NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres

En représentation

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Numération

Décimal

Bloc de trois

Arrondi

Virgule flottante

Présentation

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres ronds
>>> Nombres arrondis – Approche

>>> Arrondi arithmétique

>>> Arrondi à n chiffres

>>> Même nombre de chiffres significatifs

>>> Cousins: plancher, plafond …

>>> Avec Maple

>>> Bilan

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

Nombres         RONDS

  &  Nombres ARRONDIS

 

Le nombre rond est une notion utilisée surtout en calcul mental ou pour délivrer une approximation.

L'arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec moins de chiffres. On perd  volontairement de la précision au profit d'une manipulation ou d'une mémorisation plus facile.

Quels sont les types d'arrondis? Leurs résultats? Comment arrondir de la même manière des nombres très différents? Comment fixer la quantité de chiffres significatifs?

Voir l'astuce des nombres négatifs ou celle des logarithmes.

 

 

Nombres ronds

 

Un nombre rond n'a pas de définition précise. Tout dépend du contexte.

*    École primaire: entier terminé par un ou plusieurs zéros.

*    Plus généralement: nombre arrondi à un entier.

*    Théorie des nombres: nombre en relation avec ses diviseurs et sa racine carrée. >>>

 

 

École primaire

On y apprend que le nombre rond se termine par, au moins, un zéro.

20, 1200, 53 000 ...

Il est utile de les repérer et de les maîtriser, car la présence de zéros facilite le calcul mental.

13 + 17 = 30

L'addition des unités donne un nombre rond (10)

Additions

       4 + 6   + 7

   = (4 + 6) + 7

   =    10    + 7

   =    17

 

       12 + 25 +    8 + 15  + 9

   = (12 + 8) + (25 + 15) + 9

   =     20    +      40       + 9

   = 69

Soustractions

    57 – 7 = 50

 

    60 – 7 = 53

 

 

    53 –    8

    = 53 – 10 + 2

    = 43        + 2

    = 45

Multiplications

      5 x 10 = 50

 

    12 x 10 = 120

Multiplications

       12 x 13 =

    = 10 x 13 + 2 x 13

    = 130      +  26

    = 156

Nombres à virgule

 

       1,5  + 2,3  + 7,5

   = (1,5 + 7,5) + 2,3

   =         9       + 2,3

   =       11,3

Voir Enseignement

 

Sens général

Au sens d'arrondi

Au sens approximatif

 

Chiffre, nombre, compte rond: nombre entier ou ramené à un nombre entier, ne comprenant pas de décimales. Sans fraction. Arrondi à la dizaine, la centaine, le millier …

 

 

Utilisé pour donner un ordre de grandeur simple à visualiser.

Ex: En chiffres ronds, ça fera 10 000 euros.

Anglais: round number

 

 

Tout rond: constat d'un fait en nombre rond (rond prend la marque du pluriel).

Ex: Nous étions cent tout ronds. Il avait quinze ans tout ronds (avec ou sans s)

Anglais: 1% tout rond: at 1% all in; 30 mètres tout ronds: 30 meters sharp.

Note: chiffre estimé, à la louche, pifométrique: ballpark figure, rough figure.

 

Ex: Le marketing impose des nombres tels que 4,99 euros, évitant de donner  5 euros en chiffre rond.

 

Orthographe: on écrit généralement les chiffres ronds en toutes lettres.

 

Voir Anglais et nombres / Nombres ronds en théorie des nombres

 

 

 

Nombres arrondis - Approche

 

*    Arrondir un nombre N, c'est trouver un nombre M approché, plus facile traiter.

.

 arrondi avec 2 chiffres devient  

En effet, cette valeur de Pi est souvent largement suffisante pour de nombreux calculs.

Trois exemples illustrés

 

*    Arrondis à un chiffre derrière la virgule

1,24  1,2

1,25  1,3

1,26  1,3

 

 

 

 

 

 

 

 

Arrondi arithmétique

 

Principe

*    Choisir le dernier chiffre (d) à conserver, et

*      Si le suivant est inférieur à 5 (strictement), le dernier chiffre (d) est conservé;

*      Si le suivant est supérieur à 5 (y compris), le dernier chiffre (d) est incrémenté (+1).

 

Exemples

*     Arrondi du nombre N à n chiffres pour n de 1 à 5

Selon la fonction "arrondi" du tableur Excel

 

 

 

Lecture et observations selon cinq zones (voir illustration)

*      Zone jaune: l'arrondi n'a aucun effet car le nombre de chiffres derrière la virgule est justement égal à celui demandé par l'arrondi.

*      Première colonne, arrondi d'un chiffre: le suivant étant 4, le chiffre 3 est conservé. Ce qui veut dire que l'on considère que 12,34 est plus proche de 12,3 que de 12,4.

*      Colonnes 7 et 8, même principe, le 1 qui suit le 9, positionne l'arrondi à 9.

