NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

 

Fibonacci

 

Itérations

 

 

Fibonacci

Propriétés (1/2)

Propriétés (2/2)

Formule de Binet et Fibonacci généralisés

Fraction 1/89 et polynôme générateur

Fibonacci et fractales

 

Sommaire de cette page

>>> Somme

>>> Résumé des propriétés

>>> Triangle de Fibonacci

>>> Cumul

>>> Addition magique

>>> Divisibilité par 9

>>> Divisibilité par 11

>>> Récapitulatif divisibilité

>>> Premiers entre eux

>>> Carrés

>>> Somme de deux carrés – Spirale

>>> Curiosités numériques

 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI

Propriétés

  

Revue des principales propriétés des nombres de Fibonacci.

 

 

SOMME – Selon la définition

 

Chaque terme est la somme des deux précédents.

Chaque terme est la différence entre ses deux voisins.
 

Fn+1 = Fn + Fn–1

 

Fn = Fn+1 – Fn–1

 

Devinette

Six nombres dont la somme est 13. À partir du troisième, chacun est la somme des deux précédents. Le dernier est le quadruple du premier. Valeur des deux premiers nombres ?

Solution

 

 

Résumé des principales propriétés

Rapport: le nombre d'or

Calcul direct d'un nombre de Fibonacci (formule de Binet) >>>l

image023

Somme

Fi + j = Fi+1 . Fj + Fi . Fj–1

Cumul

Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1

Un sur deux

Fn – 1 = Fn-1 + Fn-3 + Fn-5 + … F3 ou 2

Cumul pondéré

nFn+2 – Fn+3 = F1 + 2F2 +...+ nFn – 2

Carré

F12 = 144 = 12² Seul Fibonacci carré, hors 1.

 

Divisibilité >>>

Si n divise m, alors Fn divise Fm

Divisibilité par 11 >>>

Divisibilité par 29 >>>

Fn + Fn+1 + … + Fn+13

Trois Fibonacci consécutifs sont premier entre eux >>>

(Fn-1, Fn) = (Fn-1, Fn+1) = (Fn, Fn+1) = 1

Le PGCD de deux Fibonacci est égal au Fibonacci d'indice égal à ce PGCD >>>

(Fn, Fm) = F(n, m)

Quatre Fibonacci consécutifs forment un triplet de Pythagore

Fn+2 . Fn+3  – Fn . Fn+1

2 . Fn+1 . Fn+2

Fn . Fn+3

 

Démonstration Fibonacci et triplets de Pythagore

Les quatre nombres successifs de Fibonacci: x, y, x + y, x + 2y

Vérification que a² = b² + c²:

a = (x + y) (x + 2y) – xy => a² = x4 + 4x3y + 8x2y2 + 8xy3 + 4y4

b = 2y (x + y) => b² =                                     4x2y2 + 8xy3 + 4y4

c = x (x + 2y) => c² =                  x4 + 4x3y + 4x2y2

 

 

Fibonacci entre eux

Fn – Fn-1 – Fn-2 = 0

Carrés entre eux

Fn2 – 2Fn-12 2Fn-22 + Fn-32 = 0

Cubes entre eux

Fn3 – 3Fn-13 6Fn-23 + 3Fn-33 + Fn-4 = 0

 

 

 

Généralisation

Puissances entre elles

 

 

 

Triangle de Fibonacci =>

 

Table

Elle donne les coefficients (dits de de Fibonacci) des expressions du type de celles-ci-dessus.

 

 

Calcul

Factorielle de Fibonacci:  n!F = 1 x 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x … x Fn

Exemple: 5!F = 2 x 3 x 5 = 30

                   6!F = 2 x 3 x 5 x 8 = 240

Les suivantes: 3120, 65520, 227680, 122522400, 10904493600, …

Coefficients du triangle

 

Voir similitude avec les  Coefficients du binôme

 

 

 

Carré et produit

Fn2 = Fn–1 . Fn+1 + (–1)n–1

Voir Démonstration

Somme de carrés

F12 + F22 +…+ Fn2 = Fn . Fn+1

Carré généralisé (G est la suite de Fibonacci dont les valeurs de départ ne sont pas précisées)

Gn2 = Gn-1 . Gn–2 + e (G22 – G12 – G1G2)

( avec e = 1 ou -1)

Somme de carrés

Fn2 + Fn+12 = F2n+1

Différence de carrés

Fn+22 – Fn+12 = Fn . Fn+3

Lien avec la suite de Lucas

Ln = Fn-1 + Fn+1

Ln = F2n / Fn

Premier

 

On ne sait s'il existe une infinité de Fibonacci premiers.

