 2 x (n3

 

 

 

 

 

Carré somme de 3 cubes

Exemple

(1 + 2 + 3)² = 6² = 13 + 23 + 33

Voir  Carré somme de cubes avec nombres consécutifs

 

Toutes les valeurs jusqu'à 20

a

 

1

1

1

1

1

2

3

4

4

6

6

6

8

8

9

10

12

12

b

 

2

2

4

6

14

9

3

4

8

9

10

14

9

13

14

10

12

17

c

 

3

6

14

8

19

14

3

17

12

16

20

16

19

15

16

20

12

20

d

 

6

15

53

27

98

59

9

71

48

71

96

84

90

78

87

100

72

121

a3

 

1

1

1

1

1

8

27

64

64

216

216

216

512

512

729

1 000

1 728

1 728

b3

 

8

8

64

216

2 744

729

27

64

512

729

1 000

2 744

 729

2 197

2 744

1 000

1 728

4 913

c3

 

27

216

2 744

512

6 859

2 744

27

4 913

1 728

4 096

8 000

4 096

6 859

3 375

4 096

8 000

1 728

8 000

d2

 

36

225

2 809

 729

9 604

3 481

81

5 041

2 304

5 041

9 216

7 056

8 100

6 084

7 569

10 000

5 184

14 641

 

 

 

 

Carré somme de 4 cubes

Exemple

 

100 = 13 + 23 + 33 + 43

           = (1 + 2 + 3 + 4)2

Voir Carrés et cubes

 

 

Toutes les valeurs jusqu'à 10

a

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

4

4

4

4

4

5

9

b

1

2

2

2

2

2

2

2

2

3

4

8

2

2

2

2

3

6

7

4

4

6

6

8

6

9

c

1

2

2

2

3

4

6

6

8

3

8

8

2

4

5

6

9

7

7

4

8

6

8

8

6

9

d

1

2

4

8

4

6

6

10

10

9

8

10

10

4

7

9

10

9

8

4

9

9

9

8

7

9

e

2

5

9

23

10

17

21

35

39

28

33

45

32

12

22

31

42

36

35

16

37

35

39

40

30

54

a3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

8

8

8

8

8

8

27

64

64

64

64

64

125

729

b3

1

8

8

8

8

8

8

8

8

27

64

512

8

8

8

8

27

216

343

64

64

216

216

512

216

729

c3

1

8

8

8

27

64

216

216

512

27

512

512

8

64

125

216

729

343

343

64

512

216

512

512

216

729

d3

1

8

64

512

64

216

216

1 000

1 000

729

512

1 000

1 000

64

343

729

1 000

729

512

64

729

729

729

512

343

729

e2

4

25

81

529

100

289

441

1 225

1 521

784

1 089

2 025

1 024

144

484

961

1 764

1 296

1 225

256

1 369

1 225

1 521

1 600

900

2 916

 

 

 

 

CUBES de NOMBRES CONSÉCUTIFS

Cubes consécutifs

 

9

seul carré somme de cubes de nombres consécutifs.

9 = 3²

          = 13 + 23

Parfaits

Tout nombre parfait, sauf 6,

est décomposable en somme de cubes d'impairs successifs.

  28 = 13 + 33

496 = 13 + 33 + 53 + 73

Divisible

La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9.

9  |  (n-1)3 + n3 + (n+1)3

 

Rappel La barre verticale se lit "divise"

 

 

 

CURIOSITÉS

Distincts

 

12 758

est le plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire comme la somme de cubes distincts.

 

Chiffres

Seuls 6 nombres sont égaux à la somme des chiffres de leur cube.

n

n3

1

1

8

512

17

4 913

18

5 832

26

17 576

27

19 683

 

Seuls 4 nombres sont égaux à la somme des cubes de leurs chiffres.

n

Cubes des chiffres

153

1 + 125 + 27

370

27 + 343

371

27 + 343 + 1

407

64 + 343

Boucle rare

Unique solution

pour 2, 3 ou 4 chiffres et

pour les puissances 2, 3, 4

au moins

 

 

1 3 6 = 23 + 43 + 43

2 4 4 = 13 + 33 + 63

 

Les deux plus proches à 2 près:

 

  24 = 23 + 23 + 23

224 =        23 + 63

 

155 = 33 + 43 + 43

342 = 13 + 53 + 63

 

 

 

 

Liste des sommes des puissances des cubes de nombres consécutifs

 

S2 est la somme de 2 cubes. Ex: 35 = 23 + 33

S3 est la somme de 3 cubes. Ex: 99 = 23 + 33 + 43

 

 

 

 

Florilège de cubes

 

100

= 13 + 23 + 33 + 43

*        Somme de 4 cubes consécutifs

8 000

= 26 x 53

=           203

=   73 + 143 + 173

=           113 + 123 + 133 + 143

*        Cube

*        Somme de 4 cubes consécutifs

*        Somme de 3 cubes

9 000

= 103 + 113 + 123 + 133 + 143

*        Somme de 5 cubes consécutifs

16 8303

= 11343 + 11353 +11363 +

                                     … + 21333

*        Cube

*        Somme de 1000 cubes consécutifs

 

8000 & 168303 sont cités page 345 du livre "Code to Zero" de Ken Follet

 

 

 

 

Somme de deux cubes bien en forme!

 

Nombres somme de deux cubes et égal à une opération avec les chiffres de ces nombres au cube.

 

Les six premières lignes son uniques avec le deuxième cubes à un seul chiffre. Ils sont 28 lorsque le deuxième cube comporte deux chiffres. Ici, tous ceux jusqu'à 10 000 pour le multiplicateur objet de la troncature.

Voici des exemples typiques pour trois chiffres (il y en a 6 jusqu'à 5 millions).

 

 

Avec quatre chiffres (exemples, il y en a 19 jusqu'à 50 millions)

 

Remarquez la présence répétitive de 333, 667, 668.

Voir Nombres en formes

 

 

 

 

 

Suite

*    Sommes de cubes – Table de 1 à 1000

*    Puissances 4, 5 …

*    Somme de cubes

*    Somme de cubes 2 fois

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Cubes

*    Nombre = sommes de cubes

*    Nombre = sommes de puissances

*    Nombres carrés

*    Nombres cubes

*    Nombres polygones

*    Nombres triangles

*    Somme multi puissantes

*    Table des puissances des nombres

*    Unité des puissances

DicoNombre

*    Nombre 19 683 = 273

Site

*    The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 – David Wilson

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