NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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  Types de Nombres

 

Débutants

Premier

NOMBRES PREMIERS

 

Glossaire

Premier

 

 

INDEX

 

Premiers

Types de premiers

Cullen

Woodall

Carol

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers de Woodall

>>> Liste

>>> Propriétés: divisibilité et primalité

>>> Quantité de chiffres

>>> Chiffre des unités

 

 

 

 

 

NOMBRES de CULLEN

 

Les nombres de Cullen et les nombres de Woodall (Cullen du second type) sont majoritairement composés. Depuis leur découverte en 1905, on ne connait que seize nombres premiers de Cullen.

Anglais: Woodall numbers and Cullen Numbers

 

 

Nombres de Cullen

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins / Woodall

Définitions

NOMBRES PREMIERS DE CULLEN

 

Nombre premier de la forme Cn = n . 2n + 1

 

n est un nombre entier supérieur à 0.

Exemples

  3 = 1 x 21 + 1

  9 = 2 x 22 + 1

25 = 3 x 23 + 1

Historique

Introduit en 1905 par le père Cullen (1867-1933).

Mentionné dans un livre de Guy.

En 1976, Hooley montre qu'ils sont presque tous composés.

Divisibilité

*       Pour tout entier premier p différent de 2, il existe une infinité d'entiers n tels que p divise le nombre de Cullen d'indice n (Cn).

 

*       Si p est un nombre premier alors, l'un de ces nombres de Woodall est divisible par p:

W(p + 1)/2 ou W(3p – 1)/2

selon que le symbole de Jacobi est égal à + 1 ou  à -1, respectivement.

 

 

Premier

*       Hormis 3, le premier nombre premier de Cullen est atteint pour n = 141:

C141 = 39305 0634124102 2328695670 3455542737 1542904833 = 0,39… 1045

*       Le suivant apparaît pour n = 4713 et vaut 0, 2677… 101423.

 

Les suivants

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, …

 

*       Bien que rares, on conjecture qu'il existe une infinité de nombres de Cullen premiers.

*       141 x 2141 + 1 est le seul nombre de Cullen premier pour n compris entre 2 et 1000, découvert par Robinson en 1958. Sa valeur: 0,35 1045 =

393050634124102232869567034555427371542904833

 

*       6 649 881 x 26 649 881 + 1  = 2,3618… 102 010 851 est un nombre premier de Cullen avec plus de deux millions de chiffres (2009, PrimeGrid).

 

 

 

Liste – les 20 premiers

 

 

Les vingt premiers

 

Remarquez que les nombres en rouge sont premiers et qu'ils se retrouvent dans les facteurs des deux nombres précédents.

C'est une propriété générale.

 

 

Les 16 premiers nombres PREMIERS de Cullen Cn pour n prenant les valeurs indiquées  =>

 

Ce sont les seize connus actuellement.

Leur recherche a dû attendre l'arrivée des ordinateurs. Le plus grand, découvert en 2009, compte plus de deux millions de chiffres.

 

3, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, … ?

 

 

 

Nombres de Cullen – Propriétés

 

Divisibilité

*       Pour tout entier premier p différent de 2, il existe une infinité d'entiers n tels que p divise le nombre de Cullen d'indice n (Cn).

 

*       Si p est un nombre premier (sauf 2), alors:

Cp – 1 et Cp – 2 sont divisibles par p.

 

Ex: p = 5 alors: C3 = 25 et C4 = 65

Voir Nombres en rouge dans le tableau

 

 

 

Premier

*       Hormis 3, le premier nombre premier de Cullen est atteint pour n = 141:

C141 = 39305 0634124102 2328695670 3455542737 1542904833 = 0,39… 1045

*       Le suivant apparaît pour n = 4713 et vaut 0, 2677… 101423.

 

*       Bien que rares, on conjecture qu'il existe une infinité de nombres de Cullen premiers.

*       On ignore si n et Cn peuvent simultanément premiers.

*       141 x 2141 + 1 est le seul nombre de Cullen premier pour n compris entre 2 et 1000, découvert par Robinson en 1958. Sa valeur: 0,35 1045 =

393050634124102232869567034555427371542904833

 

*       6 649 881 x 26 649 881 + 1  = 2,3618… 102 010 851 est un nombre premier de Cullen avec plus de deux millions de chiffres (2009, PrimeGrid).

 

 

Récurrence

Cn = 4 (Cn–1 – Cn–2) + 1

 

Ex: C4 = 4 (C3 – C2) + 1 = 4(25 – 9) + 1 = 65

 

Somme

 

Ex: C1 + C2 + C2 + C4 = 2 x 3 x 24 + 4 + 2 = 102

                                        = 3 + 9 + 25 + 65 = 102

 

 

 

Quantité de chiffres

 

La quantité de chiffres dans un nombre de Cullen peut être déterminée à un près en prenant le logarithme du nombre (on ignore le 1 final):

 

Q2 = log10 (n . 2n + 1)

Q1 = log10 (n) + n . log10(2)

 

 

Le tableau montre les valeurs de Cn pour n de 100 à 120, valeurs sous la forme 0,3e33 qui veut dire 0,3 1033 soit (colonne 2), une quantité de chiffres exactement égale à 33. Les deux colonnes de droites indiques les valeurs trouvées en calculant les logarithmes (approchés pour Q1 et exacts pour Q2).

Notez qu'en prenant la valeur plafond de Q1 ou Q2, on retrouve la quantité exacte.

 

 

 

Chiffre des unités et suivants

 

Liste des unités des cent premiers nombres

3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1,

3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1,

3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1,

3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1,

3, 9, 5, 5, 1, 5, 7, 9, 9, 1, 9, 3, 7, 7, 1, 7, 5, 3, 3, 1 …

Répétitives sur un cycle de 20

Note que tous les Cullen sont impairs (évidemment).

 

 

Le cycle se répète sur les dizaines, les centaines, etc.

 

Précaution: ne pas compter les k premiers nombres pour observer le cycle.

 

 

C(U) = 20

C(DU) = 100

C(CDU) = 500

C(MCDU) = 2500

etc.

C(k chiffres) = 4 x 5k

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Types de nombres premiersIndex

*         Nombres premiers records

Voir

*         Place de ces nombres parmi les autres premiers

*           Records

Site

*         OEIS A002064 – Cullen numbers

*         OEIS A005849 – Cullen prime numbers

*         Cullen primes – Top twenty – Caldwell

*         Divisibility of Cullen Numbers – James Cullen - 2005

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremCull.htm