 

PGCD = Plus grand commun diviseur

 

 

Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.

 

PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j)

 

Réciproque non valable.

Le plus petit contre-exemple est F19 = 4181 = 37 x 113.

 

 

Divisibilité

 

Veut dire: quelque soit n, il existe …

 

Si j divise i alors Fj divise Fi

 

 

 

 

Fractions de Fibonacci

 

 

Voir Sommation des nombres de Fibonacci

 

Fibonacci et nombre d'or

 

 

 

 

 

Exemple avec F6 = 8 et F7 = 13

 

 

 

 

 

Démonstration avec la formule de Binet, en posant

Le membre de gauche

devient (en multipliant les termes en puissance n – 1 pour le passer en puissance n)

En développant

En calculant les trois termes en A

Qui vaut

En calculant les trois termes en B

Qui vaut

Bilan

 

 

 

CUMUL

*  La somme des n premiers nombres de Fibonacci, plus 1, donne le terme de rang n+2.

Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1

 

Voir Addition magique

 

*  La somme de 2 en 2 des nombres de Fibonacci, en conservant les 2 premiers, donne le nombre de rang suivant.

F2n+1 = F1 + F2 + F4  + F6  ... + F2n

 

 

 

 

ADDITION MAGIQUE

 

*      Construire une suite de Fibonacci avec origines quelconques (sur l'exemple a = 3 et b = 8)

*      La somme de tous les nombres jusqu’à n (cumul) est égale au nombre de rang n + 2 diminué du 2e nombre

 

 

Exemple

3 + 8 + 11 = 22 = 30 – 8

Voir Somme magique (tour de magie)

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 9

*      Un nombre de Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs (pour F > 9).

 

 

DIVISIBILITÉ par 11

 

 

 

Un nombre de Fibonacci est égal à 1/11e de la différence entre les deux nombres de Fibonacci éloignés de cinq rangs de part et d'autre.

 

Exemple

F10 = 55

F15 – F5 = 610 – 5 = 605 = 11 x 55

 

Tableau

Le tableau commence par deux nombres quelconques n et m

FK = n

FK+1 = m

FK+2 = n + m

FK+3 = n + 2

Etc.

Les deux colonnes de droites montrent la différence entre deux Fibonacci quelconques séparés de dix rangs. Tous les nombres dans la parie rose sont divisibles par 11.

 

pour n>10

Fk+10 – Fk = 11. Fk+5

 

La somme de dix nombres successifs est égale à 11 fois le septième (k+6) terme.

 

En prenant deux nombres de Fibonacci a et b et leur successeurs jusqu'au rang 9, la somme des termes en a donne 55a et celle des termes en b donne 88b, deux valeurs divisibles par 11.

 

S = 55a + 88 b = 11 (5a + 8b)

 

Notez que la valeur entre parenthèse est un nombre de Fibonacci:

 

S = 11 Fk+6

 

Fk + Fk+1 +...+ Fk+9

= 11. Fk+6

 

 

Récapitulatif de la divisibilité des sommes de k Fibonacci successifs

Ex: la somme pour k = 14 est divisible par 29

1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144+233+377 = 986 = 29 x 34

 

 

PREMIERS entre eux

 

 

*  Deux termes voisins sont premiers entre eux.

*  C'est vrai également pour les trois paires formées avec trois Fibonacci consécutifs.

 

 

Démonstration

*      Démonstration par récurrence.

*      Les deux premiers nombres de Fibonacci sont étrangers.

 

*      Supposons que ce soit vrai pour tout couple de la suite de Fibonacci.

 

*      Construction des nombres de Fibonacci.

 

 

 

*      En notant cette expression comme une division: quotient et reste. Même chose pour la suivante.

 

 

*      Évaluons les PGCD de ces deux termes à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

 

*      En descendant jusqu'au premier nombre de Fibonacci.

