NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Fibonacci

 

Itérations

 

Fibonacci

Propriétés (1/2)

Propriétés (2/2)

 

Sommaire de cette page

>>> Somme

>>> Résumé des propriétés

>>> Triangle de Fibonacci

>>> Cumul

>>> Addition magique

>>> Divisibilité par 9

>>> Divisibilité par 11

>>> Premiers entre eux

>>> Carrés

>>> Somme de deux carrés – Spirale

>>> Curiosités numériques

 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI

Propriétés

  

Revue des principales propriétés des nombres de Fibonacci.

 

 

SOMME – Selon la définition

 

Chaque terme est la somme des deux précédents.

Chaque terme est la différence entre ses deux voisins.
 

Fn+1 = Fn + Fn–1

 

Fn = Fn+1 – Fn–1

 

 

 

Résumé des principales propriétés

Rapport: le nombre d'or

Calcul direct d'un nombre de Fibonacci (formule de Binet) >>>l

image023

Somme

Fi + j = Fi+1 . Fj + Fi . Fj–1

Cumul

Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1

Cumul pondéré

nFn+2 – Fn+3 = F1 + 2F2 +...+ nFn – 2

Carré

F12 = 144 = 12² Seul Fibonacci carré, hors 1.

 

Divisibilité >>>

Si n divise m, alors Fn divise Fm

Divisibilité par 11 >>>

Trois Fibonacci consécutifs sont premier entre eux >>>

(Fn-1, Fn) = (Fn-1, Fn+1) = (Fn, Fn+1) = 1

Le PGCD de deux Fibonacci est égal au Fibonacci d'indice égal à ce PGCD >>>

(Fn, Fm) = F(n, m)

 

 

Fibonacci entre eux

Fn – Fn-1 – Fn-2 = 0

Carrés entre eux

Fn2 – 2Fn-12 2Fn-22 + Fn-32 = 0

Cubes entre eux

Fn3 – 3Fn-13 6Fn-23 + 3Fn-33 + Fn-4 = 0

 

 

 

Généralisation

Puissances entre elles

 

 

 

Triangle de Fibonacci =>

 

Table

Elle donne les coefficients (dits de de Fibonacci) des expressions du type de celles-ci-dessus.

 

 

Calcul

Factorielle de Fibonacci:  n!F = 1 x 1 x 2 x 3 x 5 x 8 x … x Fn

Exemple: 5!F = 2 x 3 x 5 = 30

                   6!F = 2 x 3 x 5 x 8 = 240

Les suivantes: 3120, 65520, 227680, 122522400, 10904493600, …

Coefficients du triangle

 

Voir similitude avec les  Coefficients du binôme

 

 

 

Carré et produit

Fn2 = Fn–1 . Fn+1 + (–1)n–1

Voir Démonstration

Somme de carrés

F12 + F22 +…+ Fn2 = Fn . Fn+1

Carré généralisé (G est la suite de Fibonacci dont les valeurs de départ ne sont pas précisées)

Gn2 = Gn-1 . Gn–2 + e (G22 – G12 – G1G2)

( avec e = 1 ou -1)

Somme de carrés

Fn2 + Fn+12 = F2n+1

Différence de carrés

Fn+22 – Fn+12 = Fn . Fn+3

Lien avec la suite de Lucas

Ln = Fn-1 + Fn+1

Ln = F2n / Fn

Premier

 

On ne sait s'il existe une infinité de Fibonacci premiers.

 

PGCD = Plus grand commun diviseur

 

 

Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.

 

PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j)

 

Réciproque non valable.

Le plus petit contre-exemple est F19 = 4181 = 37 x 113.

 

 

Divisibilité

 

Veut dire: quelque soit n, il existe …

 

Si j divise i alors Fj divise Fi

 

 

 

 

Fractions de Fibonacci

 

 

Voir Sommation des nombres de Fibonacci

 

Fibonacci et nombre d'or

 

 

 

 

 

Exemple avec F6 = 8 et F7 = 13

 

 

 

 

 

Démonstration avec la formule de Binet, en posant

Le membre de gauche

devient (en multipliant les termes en puissance n – 1 pour le passer en puissance n)

En développant

En calculant les trois termes en A

Qui vaut

En calculant les trois termes en B

Qui vaut

Bilan

 

 

 

CUMUL

*  La somme des n premiers nombres de Fibonacci, plus 1, donne le terme de rang n+2.

Fn+2 = F1 + F2 +...+ Fn + 1

 

Voir Addition magique

 

*  La somme de 2 en 2 des nombres de Fibonacci, en conservant les 2 premiers, donne le nombre de rang suivant.

F2n+1 = F1 + F2 + F4  + F6  ... + F2n

 

 

 

 

ADDITION MAGIQUE

 

*      Construire une suite de Fibonacci avec origines quelconques (sur l'exemple a = 3 et b = 8)

*      La somme de tous les nombres jusqu’à n (cumul) est égale au nombre de rang n + 2 diminué du 2e nombre

 

 

Exemple

3 + 8 + 11 = 22 = 30 – 8

Voir Somme magique (tour de magie)

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 9

*      Un nombre de Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs (pour F > 9).

 

 

DIVISIBILITÉ par 11

 

 

 

Un nombre de Fibonacci est égal à 1/11e de la différence entre les deux nombres de Fibonacci éloignés de cinq rangs de part et d'autre.

 

Exemple

F10 = 55

F15 – F5 = 610 – 5 = 605 = 11 x 55

 

Tableau

Le tableau commence par deux nombres quelconques n et m

FK = n

FK+1 = m

FK+2 = n + m

FK+3 = n + 2

Etc.

