NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CERCLE

 

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Géométrie

CERCLES INSCRITS

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Cercles

 

Index

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Inscrit

Introduction

Périmètre

Puissance

 

Sommaire de cette page

>>> Propriété des sécantes à un cercle

>>> Puissance d'un point par rapport à un cercle

>>> Cordes

>>> Quadrilatère inscriptible

>>> Point excentré – Calcul d'application

 

 

 

 

 

CERCLE

Cordes, sécantes, puissance

 

AM . MB = A'M . MB'

 

Propriété que l'on retrouve avec:

*    Deux cordes qui se coupent en M;  

*    Deux segments limités par quatre points cocycliques;

*    Deux diagonales d'un quadrilatère inscriptible.

 

  

 

Propriété des sécantes à un cercle

 

*    Un cercle et un point M.

*    Les sécantes MA et MC.

*    Les triangles MAD et MCB ont

*    un angle M commun et

*    deux angles égaux (jaunes) 

Ils sont semblables (on dit aussi homothétiques).

*    Leurs proportions sont identiques:

*    Expression que l'on peut écrire

MA.MB = MC.MD

 

*    Or les sécantes sont quelconques et nous pouvons généraliser:

 

Pour toute sécante le produit MA.MB est une constante.

 

Les angles en jaune interceptent le même arc, ils sont égaux.

 

Les triangles MAD et MCB sont semblables, mais attention de comparer leurs proportions dans le bon ordre.

 

Réciproque (de Feuerbach)

Si MA.MB = MC.MD alors les quatre points A, B, C et D sont situés sur une cercle. Ils sont cocycliques.

 

 

Puissance d'un point par rapport à un cercle

 

Puissance

 

*    La constante MA.MB est appelée la puissance du point M par rapport au cercle.

 

 

 

 

La sécante passe par O

 

*    Si la sécante passe par le centre du cercle, la puissance du point devient:

 

MA.MB = (MO + OA) (MO – OB)

                = (d + R) (d –R)

                = d² - R²

 

 

La sécante est tangente

 

*    Si la sécante pivote pour atteindre la position de tangence, alors les deux termes de la puissance sont égaux:

 

MA.MB = MT²

 

*    Réciproquement, si cette égalité est vérifiée – les points M, A et B étant alignés et C extérieur – MT est la tangente du cercle inscrivant le triangle ABT.

 

 

CORDES

 

*    Formule vue ci-dessus, appliquée à l'intérieur du cercle.

*    Formule d'une extrême simplicité valable pour toute intersection de deux cordes.

 

*    Une autre formule élégante:

 

A1 M . M B1  = 

A2 M . M B2 

Voir Application

 

 

 

Quadrilatère inscriptible

 

Théorème de Ptolémée

 

AB . CD + BC . DA

= AC . BD

 

*    Dans le cas où ABC est un triangle équilatéral:

 

AB = BC = AC

 

*    Et, le théorème devient:

 

AB . CD + AB . DA = AB . BD

CD + DA = BD

 

Voir Calcul de l'aire du quadrilatère inscriptible

 

 

Application au point M, excentré dans le cercle

 

Une démonstration très originale reposant sur le théorème des cordes puis sur un doublé du théorème de Pythagore.

 

*    Dans un cercle de rayon  se trouve une zone jaune.

On sait que MS = 2 et MP = 6.

 

 

*    Calculer la longueur de OM, l'excentrement du point M par rapport au centre O du cercle.

 

Les indications en vert vont être expliquées.

 

*    On pose MQ = 2x

Le facteur deux est inutile car il sera question de diviser MQ par 2.

 

 

 

Démarche

 

3) Calcul de OM avec Pythagore dans OHM.

2) Donc, calculer d'abord les longueurs de OH et HM.

1) Pour OH, appel à Pythagore dans OHP.

 

*    Par construction,
H est le point milieu de PQ.

 

MQ = 2x

PQ = 2x + 6

HP =   x + 3

HM = (x + 3) – 2x = 3 – x

 

*    Théorème des cordes.

 

PM x MQ = RM x MS

6 .  2x = RM . 2

RM = 6x

 

*    Par construction,
H' est le point milieu de RS.

 

RS  = 6x + 2

H'S = 3x + 1

OH = H'M = 3x + 1 – 2 = 3x – 1

 

*    Théorème de Pythagore
dans le triangle rectangle OHP.

 

OP² = OH²  +  HP²

50 = (3x – 1)² + (x + 3)²

     = 9x² – 6x + 1 + x² + 6x + 9

     = 10x² + 10

5 = x² + 1

x² = 4

x = 2

 

*    Théorème de Pythagore
dans le triangle rectangle OHM.

 

OM² = OH² + HM²

        = (3x – 1)² + (3 – x)²

        = (3.2 – 1)² + (3 – 2)²

        = 5² + 1² = 26

OM   =  = 5,099…

 

*    Autres valeurs

Notez qu'il serait plus plaisant de poser problème avec R = 10 qui conduit à une valeur entière pour OM (= 8).

 

 

 

 

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