 

Fn et Fn+1

sont premiers entre eux.

 

 

F0 = 0

F1 = 1

 

PGCD (F0, F1) = 1

 

PGCD (Fn , Fn+1) = 1 Hypothèse

 

 

Fn+1 = Fn + Fn-1

On prend la précaution de noter que la suite est croissante.

 

Fn+1 = 1x Fn     +   Fn-1

Fn    = 1x Fn-1   +  Fn-2

En couleur, les termes qui se propagent dans l'algorithme d'Euclide

 

 

PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn)

 

 

PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn)

= PGCD (Fn-2 , Fn-1) = …

= PGCD (F0, F1) = 1

 

La relation supposée est vrai pour n+1, elle est vraie pour tout n.

 

 

 

*      Le PGCD de deux nombres de rang i et j est égal au nombre de Fibonacci de rang PGCD de i et j.

 

PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j)

 

Exemple: F6 = 8 et F9 = 34

PGCD (6,9) = 3 et F3 = 2

PGCD (8, 34)             = 2

 

 

 

 

CARRÉS avec trois consécutifs

 

*      Le carré d'un nombre de Fibonacci est égal au produit des deux voisins à 1 près.

 

 

Relation de Simson

 

Fn2 = Fn–1 x Fn+1 + (–1)n–1

 

 

*      Autrement dit: pour trois termes consécutifs, le produit des extrêmes est égal au carré du terme central à une unité près. Le sens alterne tout le long de la suite.
 

Voir Paradoxe de Lewis Carroll

 

 

SOMME de deux CARRÉS

 

*      La somme des carrés de deux nombres de Fibonacci consécutifs donne un autre nombre de Fibonacci.

 

Fn ² + Fn+1 ² = F2n+1

 

Note: n + n + 1 = 2n + 1

 

 

 

Exemple: 5² + 8² = 25 + 64 = 89 qui est le Fibonacci de rang 2 x 5 + 1 = 11.

 

 

 

Métaphore de l'escargot qui agrandit sa coquille au fur et à mesure de sa croissance:

 

Carré unité, puis un autre carré unité.

 

Résolution: voir plus grand !
Le carré suivant aura une longueur égale à la somme des deux longueurs précédentes:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

 

 

Spirale d'or

Spirale logarithmique dont le facteur de croissance est le nombre d'or.

Elle est auto-similaire (fractale).

 

 

Spirale de Fibonacci

Construite par quarts de cercle tangents aux côtés des carrés dont les côtés sont les nombres successifs de Fibonacci.

Bonne approximation de la spirale d'or.

Voir Spirale logarithmique / spirale du pentagone

 

Présentation de la spirale de Fibonacci avec quadrillage

 

 

CURIOSITÉS NUMÉRIQUES

/

 

* Aucun Fibonacci n'est le produit de deux Fibonacci.

/

 

* Aucun Fibonacci n'est cube (hormis 1) Testé jusqu'à 10 000.

F10

55

* Le plus petit Fibonacci repdigit.
Le seul jusqu'à au moins 1 000 000 (mon test).

F12

144

* Seul Fibonacci carré (hormis 1) connu.
Fibonacci égal au carré de son indice.

F12

F 13

F14

144

233

377

* Curiosité de trois presque repdigits consécutifs.

F22

17 711

* Le plus grand Fibonacci connu formé de chiffres impairs seulement.

F31

1 346 269

* Le plus petit Fibonacci en même temps nombre de Smith.

F74

1 304 969 544 928 657

* Le plus petit Fibonacci contenant tous les chiffres.

 

1/89 = 0, 012359550561797…  

* Somme des chiffres des nombres de Fibonacci successifs selon leur rang..

 

 

Devinette – Solution

Énigme

Six nombres dont la somme est 13. À partir du troisième, chacun est la somme des deux précédents. Le dernier est le quadruple du premier. Valeur des deux premiers nombres ?

 

Solution

On écrit les six nombres en fonction de leurs relations (bleu).

Retour

 

 

Suite

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*       FibonacciIndex

*       Nombres de Markov et nombres de Fibonacci

*       Racine numérique des Fibonacci

Voir

*       Arctg et Fibonacci

*       Boucle infernale

*       Calcul mental

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*       Théorie des nombres

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