NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/07/2022 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Les trois cercles de Monge

Théorème de Monge / Théorème des trois cercles

Théorème relatif aux tangentes à trois cercles dont la démonstration astucieuse de Monge recourt à un passage en trois dimensions. Connu aussi par d'Alembert.

Gaspard Monge (1746-1818), mathématicien français. Il est l'un des fondateurs de l'École Polytechnique où il enseigne la géométrie. Il participe aussi à la fondation de l'École d'arts et métiers.

Voir Aire du pentagone convexe quelconque

Les trois cercles – Théorème de Monge
Trois cercles de tailles différentes et dont les centres ne sont pas alignés. Les six tangentes externes deux à deux. Alors, les trois points d'intersection sont alignés.

Anglais: Monge' Circle Theorem

Autres théorèmes des trois cercles dus à Monge (avec les cordes)

Lorsque trois cercles sont sécants deux à deux, les trois droites d'intersection sont concourantes.

Given three circles (in the same plane) which pairwise intersect, then the three chords to which the points of intersection give rise have a common intersection point.

Si, deux cercles sont sécants et que la droite commune passe par le point d'intersection d'une sécante à l'un et d'une sécante à l'autre, alors, les quatre points d'intersection sont cocycliques.

Voir Hauteurs concourantes

Démonstration
Théorème d'abord proposé par d'Alembert (1717-1783). La démonstration "3D" est due à Monge. Ce théorème est mentionné dans le livre de David Wells sur les curiosités géométriques. D'autres démonstrations sont possibles utilisant: les homothéties (composition d'homothéties); le calcul du centre de gravité; le critère de colinéarité des vecteurs. Voir références
Démonstration de Monge Imaginons des sphères à la place des cercles. Posées sur la table, elles sont tangentes à celle-ci. Imaginons trois cônes (fins) qui enveloppent les sphères. Leurs sommets sont également sur la table, car les deux points de tangence aux sphères et le sommet sont alignés. Pour les trois cas, les points S1, A1, B1, S2, A2, B2, S3, A3, B3 appartiennent au plan P de la table. Prenons maintenant, les points de tangence situés de l'autre côté de la sphère: les points symétriques par rapport aux centres. Eux aussi appartiennent au même plan Q contenant les sommets. (On peut imaginer avoir figé le montage et le retourner sur la table) Les points S1, C1, D1, S2, C2, D2, S3, C3, D3 appartiennent au plan Q. Appartenant aux deux plans P et Q, les trois sommets S1, S2 et S3 appartiennent à leur intersection qui est une droite. Ces trois points sont alignés.

Tangentes internes
Les six autres tangentes, les tangentes internes, se coupent en trois points. Ces nouveaux points (rouges) sont alignés deux à deux avec l'un des trois points précédents (bleus).

Généralisation

Quatre sphères prises deux à deux et mise en cônes, tous les sommets étant du même côté. Les sommets des six cônes se trouvent dans un même plan.

Suite	Trois cercles d'Apollonius Puissance d'un point
Voir	Cercle – Index Géométrie – Index
DicoNombre	Nombre 3
Sites	Le théorème des trois cercles – Applications aux points inverses – Jean-Louis Aymé Gaspard Monge – Bibma@th.net Gaspard Monge, le beau, l'utile, le vrai – Étienne Ghys – CNRS Monge's Theorem of three circles and common tangents – Cut The Knot – Autres démonstrations
Livres	Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques – David Wells – Eyrolles – 1991 – Page 188 Deus ex machina en mathématiques aussi – Élisabeth Busser – Tangente n°172 page 10 – sept-oct 2016
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Appollon.htm