NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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RAMANUJAN

 

Glossaire

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INDEX

GRANDS ESPRITS

Photo passeport 1919

Sommaire de cette page

>>> Ramanujan

>>> Biographie

>>> 1729: histoire ou légende ?

>>> Le comptable indien (roman)

 

 

 

 

L'homme qui connaissait l'infini.

Un génie du XXe siècle.

Un artiste des équations.

 

"An equation for me has no meaning,

unless it express a thought of God".

 

 

 

 

RAMANUJAN

RAMANUJAN

Srinivasa   (nom de son père)

IYENGAR (nom de caste)

1887 – 1920

33 ans

Indien

né à Erode

(au sud Inde)

*         Génie en mathématique.

*         Autodidacte.

*         Ses formules, notées sur son cahier, n'ont pas encore livré tous leurs secrets.

*         Nombreuses séries infinies.

 

*         Obsédé par les mathématiques:

Rate ses études, car désintérêt pour les autres matières.

Devient agent comptable.

*         Ses supérieurs hiérarchiques lui conseillent d'envoyer ses cahiers de notes à trois spécialistes anglais: Hardy, Hobson et Baker.

Hardy et Littlewood constatent que beaucoup de ces formules sont inconnues et valables.

Ramanujan est un génie!

Il laissera plus de 6 000 formules originales dans ses carnets.

*         En 1918, il sera élu Fellow :

à Trinity College Cambridge,

à la Royal Society.

 

 

 

Voir

 

*  Calcul des grandes factorielles

*  Constante de Ramanujan (0,764…)

*  Constante de Ramanujan (en racine de 163)

*  Contemporains

*  Formule de calcul de Pi de Ramanujan

*  Fraction continue et identité de Rogers-Ramanujan

*  Logarithmes et Ramanujan

*  Nombre 1729

*  Nombres avec 163 de Ramanujan

*  Nombres fortement composés

*  PI – Formules de Ramanujan

*  Racines continues

*  Radicaux – Dé-imbrication (denesting)

*  Suite qui rend très fou: 1 + 2 + 3 +… = 1/12

*  Théorèmes de Ramanujan sur la somme des carrés

*  Valeurs de Pi

*  Valeur de Pi et sa construction géométrique

*  Zéro de Ramanujan

 

 

 

Une des identités numériques de Ramanujan

 

 

BIOGRAPHIE

 

1887

 

*         Naissance le 22 Décembre.

*         Famille de brahmane:

*      Père comptable dans une entreprise d'étoffes.

*      Sa mère Komalatammal sera très attentive à son fils aîné.

*         Il apprend les mathématiques tout seul grâce à deux livres.

1903

16 ans

*         Admis dans un collège gouvernemental du sud de l’Inde.

1904

17 ans

*         Durant sa scolarité, il montre de grandes aptitudes pour les maths.

*         Admis au collège de Kumbakonam. Mais seules les maths l'intéressent et il échoue en fin d'année.

*         Il utilise une ardoise comme brouillon et note ses conclusions sur un carnet.

1906

19

*         Sa mère réussit à le faire admettre au collège de Madras (devenu Chennai, ville au sud est de l'Inde; 6,2 millions d'habitants).

*      Il échoue une nouvelle fois.

*         Il erre durant quelques années toujours avec son carnet.

1909

22

*         Sa mère décide de le marier.

*      Srimathi Janaki est de la même caste; elle a 10 ans.

*         Il vit d'expédients avec ses amis durant quelques années.

*         Il montre ses carnets pour tenter d'intéresser quelqu'un.

*      Tellement avancées, ses mathématiques ne sont pas comprises par son entourage.

1911

24

*         Il réussit à éditer un article dans le journal de la société des mathématiques indiennes.

*      Il y demande de trouver la valeur d'une racine continue.

*      Personne ne trouve …

*         Alors que Ramanujan sans formation particulière, non seulement connaît la réponse, mais également la formule générale.

1912

25

*         Il trouve un emploi à Madras: agent comptable.

*         Les choses changent:

*      Le président de la société est un ingénieur anglais.

*      Et, le directeur, un mathématicien indien.

*         Tous deux le poussent à contacter des mathématiciens britanniques.

