NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Point et cercle d'Apollonius d'un triangle

>>> Cercle d'Apollonius de deux points

>>> Anglais

 

 

 

 

Point et cercle d'Apollonius d'un triangle

haut

 

Description

Triangle bleu.

Ses trois cercles exinscrits.

Le cercle circonscrit à ses trois cercles: cercle d'Apollonius

Les points de tangence.

Les segments reliant ces points de tangence aux sommets du triangle d'origine

 

Construction

S'il est assez facile de construire les trois cercles exinscrits, il est beaucoup plus difficile de construire le cercle d'Apollonius.  Voir Sites en références

 

Propriétés

Point X(181) de la nomenclature de Kimberling.

 

 

 

Coordonnées du point d'Apollonius

 

Trilinéaires:

 

 

 

 

Barycentriques:

 

 

CERCLE D'APOLLONIUS de deux points

 

*    Soit deux points A et B et une constante k.

 

Le lieu des points P tels que

AP / PB = a / b = k

est un cercle.
Le cercle d'Apollonius des point A et B

 

Si k = 1 le cercle devient une droite.

 

Démonstration

*    Nous cherchons:

a/b = k

a = k . b

a² = k² . b² = K . b²

*    Avec le système d'axes que nous avons construit et l'aide de Pythagore:

   = x² + y²

   = x² + (L – y)²

Lieu des point P tels que AP/PB = k ?

Le cercle !

*    En reprenant l'expression de a²

a² = k² . b²

x² + y² = K (x² + (L – y)² )

           = Kx² +  K(L² – 2Ly + y²)

           = Kx² + KL² – 2 KLy + Ky²

*    En mettant en facteur

(1 – K)x² + (1 – K) y² + 2KLy – KL²  = 0

 

*    Cette égalité est l'équation d'un cercle

*    forme générique: x² + y² + 2fx + 2gy - c = 0

*    Constantes: f = 0; g = k² / (1 – x); c = k²L² / (1 – x)

*    Coordonnées du centre (–f, –g)

*    Rayon: r² = f² + g² – c

 

 

Anglais

Let O(A), O(B), O(C) be the excircles.

Apollonius's Problem includes the construction of the circle O tangent to the three excircles and encompassing them. The circle is called the Apollonius circle.

Let A' = O∩O(A), B'=O∩O(B), C'=O∩O(C). The lines AA', BB', CC' concur in X(181), the Apollonius point.

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

  

 

 

Suite

*  Trois cercles d'Apollonius et les 10 problèmes

*  Puissance d'un point

*  Apollonius

Voir

*  CercleIndex

*  GéométrieIndex

Sites

*  Problèmes d'Apollonius – Maths en folie

*  Cercle et point d'Apollonius – Descartes et les mathématiques – Patrice Debart 

*  Problème des contacts – Wikipédia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Appollon.htm