NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COURBES

 

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Géométrie

SPIRALES

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie

 

 

Général

Logarithmique

 

Sommaire de cette page

>>> Spirale logarithmique

 

Problème des quatre souris

>>> Premiers pas

>>> Distance parcourue

>>> Équation de la courbe

>>> Programmation

 

 

 

 

 

Spirale Logarithmique

&

Le problème des quatre souris

(chiens, tortues, souris…)

Quatre souris sont aux coins d'un carré. Chacune en poursuit une autre. Cette poursuite se termine au centre du carré et, les trajets engendrent quatre spirales logarithmiques.

Curieusement dans ce cas, la distance parcourue par chaque souris est égale à la distance qu'aurait parcouru la souris vers sa congénère immobile, soit la longueur du côté du carré. Ce ne serait pas le cas avec cinq souris aux sommets d'un pentagone, ou tout autre polygone.

 

Ce problème a été popularisé par Martin Gardner dans sa rubrique "Mathematical Games" du Scientific American (1965).

 

 

Anglais:  Four mice (turtles, bugs, beetle, dogs …) problem

The four bug cyclic pursuit problem

 

 

Spirale logarithmique ou equiangle ou de Bernouilli

 

Courbe d'équation polaire: .

 

Cette courbe s'enroule de plus en près d'un  point central.

 

Construction: une droite (rayon) tournant uniformément autour d'un point O. Un point M sur cette droite qui se déplace à une vitesse proportionnelle à OM. La spirale logarithmique est le lieu du point M.

 

L'angle polaire croit de façon arithmétique, alors que le rayon vecteur croit de façon géométrique. La longueur de ce rayon est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

 

En phyllotaxie, les spirales de développement des primordia sont logarithmiques.

 

Courbe dont l'angle tangentiel polaire reste constant (tangente au point de rencontre d'un rayon avec la courbe, en jaune).

 

 

 

 

Problème des quatre scarabées – Premiers pas

Une souris ou un insecte (scarabée) ou une fourmi … à chaque sommet A, B, C et D du carré.

 

Le scarabée A poursuit le scarabée B, le B poursuit le C, le C le D et le D le A.

 

L'illustration présente la situation à des moments successifs discrets. En réalité les trajets en bleu sont des courbes continues. 

 

Les scarabées finissent pas se rencontrer au centre du carré en ayant parcouru chacun l'équivalent du côté du carré.

 

 

 

Les quatre scarabées dans leurs poursuites respectives tracent quatre spirales logarithmiques.

 

 

 

Distance parcourue – Explication géométrique

 

Situation en fin de première étape: les quatre bestioles sont toujours au sommet d'un carré (cf. les quatre triangles rectangles sur les bords sont égaux …).

 

Faisons pivoter ce carré pour le remettre "droit" comme celui d'origine.

 

Calons ce carré sur le sommet B (tracé en pointillés verts).

 

Le scarabée progresse de deux carreaux (D) à chaque étape (flèche bleue et verte pour A).

 

En fin de première étape, le carré vert est égal à l'original diminué de D.

 

Cette opération se répète à chaque étape: redressement du carré et calage en B, avec réduction du côté de D.

 

Le scarabée A atteindra son but lorsque le dernier carré deviendra un point, c'est-à-dire lorsque le scarabée aura parcouru l'intégralité de la distance AB (sur l'illustration, il faudra 10 étapes)

 

 

 

Cette construction montre que la distance parcourue par chaque scarabée est égale à la mesure du côté du carré. Une ligne bien courbe qui égale en longueur un segment de droite!

 

 

La distance parcourue

pour un polygone à n côtés

 

 

 

 

Le tableau donne les valeurs jusqu'à n = 10 (décagone).

 

Pour n  = 4, cosinus (Pi/2) vaut 0 et Dn = 1.

 

 

 

 

Équation de la courbe

La mise en équation de la courbe de poursuite nécessite la connaissance des dérivées et des intégrales.

 

Pour un carré de 10 de côté, l'équation polaire est la suivante:

 

 

L'équation d'une spirale logarithmique, illustrée ci-contre avec la fonction F (en rouge) et –F (en vert).

 

 

Programmation LOGO

Autant, la programmation n'est pas très simple avec les langages informatiques déclaratifs classiques, autant, c'est plus simple en langage LOGO. (Appel à mes souvenirs des années 1980 …)

Retrouvez la programmation en Advanced Logo: A language for Learning by Michael Friendly (e-book)

 

Autres poursuite avec des polygones

Dessins extraits de Bugs on a square by Gary Antonix

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Spirale dans le rectangle doré

*    Spirale en botanique – Phyllotaxie, paristique

*    Fourmi sur cylindre creux ou plein

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Sites

*    Four bug – Dessin animé et programmation

*    Mice ProblemMathWorld (Wolfram).

*    An interesting problem to bug your students with – Cathy Peters

*    Equations for the Paths of Four Lady Bugs – Ask Dr. Math

*    Four bugs on a rectangle – S. J. Chapman, James Lottes, Lloyd N. Trefethen

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Courbes/SpiraleL.htm