Les deux colonnes de droites montrent la différence entre deux Fibonacci quelconques séparés de dix rangs. Tous les nombres dans la parie rose sont divisibles par 11.

 

pour n>10

Fk+10 – Fk = 11. Fk+5

 

La somme de dix nombres successifs est égale à 11 fois le septième (k+6) terme.

 

En prenant deux nombres de Fibonacci a et b et leur successeurs jusqu'au rang 9, la somme des termes en a donne 55a et celle des termes en b donne 88b, deux valeurs divisibles par 11.

 

S = 55a + 88 b = 11 (5a + 8b)

 

Notez que la valeur entre parenthèse est un nombre de Fibonacci:

 

S = 11 Fk+6

 

Fk + Fk+1 +...+ Fk+9

= 11. Fk+6

 

 

 

PREMIERS entre eux

 

 

*  Deux termes voisins sont premiers entre eux.

*  C'est vrai également pour les trois paires formées avec trois Fibonacci consécutifs.

 

 

Démonstration

*      Démonstration par récurrence.

*      Les deux premiers nombres de Fibonacci sont étrangers.

 

*      Supposons que ce soit vrai pour tout couple de la suite de Fibonacci.

 

*      Construction des nombres de Fibonacci.

 

 

 

*      En notant cette expression comme une division: quotient et reste. Même chose pour la suivante.

 

 

*      Évaluons les PGCD de ces deux termes à l'aide de l'algorithme d'Euclide.

 

*      En descendant jusqu'au premier nombre de Fibonacci.

 

Fn et Fn+1

sont premiers entre eux.

 

 

F0 = 0

F1 = 1

 

PGCD (F0, F1) = 1

 

PGCD (Fn , Fn+1) = 1 Hypothèse

 

 

Fn+1 = Fn + Fn-1

On prend la précaution de noter que la suite est croissante.

 

Fn+1 = 1x Fn     +   Fn-1

Fn    = 1x Fn-1   +  Fn-2

En couleur, les termes qui se propagent dans l'algorithme d'Euclide

 

 

PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn)

 

 

PGCD (Fn , Fn+1) = PGCD (Fn-1 , Fn)

= PGCD (Fn-2 , Fn-1) = …

= PGCD (F0, F1) = 1

 

La relation supposée est vrai pour n+1, elle est vraie pour tout n.

 

 

 

*      Le PGCD de deux nombres de rang i et j est égal au nombre de Fibonacci de rang PGCD de i et j.

 

PGCD ( Fi , Fj ) = FPGCD (i, j)

 

Exemple: F6 = 8 et F9 = 34

PGCD (6,9) = 3 et F3 = 2

PGCD (8, 34)             = 2

 

 

 

 

CARRÉS avec trois consécutifs

 

*      Le carré d'un nombre de Fibonacci est égal au produit des deux voisins à 1 près.

 

 

Relation de Simson

 

Fn2 = Fn–1 x Fn+1 + (–1)n–1

 

 

*      Autrement dit: pour trois termes consécutifs, le produit des extrêmes est égal au carré du terme central à une unité près. Le sens alterne tout le long de la suite.
 

Voir Paradoxe de Lewis Carroll

 

 

SOMME de deux CARRÉS

 

*      La somme des carrés de deux nombres de Fibonacci consécutifs donne un autre nombre de Fibonacci.

 

Fn ² + Fn+1 ² = F2n+1

 

Note: n + n + 1 = 2n + 1

 

 

 

Exemple: 5² + 8² = 25 + 64 = 89 qui est le Fibonacci de rang 2 x 5 + 1 = 11.

 

 

 

Métaphore de l'escargot qui agrandit sa coquille au fur et à mesure de sa croissance:

 

Carré unité, puis un autre carré unité.

 

Résolution: voir plus grand!
Lle carré suivant aura une longueur égale à la somme des deux longueurs précédentes:

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

 

Voir spirale logarithmique

 

 

CURIOSITÉS NUMÉRIQUES

/

 

* Aucun Fibonacci n'est le produit de deux Fibonacci.

/

 

* Aucun Fibonacci n'est cube (hormis 1) Testé jusqu'à 10 000.

F10

55

* Le plus petit Fibonacci repdigit.
Le seul jusqu'à au moins 1 000 000 (mon test).

F12

144

* Seul Fibonacci carré (hormis 1) connu.
Fibonacci égal au carré de son indice.

F12

F 13

F14

144

233

377

* Curiosité de trois presque repdigits consécutifs.

F22

17 711

* Le plus grand Fibonacci connu formé de chiffres impairs seulement.

F31

1 346 269

* Le plus petit Fibonacci en même temps nombre de Smith.

F74

1 304 969 544 928 657

* Le plus petit Fibonacci contenant tous les chiffres.

 

1/89 = 0, 012359550561797…  

* Somme des chiffres des nombres de Fibonacci successifs selon leur rang..

 

 

Suite

*       Propriétés des Fibonacci (2/2)

*       Nombres de Markov et nombres de Fibonacci

Voir

*       Arctg et Fibonacci

*       Boucle infernale

*       Calcul mental

*       Chaîne d'Or

*       Fraction continue

*       Géométrie

*       Nombre d'or

*       Nombres en cercle

*       Pavage du rectangle avec des dominos

*       Récurrence

*       Tables des nombres de Fibonacci et autres

*       Théorie des nombres

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