*      Henry F. Baker et E.W. Hobson, sont passés à côté.

1913

26

*         C'est le célèbre mathématicien G.H. Hardy qui reçoit une longue lettre de Ramanujan (13 janvier 1913) accompagnée de 120 formules non justifiées.

*      Surpris, il pense que c'est un canular.

*      Plus surpris encore, il y trouve des formules non encore connues et pourtant justes.

*      Et même, des formules curieuses non démontrées.

*         Il partage sa surprise avec un autre grand mathématicien John Littlewood.

*      Conclusion: ce Ramanujan est un mathématicien de génie.

1914

27

*         Ramanujan se retrouve à Londres.

*         Il travaille avec Hardy au Trinity College de Cambridge.

 

 

*         Malheureusement Ramanujan tombe malade. Est-ce son régime végétarien indien à la mode anglaise ou les restrictions durant la guerre?

*      Il fréquente les sanatoriums.

1919

32

*         Il renter au pays.

*      très faible,

*      en bateau.

*         Il est soigné par sa mère et sa femme.

*      tout en poursuivant ses travaux de maths.

1920

33

*         Mort le 26 avril, sa femme Janaki à ses côtés

*      Peut-être de tuberculose.

*      Il n'avait pas d'enfant.

*      Il était profondément hindouiste.

*      Il est resté végétarien toute sa vie.

 

 

 

HISTOIRE ou LÉGENDE ?

 

*         Le mathématicien anglais G.H. Hardy  visitait le fameux mathématicien indien Srinivasa Ramanujan à l'hôpital.

*      Mon taxi avait vraiment un numéro quelconque: "1 729", dit le premier .

*      Mais, pas du tout, répondit Ramanujan, c'est le plus petit nombre exprimable par la somme de deux cubes de deux manières différentes ".

*         Depuis, de tels nombres sont baptisés nombres Taxicab.

 

Bernard Frénicle de Bessy (1605-1675) qui connaissant cette propriété. Est-ce que Ramanujan en avait connaissance?

English

The famous anecdote is that during one visit to Ramanujan in the hospital at Putney, Hardy mentioned that the number of the taxi cab that had brought him was 1729, which, as numbers go, Hardy thought was "rather a dull one". 

At this, Ramanujan perked up, and said "No, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as a sum of two cubes in two different ways."

Voir Développements sur les nombres TAXICAB

 

 

 

 

Le comptable indien – The Indian Clerk

 

*    Roman basé sur faits réels de David Leavitt – Traduit de l'américain par J.-F. Hel Guedj – Denoël et d'ailleurs – 2009 – 713 pages

 

*    Vie de Ramanujan durant sa période anglaise. Récit de la vie de tous les jours des protagonistes proches qui l'ont accueilli:

*    Godfrey Harold Hardy 1877-1947) – mathématicien; et sa sœur vieille-fille Gertrude

*    John Edensor Littlewood (1885-1977) – mathématicien

*    Bertrand Russel (1872-1970) – logicien

*    John Meynard Keynes (1883-1946) – économiste

*    Roger Eliot Fry (1866-1934) – peintre

*    George Edward Moore (1873-1958) – philosophe

*    Ludwig Wittgenstein (1889-1951) – philosophe

*    John McTaggart (1866-1925) – philosophe

*    Eric Harold Neville (1889-1961), jeune professeur qui perdra son titre de Fellowship et deviendra professeur (chairman of mathematics) à l'université de Reading. Sa vie, comme celle de sa femme Alice, est très romancée. Il est connu pour son algorithme d'interpolation polynomiale.

 

Quelques jalons

*    La lettre de Ramanujan à Hardy arrive en janvier 1913. Hardy a 36 ans et Littlewood 28. Ils décident de faire venir Ramanujan à Cambridge. C'est la famille Neuville qui est envoyée en émissaire pour le convaincre. Ramanujan arrive en Angleterre en avril 1914.

*    Hardy vient de prouver que la fonction zêta de Riemann a une infinité de zéro le long de la ligne critique ½.

*    Littlewood montre que , change en permanence de signe lorsque x tend vers l'infini et cela de manière paradoxale, à partir de x très grand. Ces deux termes – la quantité de nombres premiers et le logarithme intégral sont égaux pour x tendant vers l'infini.

