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>>> Cercle d'Apollonius

 

 

 

 

 

CERCLE D'APOLLONIUS

 

*    Soit deux points A et B et une constante k.

 

Le lieu des points P tels que

AP / PB = a / b = k

est un cercle.

Si k = 1 le cercle devient une droite.

 

Démonstration

*    Nous cherchons:

a/b = k

a = k . b

a² = k² . b² = K .

*    Avec le système d'axes que nous avons construit et l'aide de Pythagore:

   = x² + y²

   = x² + (L – y

Lieu des point P tels que AP/PB = k ?

Le cercle!

*    En reprenant l'expression de a²

a² = k² . b²

x² + y² = K (x² + (L – y)² )

           = Kx² +  K(L² – 2Ly + y²)

           = Kx² + KL² – 2 KLy + Ky²

*    En mettant en facteur

(1 – K)x² + (1 – K) y² + 2KLy – KL²  = 0

 

*    Cette égalité est l'équation d'un cercle

*    forme générique: x² + y² + 2fx + 2gy - c = 0

*    Constantes: f = 0; g = k² / (1 – x); c = k²L² / (1 – x)

*    Coordonnées du centre (–f, –g)

*    Rayon: r² = f² + g² – c

 

 

  

 

 

 

 

Suite

*Trois cercles d'Apollonius

*  Puissance d'un point

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