NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Les trois cercles

>>> Démonstration

>>> Tangentes internes

>>> Généralisation

 

 

 

 

Les trois cercles de Monge

 

Théorème relatif aux tangentes à trois cercles dont la démonstration astucieuse de Monge recourt à un passage en trois dimensions.

Gaspard Monge (1746-1818), mathématicien français. Il est l'un des fondateurs de l'École Polytechnique où il enseigne la géométrie. Il participe aussi à la fondation de l'École d'arts et métiers.

 

  

 

Les trois cercles

Trois cercles de tailles différentes et dont les centres ne sont pas alignés.

Les six tangentes externes deux à deux.

 

Alors, les trois points d'intersection sont alignés.  

Anglais: Monge' Circle Theorem

 

 

Démonstration

Théorème d'abord proposé par d'Alembert (1717-1783).

La démonstration "3D" est due à Monge.

Ce théorème est mentionné dans le livre de David Wells sur les curiosités géométriques.

D'autres démonstrations sont possibles utilisant:

*       les homothéties (composition d'homothéties);

*       le calcul du centre de gravité;

*       le critère de colinéarité des vecteurs. 

Voir références

 

Démonstration de Monge

Imaginons des sphères à la place des cercles. Posées sur la table, elles sont tangentes à celle-ci.

Imaginons trois cônes (fins) qui enveloppent les sphères. Leurs sommets sont également sur la table, car les deux points de tangence aux sphères et le sommet sont alignés.

 Pour les trois cas, les points S1, A1, B1, S2, A2, B2, S3, A3, B3 appartiennent au plan P de la table.

 

Prenons maintenant, les points de tangence situés de l'autre côté de la sphère: les points symétriques par rapport aux centres. Eux aussi appartiennent au même plan Q contenant les sommets. (On peut imaginer avoir figé le montage et le retourner sur la table)

  Les points S1, C1, D1, S2, C2, D2, S3, C3, D3 appartiennent au plan Q.

 

Appartenant aux deux plans P et Q, les trois sommets S1, S2 et S3 appartiennent à leur intersection qui est une droite. Ces trois points sont alignés.

 

 

 

Tangentes internes

 

Les six autres tangentes, les tangentes internes, se coupent en trois points.

Ces nouveaux points (rouges) sont alignés deux à deux avec l'un des trois points précédents (bleus).

 

 

 

Généralisation

Quatre sphères prises deux à deux et mise en cônes, tous les sommets étant du même côté. Les sommets des six cônes se trouvent dans un même plan.

 

 

 

 

 

Suite

*Trois cercles d'Apollonius

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Voir

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DicoNombre

*  Nombre 3

Sites

*  Gaspard Monge – Bibma@th.net

*  Gaspard Monge, le beau, l'utile, le vrai – Étienne Ghys – CNRS

*  Monge's Theorem of three circles and common tangents – Cut The Knot – Autres démonstrations

Livres

*  Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques – David Wells – Eyrolles – 1991 – Page 188

*  Deus ex machina en mathématiques aussi – Élisabeth Busser – Tangente n°172 page 10 – sept-oct 2016

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Appollon.htm