*      Colonne 3 à 6: le nombre qui suit le dernier chiffre demandé est toujours supérieur à 5; le chiffre d'arrondi est incrémenté. Ce qui veut dire que, par exemple 12,34567 est plus proche de 12, 3457 que de 12,3456.

*      Colonne 2: même principe d'arrondi supérieur, même si le chiffre suivant est égal à 5. Ce qui veut dire que, par convention, on considère que 12,345 est plus proche de 12,35 que de 12,34.

 

 

 

Arrondi à n chiffres

 

*    Voyez comme l'arrondi peut s'appliquer à des nombres avec ou sans décimales.
Pour signifier la quantité de chiffres significatifs:

*      après la virgule, n est positif,

*      avant la virgule, n est négatif.
 

 

 

Même nombre de chiffres significatifs

 

*    Lorsque je précise 3 chiffres significatifs, je souhaite que ce soit le cas quelle que soit la grandeur du nombre.

 

 

*    Comment procéder pour obtenir de tels cadrages des nombres? La quantité de chiffres devant et derrière la virgule est fluctuante!

*    Le logarithme d'un nombre est témoin de la quantité de ses chiffres.
Par exemple: log(123456) = 5, 09…,  log(12345,6) = 4,09…

*    La quantité de chiffres sera précisée en donnant le nombre de chiffres moins le logarithme du chiffre.

 

*        B2 précise la quantité de chiffres significatifs.

*        Les nombres à arrondir sont en colonne A.

*        Les valeurs arrondies sont en colonne B.

*        La formule de calcul de B3 est montrée dans la fenêtre fx =ARRONDI($A3;B$1-LOG($A3))

*        L'arrondi s'applique sur A3.

*        Avec B1 – LOG (A3) chiffres significatifs.

*        Note: les $ indiquent que, en cas de copie de la formule, les lignes ou colonnes suivis de $ doivent être conservées. Le $ s'obtient appuyant sur la touche F4, autant de fois que nécessaire.

 

En écrivant la formule en B2 avec les $, je tire sur la poignée en bas à droite et j'obtiens automatiquement la copie des formules dans les lignes suivantes.

 

 

Les cousins

*    Arrondi arithmétique

Vu ci-dessus

=ARRONDI(G5;1)

(Valeurs entre parenthèses: indicatives)

1,2345    1,2

*    Arrondi inférieur

Force l'arrondi à la valeur inférieure

=ARRONDI.INF(G6;2)

1,239    1,23

*    Arrondi supérieur

Force l'arrondi à la valeur supérieure

=ARRONDI.SUP(G7;2)

1,231    1,24

*    Arrondi multiple

Arrondi à la valeur d'un multiple du nombre indiqué. Ici, multiple de 7

=ARRONDI.AU.MULTIPLE(G10;7)

15,23  14

*    Plancher

Arrondi à l'entier inférieur.

Effet avec multiples selon le second argument. Voir votre tableur.

=PLANCHER(G8;1)

 

Notation:

12,7    12

*    Plafond

Arrondi à l'entier supérieur.

Effet avec multiples selon le second argument. Voir votre tableur.

=PLAFOND(G9;1)

 

Notation:

12,7    13

*    Entier

Supprime toutes  les décimales.

=ENT(G11)

123,456  123

*    Tronqué

Supprime les décimales au-delà d'une certaine quantité. Ici, 3.

=TRONQUE(G12;3)

1,2345 1,234

*    Valeur absolue

Retourne le nombre sans son signe

=ABS(G13)

-123,4  123,4

 

 

Avec Mapple

*    Évaluation avec une certaine précision

evalf (Pi,15)

3.14159265358979

*    Retour du nombre de chiffre

length(123456789)

9

*    Arrondir à l'entier le plus près

round(123,456)

round(123,56)

round(123,6)

123

124

124

*    Partie entière

trunc(123,456)

trunc(-123,456)

123

-123

*    Partie fractionnaire

frac(123,456)

frac(-123,456)

0.456

-0.456

*    Entier inférieur

floor

 

*    Entier supérieur

ceil

 

 

 

 

 

Bilan

Un tableur offre de multiples possibilités pour obtenir une valeur approchée d'un nombre. L'arrondi arithmétique est la plus courante. Avec un nombre négatif, on précise le nombre de chiffre significatif même avant la virgule. Avec recours aux logarithmes, on fixe le nombre de chiffres significatifs.

Les fonctions comme entier et tronque sont utiles pour isoler des chiffres dans un nombre.

 

Anglais

Decimal place (d.p.): digits after the decimal point. 27,7 (1 d.p.) signifie que le calcul est donné (est exact) pour une décimale après la virgule, ce qui veut dire que le nombre a été arrondi. Ex: write  2.6470588 to 2 decimal places (dp). Answer: 2,65.

Significant figure: même règle, mais en donnant la quantité totale de chiffres. Ex: 2.6470588 to 3 significant figures (sf). Answer: 2,65.

 

 

 

 

Suite

*         Virgule flottante

*         Voir haut de page

Voir

*         Nombres décimaux

*         Nombres n-ronds

*         Ordre de grandeur

*         Unités

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