*    Ramanujan affirmait détenir la clé de la conjecture de Riemann.

*    Hardy aide Ramanujan à publier un papier sur la quantité de partitions des entiers.

*    Théorème de Hardy-Ramanujan (1917): presque tous les entiers ont
      
 = log log n, quantité de diviseurs premiers distincts (facteurs).

 

 

 

 

Extraits et commentaires

 

Première lettre de Ramanujan à Hardy: j'ai découvert une fonction qui représente exactement le nombre des nombres premiers inférieur à x.

Page 29

 

Voici donc l'hypothèse de Riemann: vous prenez la fonction zêta et vous y introduisez des nombres complexes (…) Selon cette hypothèse, à chacun des points où la fonction est égale à la valeur zéro, la partie réelle aura une valeur de 1/2.

Page 66

 

Imaginez un barbier qui tous les jours rase les hommes de sa ville qui ne se rasent pas tout seuls. Le barbier se rase-t-il? 

Page 74

 

Aucun nombre jusqu'à 24 n'a plus de six diviseurs. 22 en a quatre, 21 en a six. Mais 24 en a huit. 24 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24. Donc, je définis un nombre hautement composé comme un nombre qui comporte plus de diviseurs que tous les nombres venant avant lui.

Page 219

 

À présent, Hardy a établi de manière irréfutable qu'il existe une infinité de zéros le long de la ligne critique …

Page 227

 

Puis nous posons un nombre Q, qui sera plus grand que tous les nombres premiers multipliés par entre eux. Autrement dit: Q = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x … x P + 1… Démonstration d'Euclide

Page 262

 

C'est pourquoi 31, 331, 3 331, 33 331, 333 331, 3 333 331 sont des nombres premiers, mais pas 33 333 331.

Page 278

 

Des lakhs de gens venus de chez nous se joignent aux forces militaire (…) La guerre  en cours affecte des crores d'individus, des millions.

Note: lakh = 100 000 et crore = 10 000 000.

Page 327

 

Il aime presque tous les nombres premiers. Il aime 32 671, pour des raisons qui lui échappent (…) Il aime aussi les nombres hautement composés, ce sont le 4 et le 36 qu'il aime le plus (…)

Page 330

 

Comptant tous les nombres de 1 à 1 000 000, puis les rangeant par degré de rondeur. "1 000 000, Hardy c'est très rond, m'a-t-il ainsi dit un jour. Il comporte douze facteurs premiers, tandis que si vous prenez tous les nombres entre 999 991 et 1 000 010, la moyenne n'est que de 4.

Page 339

Ramanujan extrait de sa poche une coupure de presse et la tend à Hardy. "Énigmes dans une auberge de village" (…) L'autre jour, racontait William Rogers aux autres villageois  (…) un endroit qui s'appelle Louvain (…) la maison de son ami se trouvait dans une longue rue …     Voir l'énoncé de l'énigme et sa solution

Page 359

 

 

Ce qu'en disait Hardy

Il travaillait par induction à partir d'exemples numériques, beaucoup plus que ne le faisait la majorité des mathématiciens contemporains …; mais, en alliant sa mémoire, sa patience et sa puissance de calcul, il aboutissait à une capacité de généralisation, une appréciation des formes, et une flexibilité pour de rapides modifications de ses hypothèses, qui étaient souvent surprenantes et le rendait sans rival à ce jour dans son domaine de compétence.

 

 

 

 

 

Suite

*    Voir ci-dessus

Voir

*    Hardy

*    Nombres fortement composés

*    Roman 676

*    Somme de cubes

*    Table des sommes de cubes

DicoNombre

*    Nombre 91

*    Nombre 1729

Livres

*      Le comptable indien – David Leavitt

*      The man who knew infinity – Robert Kanigel

*    A Disappearing Number pièce de théâtre de 2007 de Simon McBurney et le Théâtre de Complicité.

Sites

*      The Indian Clerk by Heini Halberstam – Cinq pages en .pdf, revue du livre de Leavitt.

*      Srinivasa Ramanujan – University St Andrew

*      Ramanujan: Letters and Commentary by Srinivasa Ramanujan Aiyangar – Google book

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Esprit/Ramanuja.htm