NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ITÉRATIONS

 

Débutants

Général

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Itérations

 

Index - Fibonacci

Fibonacci

Lapins

Propriétés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec jeu de billes

>>> Définition

>>> Valeurs

>>> Index

>>> Fibonacci et ses cousins

 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI

  

Suite de nombres facile à construire.

Et pourtant, que de propriétés!

Et, surtout, suite très présente dans la nature …

 

Suite introduite par Fibonacci de Pise (1170-1250), mathématicien qui a participé à l'introduction des nombres arabes (en provenance d'Inde) en Europe. Cette suite était connue des Indiens bien avant lui, notamment de Hemchandra.

Si Fibonacci a compris l'importance de tels nombres, c'est qu'avant tout il était marchand. Après lui, les étudiants qui utilisaient l'arithmétique pratique, évitaient les universités et cherchaient des "maistres d'algorisme".

 

Anglais: Fibonacci numbers, series or sequence

 

 

 

Approche sous forme de jeu de billes

 

*    Donnez autant que vous possédez:

*       Les enfants sont en file indienne;

*       Ils disposent d'un grand seau de billes;

*       Les deux premiers de la fille possède chacun une bille;

*       Chacun des suivants pourra piocher dans le seau autant de billes que ce que possèdent ses deux copains précédents.

 

*    Établir la liste du nombre de billes attribué à chacun dans la file indienne.

 

 

 

Attribution des billes au 3e enfant

 

Attribution des billes au 4e enfant

 

Attribution des billes aux enfants suivants

 

 

Note: avec cette méthode de construction, chaque colonne affiche le même nombre

 

Voir Jeu du remplissage du rectangle avec des dominos 

La page sur les lapins de Fibonacci constitue une bonne introduction pour débutants.

 

 

Suite de Fibonacci – Définition

 

 

Suite de nombres dont chaque terme est

la somme des deux précédents:

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

 

 

*    Si l'on note Fn la suite de Fibonacci, elle est définie par :

 

Par convention

F0 = 0

F1 = 1

F2 = 1

Fn+1 = Fn + Fn–1

 

Lecture: La suite de Fibonacci Fn est la succession de tous les nombres de n = 1 à l'infini telle que les deux premiers sont égaux à 1 et les suivants se calculent comme la somme des deux précédents. Par convention, on pose que le nombre de Fibonacci de rang 0 est égal à 0.

 

*    Un tel procédé de définition qui boucle sur lui-même est dit: algorithme de récurrence, ou relation de récurrence ou équation linéaire de récurrence.

Voir Démonstration par récurrence

 

*    Cette suite de nombres  a été introduite par le mathématicien italien Fibonacci (1175-1240).

*    Les nombres de Fibonacci sont riches en propriétés typiques et ils sont largement utilisés en mathématiques.

 

 

 

Les 20 premières valeurs

 

*    Les 20 premiers nombres de Fibonacci

*    Premiers ou

*    Composés,

et les quelques Fibonacci premiers suivants.

*    Un nombre de Fibonacci n'est premier que s'il d'un rang premier.

 

*    Le nombre 55 est le plus grand nombre Fibonacci triangulaire.
Le centième Fibonacci atteint: 3,5 1020
.

 

*    Curiosités: les premiers Fibonacci qui commencent comme leur rang:

 

 

 

Voir Table des nombres de Fibonacci / Formule de Binet

 

 

Suite de Fibonacci – Index

 

Général

 

 

*    Formule de Binet

*    Tables des nombres de Fibonacci et autres

*    Nombre d'or calendaire

 

 

Valeurs

 

 

*    Fractions 10/89, 12/89, 10 / 9899, etc. par sommation décalée des Fibonacci.

 

 

Applications

 

 

*    Homme de Vitruve

*    Paume, palme empan, pied et coudée: la canne royale

*    Bras et nombre d'or

*    Phalange et nombre d'or

 

 

Figures

 

 

 

Propriétés

 

 

*    Addition magique

*    Arctg et Fibonacci

*    Carré et produit = -1  / Démonstration

*    Fibonacci dans 1 / 89 (feuille Excel)

*    Fraction continue et Fibonacci

*    Nombres consécutifs

*      Phi et ses puissances avec radicaux

*    Propriétés particulières (curiosités)

*    Relation de Simson (Fibonacci carré)

*    Somme cumulée

*    Suite de Fibonacci au numérateur

 

 

Cousins

 

 

*    Constante de tribonacci et nombres de tribonacci.

 

 

 

Liens particuliers

 

Les naissances selon Fibonacci

Voir Lapins

Les sauts de grenouilles

Voir Grenouilles

Fleurs, pommes, ananas … &  Fibonacci

Voir Nature

La quantité de trajets est Fibonacci

Voir Parcours

Géométrie impossible

Voir Lewis Carroll

Généralisation des suites de Fibonacci

Voir Lucas

Propriétés communes

Voir Lucas et Fibonacci

Somme sur trois nombres

Voir Tribonacci

Nombres de Fibonacci carrés, cubes …

Voir Puissance

Addition spéciale avec les Fibonacci

Voir Somme

Triangles énigmatiques

Fibonacci mod 10

Voir Lewis Caroll

Voir Nombre 111 111

 

 

 

Fibonacci et ses cousins

 

*    En modifiant les valeurs de départ et la formule de récurrence, on crée toute une famille de suite proche de cette de Fibonacci. En voici la cartographie et les liens pour atteindre les explications.


 

*       Fibonacci

*       Tribonacci

*       Lucas
Nombre d'or

*       Nombre d'argent

*       Padovan

*       Perrin

*       Nombre plastique

*       Nombre de Keith

 

 

 

Suite

*       Lapins de Fibonacci

*       Problème de Fibonacci (lance contre le mur)

Voir

*       Boucle infernale en carrés

*       Calcul mentalIndex

*       Chaîne d'Or

*       Fraction continue

*       Géométrie Index

*       Nombre d'or

*       Nombres en cercle

*       Récurrence

*    Rubick's cube

*       Théorie des nombres

Site

*       Fibonacci numbers and nature du Dr Ron Knott – En anglais, mais profitez des belles illustrations interactives.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Fibonacc.htm