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Phyllotaxie – Développements Vision arithmétique Principales
hypothèses expliquant l'arrangement doré des feuilles ou fleurs et approches
mathématiques. On affirme
que la disposition fibonacienne
des plantes est celle qui assure le maximum de remplissage (ou d'exposition
au soleil pour le feuillage) et on
découvre que cette disposition suit une loi arithmétique. Une corrélation entre botanique et mathématiques? Magique ou un signe sur l'intention
(divine) de la construction du monde vivant? On comprend
que la phyllotaxie ait passionné bon nombre de chercheurs, d'autant que les
explications successives s'approchent du but, sans l'atteindre. Depuis
l'avènement des ordinateurs, la
modélisation mathématique met à l'épreuve quantité de savants botanistes,
physiciens et mathématiciens sans avoir pu donner le "la" final à cette histoire. Cette page est faite pour tous ceux qui
voudraient toucher du doigt le domaine de la phyllotaxie explicative.
Autrement-dit, il s'agit d'une approche simplifiée (simpliste). Toute erreur
d'interprétation serait de mon fait. |
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Le
cheminement simplifié des approches Au début, ce fut des observations étonnantes entre la botanique et l'arithmétique. Puis, une tentative
d'explication via des considérations géométriques.
La réalité ne se laisse pas faire et ces approches "statiques" se révèlent incapables
d'expliquer la phyllotaxie. Alors, il fallut se résoudre à faire une analyse du processus de
croissance en dynamique, en fonction du
temps. Les paramètres physiques et biochimiques sont mis en équation pour
obtenir un modèle le plus proche possible
des conditions réelles. Les ordinateurs
sont mis à contribution pour observer les résultats et déterminer les
paramètres les plus influents. Si ces modèles témoignent bien de la structure
dorée (angle d'or et fractions de Fibonacci),
ils ne témoignent pas encore suffisamment de la diversité créatrice de la
nature. Illustration |
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Depuis l'Antiquité, on avait remarqué la régularité
de l'organisation des feuilles autour de la tige. Dans 80%
des cas, les feuilles s'enroulent le long d'une spirale et l'angle de passage
d'une feuille à l'autre est voisin de 137,5°. L'angle d'or. |
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Nombre d'or (phi) et angle
d'or (alpha) Définition de l'angle d'or (en
dregrés):
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Beaucoup
de plantes et de fleurs
semblent "connaître" la suite de Fibonacci pour laquelle le terme
suivant et la somme des deux précédents. Fibonacci commence avec 1, 1; et Lucas par 1, 3. |
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377 … Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76 … Pin de Norvège: |
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Spirale
logarithmique |
La courbe qui relie
les feuilles lors de leur apparition sur la tige est une spirale logarithmique, appelée parastique. |
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Prenons
le cas typique du tournesol. Sans beaucoup d'imagination, il est possible d'y
dessiner des spirales de deux types l'une
tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (dextre)
et l'autre dans l'autre sens (senestre). Curieusement
les deux quantités de spirales sont
différentes et ce sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci. On trouve
dans le même champ de tournesols des quantités de spirales variables selon la
grosseur de la tête de tournesol, mais toujours deux Fibonacci consécutifs. De même,
les quantités dextres et senestres peuvent être inversées. La plante semble
choisir au départ de la croissance et se tenir à cette direction. Le
décalage angulaire pour passer d'une graine à la suivante (primordia) se
stabilise assez vite sur la valeur de 137,5°. La suite
de Fibonacci est très répandue dans la nature comme le montre cet exemple de
croissance des branches sur un arbre. |
Cas du
tournesol
Embranchement
sur un arbre
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Cas de
l'aeonium Cette
plante, qui comprend 45 espèces, est un exemple de la régularité
fibonaccienne La
spirale, ligne fictive qui relie chaque primordium
à son plus proche voisin est nommée parastique ( de l'italien parastiche). Son
organisation spiralée est du type 1
(2, 23):
Cette
photo montre les protubérances qui apparaissent à la naissance des feuilles, les
une après les autres – les primordia – espacées d'un angle d'environ 137,5°. |
Aeonium
tabuliforme
Aeonium
Haworthii
Manifestation
de l'angle d'or entre primordia
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Quelques exemples
d'arrangement des feuilles autour de la tige
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Avec
l'aeonium comme avec le tournesol, nous avons vu que la quantité de
parastiques est très variables. Chaque type de parastique est caractérisée
par deux nombres successifs de la suite de
Fibonacci, comme, par exemple: (34, 55). Deux
autres paramètres caractérisent ces parastiques:
En
dessinant les domaines dans lequel les parastiques ont même numéro, on
obtient le graphique ci-contre (extrait). On passe
de l'un à l'autre en modifiant le facteur de croissance G. Pour
certaines valeurs de G, les parastiques portent les fameux numéros de
Fibonacci (rouge). Par
exemple, pour G =1,04, on obtient les
parastiques (5, 8) et un angle de divergence de 137,76°. Voir Disques denses sur cylindre Voir Règle de Hofmeister |
Nature
des parastiques en fonction de d et G Un petit
dessin en spirale symbolise les formes obtenues Lieu de
même parastiques en fonction de d et G
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Voir Modèle
dense de Van Iterson
Voir Dessins complets sur le site de math.smith.com
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Le
point de vue arithmétique qui a prévalu à
la naissance (K. Schimper
et A. Braun vers 1830) de cette science, la phyllotaxie, se
contentait d'observer et de noter cet extraordinaire ralliement de la nature
au mysticisme de la section dorée. On se souvient que le rapport entre deux
nombres successifs de la suite
de Fibonacci tend vers le nombre d'or. |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/aScience/Botanique/PhylDeve.htm |
